Soal dan Pembahasan Borneo Math Online Contest X 2020

(1)

Anwar, S.Si Page 1 1. Sebelum musim Korona harga pengantaran barang online adalah Rp10.000,00. Sekarang harga pengantaran dikurangi sehingga terjadi kenaikan pelanggan sebanyak 50%. Akan tetapi jumlah uang yang diterima hanya meningkat 20%. Berapa rupiahkah harga pengantaran setelah dikurangi? (Rp8.000,00)

Pembahasan:

Misalkan banyak pelanggan mula-mula adalah 𝑁 Jumlah pendapatan mula-mula : 10.000 × 𝑁

Harga dikurangi sebanyak x rupiah, terjadi kenaikan pelanggan 50%. Jumlah pendapatan yang diterima meningkat 20%

(10.000 − 𝑥) ×¹⁵⁰

100𝑁 = (10.000 × 𝑁) ×¹²⁰

100

⟹ (10.000 − 𝑥) × 15𝑁 = (10.000 × 𝑁) × 12

⟹ (150.000𝑁 − 15𝑁𝑥) = (120.000 × 𝑁)

⟹ 150.000𝑁 − 120.000𝑁 = 15𝑁𝑥

⟹ 30.000𝑁 = 15𝑁𝑥

⟹ 𝑥 = 2.000

Jadi harga pengantaran setelah dikurangi adalah 10.000 − 𝑥 = 10.000 − 2.000 = 8.000 2. Tentukan jumlah 4 bilangan 𝑛 pertama yang memenuhi 1 + 2 + 3+. . +𝑛 adalah kuadrat

sempurna. (1+8+49+288) Pembahasan:

1 + 2 + 3+. . +𝑛 =^𝑛(𝑛+1)₂ = 𝑚²

 Untuk ^𝑛₂ adalah kuadrat sempurna, maka 𝑛 + 1 juga kuadrat sempurna.

𝑛 yang memenuhi :{2, 8, 32, 72, 128, 200, 288, …}, yang mengakibatkan 𝑛 + 1 juga kuadrat sempurna adalah 𝑛 = 8 dan 𝑛 = 288.

 Untuk 𝑛 adalah kuadrat sempurna, maka ^𝑛+1

2 juga kuadrat sempurna.

𝑛 yang memenuhi :{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}, yang mengakibatkan ^𝑛+1

2

juga kuadrat sempurna adalah 𝑛 = 1 dan 𝑛 = 49.

Jadi jumlah 4 bilangan 𝑛 adalah 1 + 8 + 49 + 288 = 346

3. Tentukan bilangan prima 𝑝 yang memenuhi 𝑝 − 1 memiliki tepat 10 faktor positif dan 𝑝 + 1 memiliki tepat 6 faktor positif. (163)

Pembahasan:

Kita selidiki bilangan 𝑝 − 1 yang memiliki 10 faktor:

𝑝 − 1 = 2⁴× 3 = 64, 𝑝 = 65, bukan bilangan prima 𝑝 − 1 = 2⁴× 5 = 80, 𝑝 = 81 bukan bilangan prima

𝑝 − 1 = 2⁴× 7 = 112, 𝑝 = 113 bilangan prima, 𝑝 + 1 = 114 = 2 × 57 memiliki 4 faktor positif.

𝑝 − 1 = 2 × 3⁴= 162, 𝑝 = 163 bilangan prima, 𝑝 + 1 = 164 = 2²× 41 memiliki 6 faktor positif.

Jadi bilangan prima 𝑝 yang memenuhi adalah 163.

(2)

Anwar, S.Si Page 2 4. Diketahui gambar persegi panjang ABCD berada pada seperempat lingkaran yang berpusat di O seperti pada gambar berikut ini. Jika panjang 𝐴𝐵 = 16 , 𝐵𝐶 = 7 dan 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 maka tentukan berapa panjang jari-jari lingkaran.

