M at a K ul ia h / M at er iK ul ia h Br a wi ja ya U ni ve rsi ty 20
11 REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES
Steepest Ascent/Descent
Ir. Usman Effendi, MS
Lab. Komputasi Dan Analisis Sistem, FTP, Universitas Brawijaya Email : usman_eff@ub.ac.id
1. PENDAHULUAN 1.1 Pengantar 1.2 Tujuan
2. PENCARIAN TIDAK BERKENDALA DENGAN VARIABEL GANDA
3. PENCARIAN KISI-KISI (LATTICE SEARCH) 4. PENCARIAN UNIVARIAT
(univariat SEARCH)
5. METODE
PENDAKIAN/PENURUNA N TERCURAM (steepest ascent / descent
6. METODE ONE AT A TIME
1. PENDAHULUAN
MODUL
SE LF - PR
O PA
G AT IN G
E N TR EP RE N
E U RI AL ED
5
Minggu 5
1.1 Pengantar
Mari sekarang mempertimbangkan pencarian untuk desain yang optimal ketika sistem diatur oleh dua atau lebih variabel independen. Diawali dengan mempertimbangkan hanya dua variabel, kemudian memperluas teknik untuk sejumlah besar variabel yang timbul dalam sistem yang lebih rumit. Namun, kompleksitas masalah meningkat tajam sebagai meningkatnya jumlah variabel dan,oleh karena itu, perhatian umumnya diarahkan pada variabel yang paling penting, biasanya dibatasi untuk dua atau tiga. Selain itu, banyak sistem termal praktis dapat dengan baik ditandai dengan dua atau tiga variabel dominan. Contoh ini meliputi panjang dan diameter penukar panas, laju aliran fluida dan suhu evaporator dalam sistem pendingin, dimensi menara pendingin dan energi yang ditolak olehnya, dimensi ruang pembakaran dan tingkat aliran bahan bakar dan sebagainya.
1.2 TUJUAN
1.2.1 Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa akan memiliki kemampuan melakukan analisis suatu proses dan melakukan optimasi dengan metode yang telah dipelajarinya 1.2.2 Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari pokok bahasan mahasiswa dapat ;
Memahami suatu masalah dalam proses yang melibatkan banyak variabel dan memahami penggambaran secara grafis untuk fungsi dengan variabel keputusan ganda
Mampu menggukan metode Steepest Ascent dan Descent untuk menyelesakan masalah optimasi dengan banyak variabel.
Mampu menerapkan metode One at A Time untuk meyelesaikan masalah optimasi yang kompleks..
2. PENCARIAN TIDAK BERKENDALA DENGAN VARIABEL GANDA
Dalam rangka untuk menggambarkan secara grafis pendekatan iteratif untuk desain optimum, metode yang nyaman adalah penggunaan kontur atau garis nilai konstan Fungsi Tujuan. Gambar 1 memperlihatkan plot kontur khas di mana setiap kontur mewakili nilai tertentu dari fungsi tujuan dan maksimum atau minimum ditunjukkan oleh kontur terdalam. Plot ini mirip dengan yang digunakan dalam topologi untuk mewakili ketinggian yang berbeda atau peningkatan di pegunungan. Puncak mewakili maksimum dan lembah merupakan minimum. Representasi grafis bekerja dengan baik untuk masalah dua-variabel karena bidang gambar memadai untuk menunjukkan gerakan ke arah puncak atau lembah.
Gambar 1. Metode Pencarian Lattice untuk ruang dua variabel
Namun, representasi tiga dimensi diperlukan untuk tiga variabel, dengan setiap kontur digantikan oleh permukaan. Ini menjadikan visualisasi dan kompleksitas
Berbagai metode yang disajikan di sini untuk multivariabel, optimasi tak berkendaladidasarkan pada perhitungan perubahan arah peningkatan fungsi objektif untuk maksimum dan arah penurunan fungsi tujuan untuk minimum. Oleh karena itu, prosedur untuk menentukan maksimum adalah serupa untuk pendakian menuju puncak gunung atau bukit, sehingga metode ini dikenal sebagai teknik memanjat bukit. Tiga metode yang dibahas secara rinci di sini adalah kisi pencarian, pencarian univariat, dan pendakian tercuram. Metode Eliminasi, yang mengurangi interval ketidakpastian dengan menghilangkan daerah, mungkin juga dikombinasikan dengan teknik ini, terutama dengan pencarian univariat, untuk memperoleh optimal.
