Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Kontes September 2023
13 Oktober – 16 Oktober 2023
Berkas Soal
Definisi dan Notasi
Berikut ini adalah daftar definisi yang digunakan di dokumen soal ini.
1. Notasi N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu {1,2, . . .}.
2. Notasi Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu{. . . ,−1,0,1,2, . . .}.
3. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab dengan a, b adalah bilangan bulat dan b6= 0.
4. Notasi Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional.
5. Bilangan real yang tidak rasional disebut sebagai bilangan irasional.
6. Notasi R menyatakan himpunan semua bilangan real.
7. Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif,n! (dibacan faktorial) bernilai 1×2×
· · · ×n. Contohnya, 4! = 1×2×3×4 = 24. Selain itu, 0! didefinisikan sebagai 1.
8. Untuk setiap bilangan real x, notasi bxcmenyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama denganx. Sebagai contoh,b2.3c= 2, bπc= 3, b−2.89c=−3, dan b4c= 4.
9. Untuk setiap bilangan real x, notasi dxe menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama denganx. Sebagai contoh,d2.3e= 3,dπe= 4,d−2.89e=−2, dan d4e= 4.
10. Untuk setiap bilangan real x, notasi {x} menyatakan bagian pecahan dari x. De- ngan kata lain, {x} = x − bxc. Sebagai contoh, {2.3} = 0.3, {9.99} = 0.99, {−2.89}= 0.11, dan {4}= 4.
11. Notasi min{a1, a2, . . . , ak}menyatakan bilangan real terkecil dari kumpulan bilang- an real a1, a2, . . . , ak. Sebagai contoh, min{4,1.5,5} = 1.5, min{3.5, π,3,4} = 3, min{−5,3}=−5, dan min{1}= 1.
12. Notasi max{a1, a2, . . . , ak} menyatakan bilangan real terbesar dari kumpulan bi- langan real a1, a2, . . . , ak. Sebagai contoh, max{4,1.5,5} = 5, max{3.5, π,3,4} = 4, max{−5,3}= 3, dan max{1}= 1.
13. Notasi a | b menyatakan a habis membagi b (atau b habis dibagi a). Notasi a - b menyatakana tidak habis membagib.
14. a≡b (mod c) jika dan hanya jika cmembagi |a−b|.
15. Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima bila fpb(a, b) = 1.
16. Fungsi τ(n) menyatakan banyaknya faktor positif dari sebuah bilangan asli n.
17. Fungsi Euler-phi (atau fungsi Euler), biasa didefinisikan sebagaiϕ(n), menyatakan banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang relatif prima dengann.
18. Notasi n
k
menyatakan nilai n!
k!(n−k)!.
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Halaman 1
19. Pada 4ABC:
(a) Garis berat dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan membagi segmen (ruas garis)BC menjadi dua bagian yang sama panjang.
(b) Garis bagi ∠A adalah garis yang melewati titik A dan membagi ∠BAC men- jadi dua bagian yang sama besar.
(c) Garis tinggi dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garisBC.
(d) Titik berat 4ABC adalah perpotongan garis berat dari titik A, garis berat dari titikB, dan garis berat dari titik C.
(e) Titik tinggi 4ABC adalah perpotongan garis tinggi dari titik A, garis tinggi dari titikB, dan garis tinggi dari titik C.
(f) Lingkaran luar 4ABC adalah lingkaran yang melewati titik A, B, dan C.
(g) Lingkaran dalam4ABCadalah lingkaran di dalam4ABCyang menyinggung segmenBC, CA, dan AB.
20. Luas dari sebuah segi-n dibungkus dengan kurung siku, yakni [ dan ]. Contoh- nya, [ABC] dan [DEF G] masing-masing menyatakan luas segitiga ABC dan luas segiempat DEF G.
21. Suatu barisan {an} disebut barisan aritmetika bila ai−1 −ai bernilai konstan (bi- sa jadi 0) untuk setiap i. Contohnya, 3,5,7,9, . . . dan 2,2,2 merupakan barisan aritmetika.
22. Suatu barisan{an}disebutbarisan geometrik bila ai+1a
i bernilai konstan taknol (bisa jadi 1) untuk setiap i. Contohnya, 4,6,9 dan 5,5,5,5,5, . . . merupakan barisan geometrik.