Pembahasan:

Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 17

5. Diketahui luas persegi kecil adalah 49 satuan luas, maka luas daerah yang berada dalam gambar berbentuk hati adalah …

Miskan panjang 𝑂𝐵 = 𝑂𝐴 = 𝑥 𝑂𝐴²+ 𝑂𝐵² = 𝐴𝐵²

𝑥²+ 𝑥²= 16² 2𝑥²= 16 . 16 𝑥²= 8 . 16 𝑥 = 4√8 = 8√2

Perbandingan luas segitiga 𝐴𝑂𝐵 𝑂𝑄. 𝐴𝐵 = 𝑂𝐴. 𝑂𝐵

𝑂𝑄 =^{𝑂𝐴.𝑂𝐵}

𝐴𝐵 =^{8√2 .8√2}

16 = 8

Dengan menggunakan rumus Pythagoras 𝑂𝐶² = 𝑂𝑃²+ 𝑃𝐶²

= (8 + 7)²+ (¹⁶

2)² = (15)²+ (8)² 𝑂𝐶² = 289 ⟹ 𝑂𝐶 = 17 P

Q

(3)

Anwar, S.Si Page 3 Pembahasan:

Luas daerah di dalam hati sama saja dengan 24 luas persegi kecil ditambah satu luas lingkaran = 24 × 49 + 𝜋(14)²= 1176 + 616 = 1792 satuan luas

6. Jika 𝑥 = √7 + 5√2³ − ¹

√7+5√2

3 , maka tentukan nilai dari 𝑥³+ 3𝑥 − 14 Pembahasan:

𝑥 = √7 + 5√2³ − ¹

√7+5√2

3

𝑥³ = ( √7 + 5√2³ − ¹

√7+5√2

3 )

3

𝑥³ = ( √7 + 5√2³ )³− ( ¹

√7+5√2

3 )

3

− 3 ( √7 + 5√2³ ) ( ¹

√7+5√2

3 ) ( √7 + 5√2³ − ¹

√7+5√2

3 )

𝑥³ = 7 + 5√2 − ( ¹

7+5√2) − 3𝑥 𝑥³ = 7 + 5√2 − (5√2 − 7) − 3𝑥 𝑥³ = 14 − 3𝑥

𝑥³+ 3𝑥 − 14 = 0

7. Misalkan 𝑎, 𝑏 adalah bilangan bulat yang memenuhi 10𝑎 + 𝑏 = 20 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 𝑎𝑥 + 𝑏. Jika 𝑔(10)𝑔(11) = 𝑔(𝑛), maka tentukan nilai 𝑛 yang memenuhi.

Pembahasan:

𝑔(10)𝑔(11) = 𝑔(𝑛)

(100 + 10𝑎 + 𝑏)(121 + 11𝑎 + 𝑏) = 𝑛²+ 𝑎𝑛 + 𝑏 (100 + 20)(121 + 10𝑎 + 𝑏 + 𝑎) = 𝑛²+ 𝑎𝑛 + 20 − 10𝑎 (100 + 20)(121 + 20 + 𝑎) = 𝑛²+ 20 + 𝑎(𝑛 − 10) (120)(141 + 𝑎) = 𝑛²+ 20 + 𝑎(𝑛 − 10)

120(141) + 120𝑎 = 𝑛²+ 20 + 𝑎(𝑛 − 10) Kita samakan

120𝑎 = 𝑎(𝑛 − 10) 120 = 𝑛 − 10 𝑛 = 130

120(141) = 𝑛²+ 20

𝑛²= 120(141) − 20 = 16900 ⟹ 𝑛 = 130 Jadi nilai 𝑛 yang memenuhi adalah 𝑛 = 130

(4)

Anwar, S.Si Page 4 8. Diketahui

𝐴 𝐵= 3

1²+ 5

1²+ 2²+ 7

1²+ 2²+ 3²+ ⋯ + 201

1²+ 2²+ 3²+ ⋯ + 100² Jika A dan B saling prima maka nilai dari 𝐴 – 𝐵 adalah …

Pembahasan:

Bentuk umum dari suku penjumlahan di atas adalah

2𝑛+1

1²+2²+3²+⋯+𝑛²= 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)^2𝑛+1 6

= ⁶

𝑛(𝑛+1)= 6 (¹

𝑛− ¹

𝑛+1) Penjumlahan di atas dapat diubah menjadi

3 1²+ ⁵

1²+2²+ ⁷

1²+2²+3²+ ⋯ + ²⁰¹

1²+2²+3²+⋯+100²

= 6 (¹

1−¹

2+¹

2−¹

3+¹

3−¹

4+¹

4−¹

5+ ⋯ + ¹

100− ¹

101)

= 6 (¹

1− ¹

101)

= 6 (¹⁰⁰

101) =⁶⁰⁰

101

Diperoleh nilai 𝐴 = 600 dan 𝐵 = 101 Jadi nilai dari 𝐴 – 𝐵 = 600 − 101 = 499

9. Perhatikan persegi ajaib berikut!. Jumlah angka pada baris mendatar, menurun dan diagonal adalah sama. Tentukan nilai yang tepat untuk menggantikan huruf x?

