HARI PERTAMA
1.1 Bagian Pertama
1. Diberikan barisan bilangan real . Jika , maka
Jawab:
Pertama, soal ini kurang jelas. Jika diperhatikan bisa divergen. Sebagai contoh, untuk . Sedangkan untuk , sigma tersebut konvergen.
Jika diasumsikan soalnya salah ketik, maka mungkin soalnya sebagai berikut:
dengan .
Jelas,
, untuk suatu . Sedangkan terbatas oleh . Sehingga diperoleh
, karena jumlah dibagian akhir menuju ke .
Jadi disimpulkan
.
2. Diberikan fungsi kontinu dan , dengan dan . Jika dan , maka
Jawab:
Misalkan . maka dan , sehingga
Karena kontinu dan mempunyai limit berhingga saat , ini artinya Dominated Convergence Theorem (DCT) berlaku.
Berdasarkan DCT, diperoleh
3. Misalkan merupakan suatu gelanggang kuosien, dengan adalah ideal yang dibangun oleh polinom di . Banyaknya homomorfisma gelanggang yang bijektif dari ke adalah
Jawab:
Misalkan , untuk beberapa . Hal ini karena sisa paling banyak dari pembagian terhadap kuadrat adalah linier.
Perhatikan bahwa: jika , maka . Tetapi, adalah kelipatan dari . jika dan hanya jika hasilnya adalah saat . Substitusi, diperoleh dan . Terdapat 4 pasangan yang mungkin, yaitu: , , , . Substitusi nilai tesebut ke , diperoleh: .
Mudah ditunjukkan bahwa dan adalah bijektif. Sedangkan dan tidak surjetif. Ini artinya, terdapat isomorfisma gelanggang dari ke . Catatan: Homomorfisma gelanggang yang bijektif disebut isomorfisma gelanggang.
4. Misalkan adalah grup dengan operasi (komposisi fungsi) dan merupakan ruang vektor atas . Jika merupakan himpunan yang unsur-unsurnya berupa pemetaan linear , dengan sifat untuk setiap basis , membentuk basis , maka banyaknya subgrup berorde 2 di adalah
Jawab:
merupakan grup non abelian.
adalah matriks identitas dengan orde 1.
,
, dan
adalah matriks-matriks involuntary dengan orde 2.
adalah matriks dengan orde 3.
Jadi, banyaknya subgrup berorde 2 di adalah 3.
5. Jika adalah grup yang dibangun oleh dan , dengan , maka orde dari adalah
Jawab:
Soal ini adalah representasi dari grup Dihedral . Bentuk umum grup Dihedral adalah
dimana dan adalah pembangun dari grup . Oder dari adalah .
Dari soal, diketahui maka diperoleh dan . Karena , maka diperoleh
Sehingga bisa ditulis
Jadi, order dari grup adalah .
6. Sebuah toko menjual empat jenis kembang gula rasa: mangga, jeruk, durian dan kopi.
Untuk keperluan sampel akan dipilih paling banyak 3 rasa mangga, paling banyak 3 rasa jeruk, paling banyak 2 rasa durian, dan paling banyak 2 rasa kopi. Banyaknya cara untuk memilih sampel berukuran 5 adalah · · ·
Jawab:
Untuk soal seperti ini bisa diselesaikan dengan menggunakan fungsi pembangkit biasa.
Misalkan berturut-turut menyatakan kembang gula rasa mangga, rasa jeruk, rasa durian, dan rasa kopi. Banyaknya cara memilih sampel berukuran 5 pada soal sama dengan banyaknya bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut:
dengan syarat
Fungsi pembangkit yang bersesuaian dengan syarat-syarat diatas adalah
Banyaknya cara memilih sampel berukuran 5 yang dimaksud adalah koefisien dari pada , yaitu cara.
Catatan:
1.2 Bagian Kedua
1. Diberikan fungsi terdiferensial, terdapat dengan dan untuk setiap , berlaku . Buktikan untuk setiap
Jawab:
Diketahui dan untuk setiap , maka
Karena turunan pertama dari adalah positif, maka adalah fungsi monoton naik. (materi kalkulus)
Akibatnya , untuk semua . Diperoleh dan , untuk semua . (Terbukti)
2. Diketahui adalah koleksi semua fungsi yang memenuhi:
untuk setiap . Buktikan bahwa:
(i) untuk setiap , merupakan fungsi terbatas pada .