23. Rata-rata aritmetik dari dua bilangan reala dan b adalah a+b 2 . 24. Rata-rata geometrik dari dua bilangan reala dan b adalah√
ab.
25. Rata-rata harmonik dari dua bilangan reala dan b adalah 2
1 a+ 1b.
Bagian A
Untuk setiap soal, tuliskan saja jawaban akhirnya. Setiap soal bernilai 2 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah atau dikosongkan. Jawaban soal-soal bagian A dipastikan merupakan bilangan bulat.
1. Diberikan {sn≥1}, adalah barisan bilangan yang memenuhi sn−sn−1 =
(p, jika n≥p, n+ 1, jika n < p
untuk setiap bilangan aslin ≥2, denganpbilangan asli yang konstan. Misalkansk
adalah suku terbesar yang memenuhi sk <2023. Jikas1 = 2 + 0 + 2 + 3, tentukan nilai terbesar yang mungkin dari k.
2. Diberikan suatu bilanganx= 2a35b. Jika 9 habis membagixdan 11 habis membagi (x+ 3), tentukanlah nilai daria+b.
3. Diberikan persegi panjangABCDdengan panjangAB =adanBC = 6. Diketahui bahwa M adalah titik tengah BC, dan P adalah titik di AD sehingga AP = 4, MisalkanAM danBP berpotongan di titikQ. Jika luas dari segitigaBQM adalah 9, tentukan nilai dari a.
4. Andi ingin memilih 3 bilangan secara sekaligus yang diambil dari himpunan{1,2, ...,20}.
Misalkan peluang hasil kali ketiga bilangan yang dipilih Andi habis dibagi 5 adalah
m
n dimana m dan n adalah bilangan bulat positif dan gcd(m, n) = 1. Tentukan nilai dari m+n.
5. Tentukan banyaknya bilangan asli n sehingga n2−7n+ 12 memiliki tepat 4 faktor positif.
6. Diberikan polinom p(x) = ax3 + 5x2 + 7x+ 35. Jika x1, x2, dan x3 merupakan akar-akar dari p(x) danx1 +x2+x3 = x1
1 +x1
2 + x1
3, tentukan nilai dari a.
7. Diberikan grid dengan ukuran 10×10 yang terdiri atas 100 kotak 1×1. Diketahui bahwa kotak di ujung atas kiri, ujung atas kanan, dan ujung bawah kanan dari grid tersebut diberi warna hitam. Tentukan banyaknya persegi di grid 10×10 tersebut yang keempat sisinya sejajar dengan salah satu dari sumbu horizontal atau sumbu vertikal dari grid tersebut serta tidak mengandung kotak hitam.
8. Diberikan segitiga ABC dengan AC = 19 dan BC = 22. Misalkan D dan E berturut-turut merupakan titik tengah AC dan BC dengan BD ⊥ AE. Jika luas segitiga ABC dapat dinyatakan sebagai p√
q, dengan p, q bilangan asli, dan tidak ada satupun kuadrat sempurna selain 1 yang habis membagiq, tentukan nilaip+q.
9. Diberikan jajargenjang ABCD yang di dalamnya terdapat 4 lingkaran identik ω1, ω2, ω3, dan ω4 yang saling bersinggungan di luar. Lingkaran ω1 menyinggung AB, AD, ω2, danω3. Lingkaranω2menyinggungAB, BC, ω1, ω3, danω4. Lingkaran ω3 menyinggung AD, DC, ω1, ω2, dan ω4. Lingkaran ω4 menyinggung BC, DC, ω2, dan ω3. Jika DC = 2 +√
3 dan jari-jari ω1 dapat dinyatakan dalam bentuk ab√ c, di mana a dan b relatif prima sertac tidak memiliki faktor bilangan kuadrat, ten- tukanlah nilai a+b+c.
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Halaman 3
10. Diberikan barisana1, a2, a3, ...dan suatu bilangan x yang memenuhi ak = xk
x2k+ 1 untuk k≥1. Jika a1 = 1, tentukan nilai daria2023.
11. Peluang bahwa tiga titik ujung berbeda yang dipilih secara acak dari segi-127 bera- turan akan membentuk sebuah segitiga tumpul adalah mn, di manam dann adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari m+n.
12. Misalkan P(n) menyatakan sisa bagi 32n + 32 ketika dibagi 2n+3. Tentukan tiga digit terakhir dari
P(0) +P(1) +P(2) +· · ·+P(100).
13. Diberikan dua lingkaran L1 dan L2 yang bersinggung luar di titik P. Misalkan garis l1 adalah garis yang tidak mengandung titik P dan menyinggung L1 dan L2 berturut-turut di titik X dan Y. Jika XY = 10, XP = 6, dan penjumlahan panjang jari-jari L1 dan L2 dapat dinyatakan dalam bentuk pq, di mana p dan q adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai darip+q.
14. Cari jumlah semua bilangan asli n, sehingga terdapat bilangan asli x dan y yang memenuhi persamaan n=x6+x5 +x4 =y2+y+ 1.
15. Tentukan banyaknya cara membentuk kata dengan 7 huruf yang dipilih dariA, B, C sehingga untuk setiap tiga huruf berurutan, selalu ada dua di antaranya yang sama.
16. Jika nilai minimum dari
P = 5a2−3ab+ 2 a2(b−a) dapat dinyatakan dalam bentuk m√
n, di mana m, n adalah bilangan asli dan n tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat apa pun selain 1, maka tentukan nilai m+n.
Bagian B
Tuliskan jawaban beserta langkah pekerjaan Anda secara lengkap. Jawaban boleh diketik, difoto, ataupun di-scan. Setiap soal bernilai 7 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah.
1. Definisikan barisan {xi}∞i=0 dengan x0 = c dan xi+1 = axi+b untuk setiap i ≥ 0, di mana a, b, c adalah konstanta riil dan a6= 1.
(a) Jika (a, b, c) = (2,1,0), buktikan bahwaxn = 2n−1 untuk setiap bilangan asli n. (Petunjuk: gunakan induksi.)
(b) Dengan menyatakan jawaban Anda dalam a, b, c, tentukan nilai p dan q se- hingga berlaku kedua persamaan berikut.
x0 =p+q, x1 =pa+q
(c) Buktikan bahwa, untuk nilai pdan qyang telah Anda temukan di (b), berlaku xn=pan+q untuk setiap bilangan asli n.
(d) Definisikan barisan{Fi}∞i=0 denganF0 = 0, F1 = 1,danFi =Fi−1+Fi−2 untuk setiapi≥2. Misalkan pula r1 > r2 adalah akar-akar berbeda dari persamaan kuadratx2−x−1 = 0.
Carilah konstanta riila dan b sehingga Fn =arn1 +brn2 untuk setiap bilangan asli n, dan tunjukkan bahwa konstanta tersebut benar memenuhi.
2. Diberikan segitiga ABC dengan ∠B = 90◦. Titik D terletak pada ruas garis AC.
k adalah garis melaluiDdan sejajarAB. l adalah garis melaluiD dan sejajarBC.
k dan l memotong garis bagi ∠ABD berturut-turut di P dan Q, serta memotong garis bagi ∠CBD berturut-turut di R dan S. Buktikan bahwa luas P QRS sama denganBD2.
3. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa terdapat tujuh bilangan bulat non- negatif d0, d1, d2, . . . , d6 yang merupakan permutasi dari 0,1,2, . . . ,6 sehingga
fpb((n+d0) + (n+d1)(n+d2). . .(n+d6), n(n+ 1)(n+ 2). . .(n+ 6)) = 1.
4. Conan dan Heiji bermain sebuah permainan. Dalam permainan tersebut, mereka secara bergantian menuliskan bilangan asli yang tidak lebih dari n, dimulai dari Conan. Bilangan yang sudah tertulis pada papan tulis tidak boleh ditulis lagi.
Seorang pemain menang apabila setelah gilirannya selesai, terdapat tiga bilangan di papan yang membentuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Buktikan bahwa ada setidaknya 1533 nilai n berbeda dari 3 ≤ n ≤ 2023, sehingga Conan memiliki strategi kemenangan.
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Halaman 5