x 19 96 1

Pembahasan:

Misalkan kita isi kotak yang kosong dengan huruf 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒 x 19 96

1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒

𝑥 + 19 + 96 = 𝑥 + 1 + 𝑐 ⟹ 𝑐 = 115 − 1 = 114 114 + 𝑎 + 96 = 𝑥 + 1 + 114 ⟹ 𝑎 = 𝑥 − 95 Tabelnya menjadi

x 19 96

1 𝑥 − 95 𝑏

114 𝑑 𝑒

19 + 𝑥 − 95 + 𝑑 = 𝑥 + 19 + 96 ⟹ 𝑥 − 76 + 𝑑 = 𝑥 + 115 ⟹ 𝑑 = 191 114 + 191 + 𝑒 = 𝑥 + 115 ⟹ 𝑒 = 𝑥 − 190

Tabelnya menjadi

(5)

Anwar, S.Si Page 5

x 19 96

1 𝑥 − 95 𝑏

114 191 𝑥 − 190 Dengan demikian

𝑥 + 𝑥 − 95 + 𝑥 − 190 = 𝑥 + 115 ⟹ 3𝑥 − 285 = 𝑥 + 115 ⟹ 2𝑥 = 400 ⟹ 𝑥 = 200 Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 200.

10. Jika 𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²+ 96 = 8(𝑎 + 𝑏 − 2𝑐), maka tentukan nilai dari √𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Pembahasan:

𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²+ 96 = 8(𝑎 + 𝑏 − 2𝑐)

⟹ 𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²+ 96 = 8𝑎 + 8𝑏 − 16𝑐

⟹ 𝑎²− 8𝑎 + 𝑏²− 8𝑏 + 𝑐²+ 16𝑐 + 96 = 0

⟹ (𝑎 − 4)²− 16 + (𝑏 − 4)²− 16 + (𝑐 + 8)²− 64 + 96 = 0

⟹ (𝑎 − 4)²+ (𝑏 − 4)²+ (𝑐 + 8)²= 0 Diperoleh 𝑎 = 4, 𝑏 = 4 dan 𝑐 = −8 Subtitusi 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 ke √𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

√𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = √4(4) − 4(−8) + 4(−8) = √16 + 32 − 32 = √16 = 4 Jadi nilai dari √𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 adalah 4

11. Tentukan ada berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk dari menghubungkan 3 ttitik persegi di bawah ini.

Pembahasan:

𝐶 − 10 𝐶 − 4 𝐶 = ^16!

13!.3!− 10 ^4!

3!.2!− 4^3!

3!= 560 − 40 − 4 = 516

33 34

163

Jadi banyaknya segitiga yang dapat dibentuk adalah 516 segitiga

(6)

Anwar, S.Si Page 6 12. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi persamaan:

𝑥𝑦 = 6 (𝑥 + 𝑦 + √𝑥²+ 𝑦²) Pembahasan:

𝑥𝑦 = 6(𝑥 + 𝑦 + √𝑥²+ 𝑦²) 𝑥𝑦 = 6𝑥 + 6𝑦 + 6(√𝑥²+ 𝑦²)

𝑥𝑦 − 6𝑥 − 6𝑦 = 6(√𝑥²+ 𝑦²) kuadratkan kedua ruas (𝑥𝑦 − 6𝑥 − 6𝑦)²= (6(√𝑥²+ 𝑦²))

2

𝑥²𝑦²− 12𝑥²𝑦 − 12𝑥𝑦²+ 36𝑥²+ 36𝑦²+ 72𝑥𝑦 = 36(𝑥²+ 𝑦²) 𝑥²𝑦²− 12𝑥²𝑦 − 12𝑥𝑦²+ 72𝑥𝑦 = 0

𝑥𝑦(𝑥𝑦 − 12𝑥 − 12𝑦 + 72) = 0 (𝑥𝑦 − 12𝑥 − 12𝑦 + 72) = 0 (𝑥 − 12)(𝑦 − 12) − 144 + 72 = 0 (𝑥 − 12)(𝑦 − 12) = 72

Banyak pasangan ((𝑥 − 12), (𝑦 − 12)) =

{(1,72), (2,36), (3,24), (4,18), (6,12), (8,9), (9,8), (12,6), (18,4), (24,3), (2,36), (72,1)}

Ada 12 pasangan.

Khusus ((𝑥 − 12), (𝑦 − 12)) = {(−8, −9), (−9, −8)} menghasilkan (𝑥, 𝑦) = (4,3) dan (3,4) tidak memenuhi jika disubtitusikan kepersamaan awal.

Jadi banyak pasangan (𝑥, 𝑦) adalah 12 pasangan.

13. Tentukan jumlah semua nilai 𝑛 bilangan bulat positif yang memenuhi 𝑛 + 9, 16𝑛 + 9 dan 27𝑛 + 9 adalah kuadrat sempurna.

Pembahasan:

Misalkan:

𝑛 + 9 = 𝑎² … (1) 16𝑛 + 9 = 𝑏² … (2) 27𝑛 + 9 = 𝑐² … (3)

Dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif.

Persamaan (1) di kali 16 kemudian dikurangi persamaan (2) 16𝑛 + 144 − (16𝑛 + 9) = 16𝑎²− 𝑏²

𝑎²− 𝑏²= 135

(4𝑎 − 𝑏)(4𝑎 + 𝑏) = 135 diperoleh

(4𝑎 − 𝑏)(4𝑎 + 𝑏) = 1 × 135 = 3 × 45 = 5 × 27 = 9 × 15, (𝑎 − 𝑏) < (𝑎 + 𝑏)

 Untuk (4𝑎 − 𝑏) = 1 dan (4𝑎 + 𝑏) = 135, jumlahkan keduanya 8𝑎 = 136 ⟹ 𝑎 = 17

𝑛 = 𝑎²− 9 = 289 − 9 = 280

𝑛 = 𝑎²− 9 = 36 − 9 = 27

𝑛 = 𝑎²− 9 = 16 − 9 = 7

(7)

Anwar, S.Si Page 7

𝑛 = 𝑎²− 9 = 9 − 9 = 0, tidak memenuhi karena bukan bilangan bulat positif Kita dapatkan nilai 𝑛 yaitu 280, 27 dan 7.

Subtitusi nilai 𝑛 ke persamaan (3) 27𝑛 + 9 = 𝑐²⟹ 𝑐² = 9(3𝑛 + 1)

 Untuk 𝑛 = 280, 𝑐²= 9(3(280) + 1) = 9(841), memenuhi kuadrat sempurna

 Untuk 𝑛 = 27, 𝑐²= 9(3(27) + 1) = 9(82), tidak memenuhi kuadrat sempurna

 Untuk 𝑛 = 7, 𝑐²= 9(3(7) + 1) = 9(22), tidak memenuhi kuadrat sempurna hanya satu nilai 𝑛 yang memenuhi yaitu 280.

Jadi jumlah semua nilai 𝑛 yang memenuhi adalah 280.

14. Suatu bilangan 3 digit dikatakan “Guanteng” jika memenuhi sifat bilangan tersebut habis dibagi 3 dan jumlah digitnya sama dengan 4 kali digit tengahnya. Tentukan berapa banyak bilangan “Guanteng” 3 digit.

Pembahasan:

Misalkan bilangan tiga digit 𝑎𝑏𝑐, sifat bilangan 3 digit yang habis dibagi 3 adalah jumlah digitnya kelipatan 3. Karena bilangan 𝑎𝑏𝑐 memenuhi sifat 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4𝑏, maka dipastikan 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 merupakan kelipatan 4 sekaligus kelipatan 3.

Nilai yang memenuhi untuk 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 adalah 12 dan 24

 Untuk 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12 = 4 × 3, nilai 𝑏 yang memenuhi 𝑏 = 3 𝑎 + 3 + 𝑐 = 12 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 9

(𝑎, 𝑏) = {(1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)} ada 9 pasangan

 Untuk 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 24 = 4 × 6, nilai 𝑏 yang memenuhi 𝑏 = 6 𝑎 + 6 + 𝑐 = 24 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 18

(𝑎, 𝑏) = {(9,9)} ada 1 pasangan

Jadi banyaknya bilangan “Guanteng” yang memenuhi ada 10 bilangan yaitu 138, 237, 336, 435, 534, 633, 732, 831, 930, 969.

15. Tentukan hasil dari penjumlahan berikut!

3 5+6

7+5 6+ 7

12+ 9 20+11

30+13 42 Pembahasan:

3 5+7

7−1 7+1

2+1 3+1

4+1 3+1

4+1 5+1

5+1 6+1

6+1 7= 1

2+ (1 3+1

3) + (1 4+1

4) + (3 5+1

5+1 5) + (1

6+1 6) + (7

7−1 7+1

7) = 1

2+ (2 3) + (2

4) + (5 5) + (2

6) + (7 7) = 1

2+ (1 2) + (5

5) + (2 3) + (1

3) + (7 7) =2

2+5 5+3

3+7 7= 4

(8)

Anwar, S.Si Page 8 16. Perhatikan gambar trapezium sama kaki 𝐴𝐵𝐶𝐷. Diketahui ∠𝐵𝐴𝐷 = 120⁰, ∠𝐵𝐶𝐷 = 60⁰,

panjang 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 = 3 ∶ 5, dan 𝐴𝐸 ∶ 𝐸𝐵 = 3 ∶ 5. Jika perbandingan luas trapezium 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan luas segitiga 𝐶𝐹𝐷 adalah 𝑥: 𝑦 dalam bentuk paling sederhana maka nilai 𝑥 + 𝑦 adalah …

Pembahasan:

Garis BC//AD maka ∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐻 = 60⁰ (sehadap), karena trapesiumnya samaka kaki maka berlaku juga ∠𝐶𝐵𝐴 = ∠𝐻𝐴𝐷 = 60⁰. Sehingga diperoleh segitiga sama sisi [𝐻𝐵𝐶] dan [𝐻𝐴𝐷]

 Perhatikan bahwa [𝐻𝐵𝐶] ≅ [𝐻𝐴𝐷].

Karena 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 = 3 ∶ 5,dan [𝐻𝐵𝐶] sama sisi maka 𝐻𝐴 ∶ 𝐴𝐵 = 2 ∶ 3

 Perhatikan [𝐴𝐺𝐸] sebangun [𝐵𝐸𝐶], maka berlaku perbandingan 𝐴𝐺

𝐵𝐶=𝐴𝐸

𝐸𝐵⟹ 𝐴𝐺 =3

5× 5𝑛 = 3𝑛

 Perhatikan [𝐷𝐺𝐹] sebangun [𝐵𝐹𝐶], maka berlaku perbandingan 𝐷𝐹

𝐵𝐹=𝐷𝐺

𝐵𝐶⟹𝐷𝐹 𝐵𝐹=5𝑛

5𝑛=1 Diperoleh panjang 𝐷𝐹 = 𝐵𝐹 1

 Misalkan tinggi trapezium adalah 𝑡, maka [𝐵𝐷𝐶]

[𝐴𝐵𝐶𝐷]= 1 2(5𝑛)𝑡 1

2 (5𝑛 + 2𝑛)𝑡

=5𝑛 7𝑛=5

7⟹ [𝐵𝐷𝐶] =5

7[𝐴𝐵𝐶𝐷]

A

B C

D

E

F

A

B C

D

E

F G

H

2𝑛

5𝑛 3𝑚

5𝑚

3𝑛 3𝑛

2𝑛

(9)

Anwar, S.Si Page 9

 Karena 𝐷𝐹 = 𝐵𝐹, maka [𝐶𝐹𝐷] =¹₂[𝐵𝐷𝐶] =¹

2×⁵

7[𝐴𝐵𝐶𝐷] = ⁵

14[𝐴𝐵𝐶𝐷]

Dengan demikian kita peroleh _{[𝐴𝐵𝐶𝐷]}^{[𝐶𝐹𝐷]} =^𝑥

𝑦= ⁵

14

Jadi nilai 𝑥 + 𝑦 = 5 + 14 = 19.

17. Diketahui 𝑥 =^𝑝_𝑞 dimana 𝑝, 𝑞 adalah bilangan bulat saling prima yang memenuhi

√𝑥 + √𝑥 − √𝑥 − √𝑥 =3 2√ 𝑥

𝑥 + √𝑥 Tentukan nilai dari 𝑝 + 𝑞?

Pembahasan:

√𝑥 + √𝑥 − √𝑥 − √𝑥 =³₂√_𝑥+√𝑥^𝑥 (kedua ruas dikali √𝑥 + √𝑥)

⟹ 𝑥 + √𝑥 − (√𝑥²− 𝑥) =³

2√𝑥

⟹^{𝑥+√𝑥−(√𝑥}²^−𝑥)

√𝑥 =³

2

⟹ √𝑥 + 1 − (√𝑥 − 1) =³₂

⟹ √𝑥 − (√𝑥 − 1) =¹₂ (kuadratkan kedua ruas)

⟹ 𝑥 + 𝑥 − 1 − 2√𝑥(𝑥 − 1) =¹

4

⟹ 2𝑥 − 1 −¹

4= 2√𝑥(𝑥 − 1)

⟹ 2𝑥 −⁵

4= 2√𝑥(𝑥 − 1) (kuadratkan kedua ruas)

⟹ 4𝑥²− 5𝑥 +²⁵

16= 4(𝑥²− 𝑥)

⟹ 4𝑥²− 5𝑥 +²⁵

16= 4𝑥²− 4𝑥

⟹ 𝑥 =²⁵

16=^𝑝

𝑞

Jadi nilai dari 𝑝 + 𝑞 adalah 25 + 16 = 41.

18. Tanpa menggunakan alat hitung. Tentukan nilai 𝐴 yang memenuhi:

15⁸− 𝐶 = 25628906𝐴4 Pembahasan:

15⁸− 𝐶 = 25628906𝐴4 15⁸= 25628906𝐴4 + 𝐶

Karena 15⁸ mod 10 = 5, maka nilai C yang memenuhi adalah 1.

Perhatikan bahwa

15⁸= (3.5)⁸= 3⁸. 5⁸= 9⁴5⁸ mod 9 = 0

Artinya bahwa 15⁸ merupakan kelipatan 9. Dengan menggunakan syarat habis dibagi 9 diperoleh

2 + 5 + 6 + 2 + 8 + 9 + 0 + 6 + 𝐴 + 4 + 𝐶 = 42 + 𝐴 + 𝐶 = 42 + 𝐴 + 1 = 𝑘. 9 43 + 𝐴 = 45 ⟹ 𝐴 = 2

Jadi nilai 𝐴 yang memenuhi adalah 2.

(10)

Anwar, S.Si Page 10 19. Perhatikan gambar berikut!. Diketahui AB dan AC adalah diameter lingkaran. Jika

panjang BC = 4 maka tentukan selisih area yang diarsir 𝑆1 dan 𝑆2. (jawaban ditulis dalam bentuk decimal).

Pembahasan:

Kurangkan persamaan (1) dan (2), diperoleh

1

2𝜋𝑅²−¹

2𝜋𝑟²= (𝑎 + 𝑆₂) − (𝑎 + 𝑆₁)

⟹¹

2𝜋(𝑅²− 𝑟²) = 𝑆₂− 𝑆₁ … (3) Dari [𝐴𝐵𝐶], kita dapatkan

𝐵𝐶 = √𝐴𝐵²− 𝐴𝐶²= √(2𝑅)²− (2𝑟)²= √4𝑅²− 4𝑟² ⟹ 4 = 2√𝑅²− 𝑟²

⟹ 16 = 4(𝑅²− 𝑟²)

⟹ (𝑅²− 𝑟²) = 4 … (4)

Subtitusi persamaan (4) ke pers (3)

⟹¹

2𝜋(4) = 𝑆₂− 𝑆₁

⟹ 𝑆₂− 𝑆₁= 2𝜋 = 6,28

Misal:

𝐴𝐵 = 2𝑅 dan 𝐴𝐶 = 2𝑟

Karena 𝐴𝐵 adalah diameter lingkaran maka

∠𝐴𝐶𝐵 = 90⁰.

Kita misalkan juga luas daerah yang tidak diarsir pada setengah lingkaran besar dan sedang adalah 𝑎.

Luas setengah lingkaran besar = 𝑎 + 𝑆₂

⟹¹

2𝜋𝑅² = 𝑎 + 𝑆₂ … (1)

Luas setengah lingkaran kecil = 𝑎 + 𝑆1

⟹¹

2𝜋(𝑟)²= 𝑎 + 𝑆₁ … (2) 𝑎

2𝑟

2𝑅

(11)

Anwar, S.Si Page 11 20. Tentukan sisa pembagian 7⁵⁰ oleh 13

Pembahasan:

7⁵⁰ mod 13 = (7²)²⁵ mod 13 = (49)²⁵ mod 13

= (10)²⁵ mod 13

= (10³)⁸. 10 mod 13 = (1000)⁸. 10 mod 13 = (−1)⁸. 10 mod 13

= 10 mod 13

= 10

Jadi sisa pembagian 7⁵⁰ oleh 13 adalah 10

Info Penting:

Mohon kerjasamanya bagi yang sudah mendapatkan soal dan solusi BMOC, untuk tidak di share tanpa seizin penulis, dengan ini sangat membantu penulis untuk terus berkarya.

Terimakasih