(ii) terdapat barisan fungsi di dalam , dengan sifat untuk setiap , berlaku
Jawab:
(i). Dari , diperoleh
Sehingga diperoleh
Karena terdiferensial di , dan untuk semua . Ini artinya adalah fungsi konstan atau bisa ditulis untuk semua . Dengan mengambil sebuah bilangan real , maka diperoleh terbatas pada .
(ii). Ambil , untuk semua . Jelas, .
3. Definisi: Dua bilangan bulat dan disebut membangun gelanggang , jika untuk setiap , , untuk suatu .
Misalkan merupakan peluang dua bilangan bulat yang dipilih secara acak membangun gelanggang . Buktikan bahwa . (Petunjuk : gunakan deret )
Jawab:
Diketahui bahwa ring . Untuk kasus seperti dalam soal, tidak tepat kalau dan dipilih secara acak, haruslah keduanya relatif prima, supaya diperoleh peluang pasangan bilangan bulat dalam ke adalah .
Untuk membuktikan ini, pertama digunakan Identitas Bézout:
Jika dan adalah bilangan-bilangan bulat dengan . Maka, terdapat bilangan-bilangan bulat dan sedemikian sehingga . Secara umum, bilangan-bilangan bulat hasil dari merupakan kelipatan dari .
Dari Identitas Bézout diperoleh bahwa dua bilangan bulat adalah relatif prima, jika keduanya membangun .
Selanjunya untuk peluang.. Perhatikan bahwa:
Setiap bilangan bulat mempunyai peluang sama dengan 1 untuk habis dibagi oleh 1.
Sebuah bilangan bulat genap atau ganjil memiliki peluang sama dengan untuk habis dibagi oleh .
Demikian pula, sebuah bilangan bulat mempunyai peluang “1/3” untuk habis dibagi oleh 3, karena semua bilangan bulat berbentuk , , atau .
Dugaan secara umum, sebuah bilangan bulat yang dipilih diantara bilangan bulat memiliki satu peluang untuk habis dibagi oleh .
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa:
Peluang sebuah bilangan habis dibagi oleh adalah .
Berdasarkan aturan perkalian, peluang dua buah bilangan bulat secara bersamaan habis dibagi oleh adalah .
Ini artinya, peluang dua buah bilangan bulat yang berbeda dan keduanya tidak bersamaan habis dibagi oleh adalah .
Jadi, dapat disimpulkan bahwa peluang dua bilangan bulat berbeda yang tidak secara bersamaan habis dibagi oleh bilangan prima adalah
4. Misalkan merupakan bilangan bulat positif yang tidak habis dibagi oleh 2 dan 5.
Perlihatkan bahwa terdapat bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari sedemikian sehingga semua digit dari adalah 1. (Contoh: Bila , maka adalah kelipatan dari 3 yang semua digitnya adalah 1).
Jawab:
Teorema Euler:
Jika adalah bilangan bulat postif dan relatif prima dengan , maka
dimana melambangkan fungsi phi Euler.
Dari Teorema Euler di atas, diperoleh habis dibagi oleh .
Dari soal diketahui tidak habis dibagi oleh 2 atau 5, maka diperoleh tidak habis dibagi oleh 10. Ini artinya dan relatif prima.
Berdasarkan Teorema Euler, diperoleh habis dibagi oleh . Akibatnya, adalah bilangan bulat yang merupakan hasil perkalian atau kelipatan dari yang semua digitnya adalah .
Keterangan: Untuk bilangan bulat positif dengan digit-digit sebanyak . Jika dibagi oleh 9 maka diperoleh dengan digit-digit sebanyak .
HARI KEDUA
2.1 Bagian Pertama
1. Matriks A adalah matriks ukuran dengan entri-entri bilangan asli genap dan ganjil yang berbeda satu dengan yang lain. Agar A menjadi matriks non-singular, maka banyaknya entri-entri bilangan ganjil paling sedikit adalah
Jawab:
Kita dapat dengan mudah membangun matriks nonsingular dengan entri bilangan asli, yaitu cukup dengan membuat elemen diagonal lebih besar dari jumlah elemen lainnya di baris yang sesuai. Oleh karena itu, dengan hanya menggunakan bilangan-bilangan asli genap yang berbeda, kita bisa membuat sebuah matriks yang non singular.
Sebagai contoh, kita mempunyai sebuah matriks
Akan dibuktikan bahwa entri-entri di kolom dari matriks lebih besar dari jumlah entri- entri lain di baris yang sama.
Sehingga jika entri-entri di kolom dari matriks dijadikan sebagai entri diagonal diperoleh matriks yang diinginkan.
Jadi, banyaknya entri-entri bilangan ganjil paling sedikit adalah 0.
2. Misalkan dan adalah matiks identitas . Misalkan pula adalah matriks dengan . Jika 2 adalah salah satu nilai eigen dari , maka nilai-nilai eigen dari yang dapat diketahui adalah
Jawab:
Perhatikan bahwa:
Jika maka , untuk Diketahui 2 adalah nilai eigen dari , maka
Selanjutnya, akan dicari nilai-nilai eigen dari ,
Maka,
diperoleh
atau
Dari Persamaan dan diperoleh
Jadi, nilai-nilai eigen dari yang dapat diketahui adalah dan . Cara Cepat:
Misalkan adalah matriks ukuran . Karena nilai eigen dari adalah 2, maka dan .
Akibatnya, matriks adalah
Sehingga,
Selanjutnya, akan dicari nilai-nilai eigen dari matriks ,
diperoleh nilai-nilai eigen dari matriks adalah dan . 3. Jika
dan
maka banyaknya anggota adalah
Jawab:
Karena adalah bilangan real tak negatif, maka jika dan hanya jika , untuk suatu bilangan bulat .
Jika dimisalkan , maka , yang bisa digambarkan sebagai sebuah lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari .
Karena dan adalah bilangan-bilangan real. Maka ada tak hingga banyaknya nilai dan yang memenuhi . Sehingga kardinalitas atau banyaknya anggota himpunan dari dan adalah . Akibatnya, banyaknya anggota adalah .
4. Jika diketahui fungsi
analitik di seluruh bidang kompleks, maka nilai dari adalah
Jawab:
Suatu fungsi kompleks dikatakan analitik, jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann, yaitu
Diketahui .
Karena f(z) analitik, ini artinya f(z) memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann, yaitu
Dari Persamaan (i) diperoleh dan . Sedangkan dari Persamaan (ii) diperoleh dan .
Sehingga diperoleh fungsi yang baru, yaitu
Nilai diperoleh ketika dan . Maka,
5. Koefisien suku yang memuat pada ekspansi deret Taylor fungsi di adalah
Jawab:
Pertama, kita cari terlebih dahulu nilai yang membuat .
Jadi, koefisien suku yang memuat pada ekspansi deret Taylor fungsi di adalah
.
6. Sebuah tes terdiri atas 10 soal. Setiap soal diberi nilai bulat dan paling sedikit diberi nilai 5.
Bila soal pertama hanya boleh diberi nilai 10 atau 15 dan total nilai tes adalah 100, banyaknya cara memberi nilai pada tes tersebut adalah
Jawab:
Untuk soal seperti ini bisa diselesaikan dengan menggunakan fungsi pembangkit biasa.
Misalkan adalah soal-soal ke- . Maka,
, dimana atau , dan .
(*)
Banyaknya cara memberi nilai tes di soal sama dengan banyaknya solusi bilangan bulat yang memenuhi Persamaan (*).
Selanjutnya akan dibagi menjadi dua kasus, yaitu untuk kasus dan kasus kedua .
KASUS I (
Substitusi nilai ke Persamaan (*), diperoleh
Karena dalam persamaan tersebut memuat 9 variabel, maka fungsi pembangkit dari permasalahan itu memuat 9 faktor. Selanjutnya, karena setiap variabel , maka setiap faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah .
Misalkan adalah fungsi pembangkit dari permasalahan ini, maka
Banyak solusi bulat yang dimaksud sama dengan koefisien ( yang diambil adalah ) dalam , yaitu
KASUS II (
Substitusi nilai ke Persamaan (*), diperoleh
Karena dalam persamaan tersebut memuat 9 variabel, maka fungsi pembangkit dari permasalahan itu memuat 9 faktor. Selanjutnya, karena setiap variabel , maka setiap faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah .
Misalkan adalah fungsi pembangkit dari permasalahan ini, maka
Banyak solusi bulat yang dimaksud sama dengan koefisien ( yang diambil adalah 85 ) dalam , yaitu
Jadi, banyaknya solusi dari Persamaan (*) adalah , yang juga merupakan banyaknya cara memberi nilai test yang dimaksud pada soal.
2.2 Bagian Kedua
1. Misalkan adalah ruang hasil kali dalam dan adalah basis orthonormal . Misalkan pula . Tentukanlah banyaknya vektor yang normnya 1 dan ortogonal terhadap vektor-vektor .
Jawab:
Vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam dikatakan ortonormal, jika setiap vektor ortognal terhadap vektor lainnya dan masing-masing merupakan vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor yang normnya 1.
Diketahui adalah basis ortonormal, maka vektor-vektor masing- masing adalah vektor dengan normnya 1 dan ortogonal satu sama lain. Dari diperoleh setiap vektor ortogonal terhadap vektor-vektor , dengan syarat . Karena yang dicari adalah vektor yang ortogonal tehadap semua vektor , maka vektor yang dimaksud adalah 1 vektor dimana .
2. Misalkan adalah ruang vektor bagian dari ruang vetor yang memenuhi untuk setiap . Tentukanlah bilangan bulat terkecil, sebut saja , sedemikian sehingga .
Jawab:
Misalkan adalah dimensi maksimum dari ruang vektor dengan sifat-sifat seperti di soal, dan misalkan adalah sebuah basis dari .
Seperti yang diketahui, himpunan matriks segitiga atas dengan entri-entri diagonalnya adalah 0 membentuk sebuah ruang vektor bagian dengan dimensi .
Akan ditunjukkan dengan kontradiksi bahwa .
Misalkan adalah himpunan matriks-matriks simetris dari .
Mudah ditunjukkan bahwa , yaitu terdapat matriks , karena . Selanjutnya, asumsikan
Perhatikan bahwa:
Diperoleh suatu kontradiksi, yaitu . Maka, nilai maksimum yang mungkin adalah
3. Diberikan adalah bilangan-bilangan kompleks sehingga . Buktikan bahwa
Jawab:
Misalkan . Maka atau
Akibatnya,
Persamaan di atas akan bernilai sama dengan nol jika .
4. Diberikan bilangan bulat . Tuliskan argumentasi kombinatorial untuk memperlihatkan
Jawab:
Jika diperhatikan, seharusnya dimulai dari . Karena jika dimulai dari , maka untuk . Memang bisa dimulai dari , tetapi nilainya akan menjadi , begitupun dengan dan .
Misalkan terdapat orang yang mendaftar untuk menjadi anggota dari sebuah komunitas yang baru dibentuk. Dari orang tersebut, akan dipilih orang sebagai anggota komunitas, dimana orang dari orang tersebut memenuhi syarat untuk menjadi anggota komunitas. Kemudian akan dipilih 1 orang dari anggota-anggota komunitas sebagai ketua dari komunitas tersebut.
Berikut adalah salah 2 cara untuk memilihnya.
Cara 1
Pertama, memilih sebanyak orang untuk menjadi anggota dari orang-orang yang memenuhi syarat, yaitu sebanyak cara. Selanjutnya, memilih 1 orang dari orang yang dipilih sebgai anggota untuk menjadi ketua komunitas, yaitu sebanyak cara. Terakhir, memilih orang yang tidak menjadi anggota dari orang-orang yang tidak memenuhi syarat, yaitu sebanyak
cara. Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya
cara untuk memilih sesuai kondisi-kondisi tersebut adalah
Karena nilai yang mungkin adalah sampai dengan , maka secara keseluruhan, banyaknya cara adalah
.
Cara 2
Pertama, memilih 1 orang sebagai ketua dari orang yang memenuhi syarat, yaitu sebanyak cara. Kemudian memilih orang sebagai anggota dari orang- orang tersisa yang memenuhi syarat, yaitu sebanyak cara. Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk memilih sesuai kondisi-kondisi yang dimaksud adalah cara.
Dari kedua Cara di atas, diperoleh
Untuk saran bisa melalui E-mail: tomatalikuang@gmail.com Kunjungi: https://www.tomatalikuang.com
Dibuat di: Makassar, 01 Maret 2020 Aswad Hariri Mangalaeng, S.Si.
S1 Matematika UNHAS