2. PENCARIAN KISI-KISI (LATTICE SEARCH)
Metode pencarian ini didasarkan pada menghitung U fungsi tujuan di sekitar titik awal dipilih dan kemudian memindahkan titik ini ke lokasi yang memiliki nilai terbesar dari U, jika pencarian adalah untuk maksimal. Dengan demikian, perhitungan bergerak ke arah peningkatan nilai dari fungsi obyektif untuk menemukan sebuah maksimal.
Maksimum tercapai ketika nilai di titik pusat lebih tinggi dari nilai pada titik-titik tetangganya. Meskipun mencari maksimal di U adalah dipertimbangkan di sini, prosedur yang sama dapat diikuti untuk minimum, perhitungan bergerak dalam arah penurunan nilai fungsi tujuan. Untuk memperjelas ini dapat dilihat pada Gambar 1
3. PENCARIAN UNIVARIAT (univariat SEARCH)
Sebuah pencarian univariat melibatkan mengoptimalkan fungsi tujuan sehubungan dengan salah satu variabel pada suatu waktu. Oleh karena itu, masalah multivariabel direduksi menjadi serangkaian masalah optimasi variable tunggal, dengan proses konvergensi secara optimal sebagai variabel yang berganti-ganti. Prosedur ini ditunjukkan secara grafis pada Gambar 2.
Sebuah titik awal dipilih berdasarkan informasi yang tersedia pada sistem atau sebagai titik jauh dari batas-batas wilayah. Pertama, salah satu variabel, katakan x, diadakan konstan dan fungsi ini dioptimalkan sehubungan dengan y variabel lainnya.
Titik A merupakan optimum yang diperoleh. Lalu y tetap konstan pada nilai pada titik A dan fungsi dioptimalkan terhadap x untuk mendapatkan optimal diberikan oleh titik B.
Sekali lagi, x tetap konstan pada nilai pada titik B dan y bervariasi untuk memperoleh yang optimal, yang diberikan oleh titik C. Proses ini dilanjutkan, bolak variabel, yang berubah sekaligus mempertahankan yang lain konstan, sampai optimal tercapai.
Hal ini ditunjukkan oleh perubahan dalam fungsi tujuan, dari satu langkah ke langkah berikutnya, menjadi kurang dari kriteria konvergensi yang dipilih atau toleransi.
Gambar 2. Berbagai tahap dam metode pencarian univariat
Oleh karena itu, masalah dua-variabel dikurangi menjadi dua masalah optimasi variable tunggal diterapkan secara bergantian. Prosedur dasar dengan mudah dapat diperluas untuk tiga atau lebih variabel independen. Dalam memecahkan masalah- variabel tunggal, dapat digunakan metode pencarian yang disajikan sebelumnya, seperti Fibonacci dan pencarian bagian emas,
CONTOH 1:
U fungsi tujuan, yang merupakan biaya sistem kipas dan saluran, adalah diberikan dalam bentuk variabel desain x dan y, dimana x merupakan kapasitas kipas dan y panjang saluran,
Kedua x dan y adalah real dan positif. Menggunakan pencarian univariat, dapatkan nilai U optimum dan nilai-nilai yang sesuai dari x dan y. Apakah ini optimal minimum atau maksimal?
SOLUSI
Metode kalkulus dapat digunakan untuk single-variabel dua masalah optimasi yang diperoleh dalam pencarian univariat. Jika y dipertahankan konstan, nilai x di optimal diberikan oleh
Demikian pula, jika x tetap konstan, nilai y secara optimum diberikan oleh
Karena informasi yang hanya tersedia pada x dan y adalah bahwa ini adalah nyata dan lebih besar dari 0, mari kita memilih x = y= 0,5 sebagai titik awal. Jika solusi tersebut tidak diperoleh, titik awal dapat bervariasi. Pertama x tetap konstan dan y bervariasi untuk mendapatkan nilai optimum dari U. Maka y tetap konstan dan x bervariasi untuk mendapatkan optimal nilai U. