Statistik 1 Materi 10

(1)

Politeknik Kepribadian

STATISTIK 1

Materi 10

(2)

Politeknik Kepribadian Politeknik Kepribadian

PENILAIAN

Kelas Reguler :

Absensi : 20%

Quiz : 10%

Tugas : 10%

UTS : 25%

UAS : 25%

Proyek : 10%

Kelas Paralel :

Absensi : 20%

Quiz : 10%

Tugas : 10%

UTS : 25%

UAS : 25%

Proyek : 10%

(3)

VARIABEL ACAK

VARIABEL ACAK DISKRIT

VARIABEL ACAK KONTINU

(4)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian VARIABEL ACAK DISKRIT

Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai Penjualan Mobil Jenis Kelamin Pembeli 0 = Pria

1 = Wanita Penelitian 50 produk baru Jumlah Produk cacat

produksi 0,1,2,3..50

Pencatatan pengunjung

restoran per hari Jumlah Pengunjung 1,2,3,…

(5)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian VARIABEL ACAK KONTINU

Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai Membangun proyek

property setelah 6 bulan

Persentase proyek yang selesai

Volume isi kemasan

sebuah botol minuman Jumlah millimeter Penimbangan 20 paket

kemasan (maksimum 20 kg)

Berat sebuah paket

(6)

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Jumlah Mobil Terjual Jumlah Hari

0 54

1 117

2 72

3 42

4 12

5 3

Total 300

(7)

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Jumlah Mobil Terjual Jumlah Hari

0

0.18

1

0.39

2

0.24

3

0.14

4

0.04

5

0.01

Total 1

(8)

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 1 2 3 4 5

p(x)

(9)

DISTRIBUSI PROBABILITAS KUMULATIF VARIABEL ACAK

DISKRIT

Jumlah Mobil terjual dalam

sehari

Jumlah Hari p(x) F(x)

0 54 0.18

1 117 0.39 0.57

2 72 0.24 0.81

3 42 0.14 0.95

4 12 0.04 0.99

5 3 0.01 1

Total 300 1

(10)

Kepribadian DISTRIBUSI PROBABILITAS

KUMULATIF VARIABEL ACAK DISKRIT

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 1 2 3 4 5

F(x)

(11)

Contoh Soal

• Diketahui suatu variable X dapat mengambil nilai dari 0,1,2,3,4 (diskrit) dengan fungsi probabilitas p(x) sebagai berikut:

• 𝑝 𝑥 = ^4!

𝑥! 4−𝑥 ! (¹

2)^𝑥(¹

2)^4−𝑥

• Carilah distribusi probabilitas dan distribusi probabilitas kumulatif untuk seluruh nilai x dan kemudian gambarkan grafiknya.

(12)

Politeknik Kepribadian Politeknik Kepribadian

X P(x)

0 1

2

3

4

(13)

Nilai harapan dan

varians dari variable acak diskrit

X 0 1 2 3

P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125

• X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. Dan P(x) merupakan peluang/probabilitas terjadinya X =x

• Hitunglah rata-rata banyaknya pesanan yang diharapkan

(14)

Nilai harapan dari variable acak diskrit

X 0 1 2 3

P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125

• 𝜇_𝑥 = 𝐸 𝑋 = σ 𝑥_𝑖 𝑝 𝑥_𝑖

= 0 𝑝 0 + 1 𝑝 1 + 2 𝑝 2 + 3 𝑝 3

= 0. 0,125 + 1. 0,375 + 2. 0,375 + 3. (0,125)

= 1,5

• Jadi secara rata-rata, dapat diharapkan bahwa pesanan yang masuk selama 1 minggu adalah sebanyak 1,5 satuan.

(15)

Varians dan standar deviasi dari variable acak diskrit

• selain rata- rata , ukuran statistic yang lain adalah varians dan standar deviasi. Varians (𝜎²) dari variable acak diskrit.

• Varians (𝜎² ) dari variable acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisish antara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

• Varians diperoleh dengan mengkalikan setiap kemungkinan kuadrat selisih (𝑋_𝑖 − 𝜇) ²dengan probabilitasnya 𝑝(𝑥_𝑖) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut.

• Varians Variabel Acak Diskrit:

𝜎² = 𝐸(𝑋 − 𝜇)²= ෍

𝑖=1 𝑁

(𝑥_𝑖 − 𝜇)² 𝑝(𝑥_𝑖) Dimana :

𝑥_𝑖 = nilai ke − i dari variabel acak 𝑋 𝑝(𝑥_𝑖) = Probabilitas terjadinya 𝑥_𝑖

• Standar deviasi 𝜎 diperoleh dengan menarik akar dari 𝜎². 𝜎 = √𝜎²

(16)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian Varians dan standar deviasi dari variable acak diskrit

X 0 1 2 3

P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125

• Berdasarkan contoh sebelumnya, hitunglah varians dan standar deviasinya.

Penyelesaian:

E(X) = 𝜇 = 1,5 𝜎² = E(𝑋 − 𝜇)²

= E(𝑋 − 1,5)²

= ෍(𝑥_𝑖 − 1,5)² 𝑝(𝑥_𝑖)

= 2,25 . 0,125 + 2,25 . 0,375 + 2,25 . 0,375 + 2,25 . 0,125

= 0,281+ 0,844 +0,844+0,281 = 2,25 𝜎 = 2,25 = 1,5

(17)

Varians dan standar deviasi dari variable

acak diskrit

• Sebuah showroom mobil dari ATPM terbesar di Indonesia, berdasarkan track record penjualan mobilnya selama satu minggu memiliki data sebagai berikut:

•

• Berapa banyak mobil yang dia harapkan dapat terjual selama satu minggu? Hitung juga standar deviasinya.

X 1 2 3 4 5 6

p(x) 0.08 0.27 0.1 0.1 0.33 0.22

(18)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian Kovarians dan

aplikasinya dalam keuangan

• Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak. Kovarians antara dua variable acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan 𝜎_𝑥𝑦 didefinisikan sebagai berikut:

• Kovarians

𝜎_𝑥𝑦 = ෍

𝑖=1 𝑁

𝑋_𝑖 − 𝐸 𝑋 𝑌_𝑖 − 𝐸 𝑌 𝑝(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖)

• Dimana:

𝑋_𝑖 = nilai variable acak X ke-I 𝑌_𝑖 = nilai variable acak Y ke-I

𝑝 𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖 = probabilitas terjadinya 𝑥_𝑖 dan 𝑦_𝑖 i = 1,2,..N

(19)

Politeknik Kepribadian Politeknik

aplikasinya dalam keuangan

p(xi,yi) Kondisi Perekonomian Investasi A Investasi B 0.2 Resesi $ (100.00) $ (200.00) 0.5 Perekonomian yang stabil $ 100.00 $ 50.00 0.3 Perekonomian yang maju $ 250.00 $ 350.00

Hitung nilai harapan dari pengembalian investasi a dan b untuk setiap investasi dan kovarians dari

investasi tersebut.

(20)

aplikasinya dalam

keuangan

(21)

Nilai harapan, varians &

standar deviasi penjumlahan dua variable acak

• Nilai harapan dari penjumlahan dua variable:

Nilai harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari nilai harapan masing-masing variable acak.

𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌

• Varians dari penjumlahan dua variable

Varians dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan jumlah varians dari masing-masing variable ditambah 2 kali

kovarians.

𝑉𝑎𝑟 𝑥 + 𝑦 = 𝜎_𝑥𝑦² = 𝜎_𝑥² + 𝜎_𝑦² + 2𝜎_𝑥𝑦

• Standar deviasi dari penjumlahan dua variable 𝜎_𝑥+𝑦 = 𝜎_𝑥+𝑦²

(22)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian Contoh soal - Nilai harapan, varians & standar deviasi

penjumlahan dua variable acak

• Dari contoh soal sebelumnya, hitunglah nilai harapan, varians, dan standar deviasi dari penjumlahan dua

investasi tersebut.

• Penyelesaian:

Jika X = Investasi A, dan Y = Investasi B

𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌 = 105 + 90 = $195

𝜎

_𝑥𝑦²

= 𝜎

_𝑥²

+ 𝜎

_𝑦²

+ 2𝜎

_𝑥𝑦

= 14,725 + 37,900 + (2 X 23.300)

= 99.225

𝜎

_𝑥+𝑦

= $ 315

(23)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian Portfolio expected return & portfolio risk

• Portfolio Expected Return

Portfolio expected return untuk investasi 2 asset sama dengan penimbang bagi asset X dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi asset Y dikalikan

expected return asset Y.

𝐸 𝑃 = 𝜔𝐸 𝑋 + 1 1 − 𝜔 𝐸(𝑌)

Dimana

E(P) = Portfolio Expected return

𝜔 = Proporsi nilai portfolio dari asset X

1 − 𝜔 = Proporsi nilai portfolio dari asset Y E(X) = Expected Return asset X

E(Y) = Expected Return asset Y

• Portfolio Risk

𝜎_𝑝 = 𝜔²𝜎_𝑥² + (1 − 𝜔)²𝜎_𝑦² + 2𝜔 1 − 𝜔 𝜎_𝑥𝑦

(24)

Politeknik Kepribadian Politeknik

Kepribadian Portfolio expected return & portfolio risk

• Dari contoh soal sebelumnya, misalkan kita hendak

membentuk sebuah portfolio dari dua investasi tersebut dengan menanamkan investasi yang sama dalam setiap asset tersebut. Hitunglah portfolio expected return dan portfolio risk-nya. Diketahui 𝜔 = 0,5

• Penyelesaian:

𝐸 𝑃 = 𝜔𝐸 𝑋 + 1 1 − 𝜔 𝐸 𝑌

𝐸 𝑃 = 0,5.105 + (1 − 0,5) (90) = $97,50

𝜎

_𝑝

= 0,5

²

. 14725 + (1 − 0,5)

²

. 37900 + 2.0,5(

) 1 −

0,5). (23300

𝜎

_𝑝

= 24806,25

= $ 157,50

(25)

Politeknik Kepribadian

TERIMAKASIH

Atas Perhatian dan Keseriusan Belajarnya, Semoga Bermanfaat

0877 4174 5789 @permanaasoka [email protected]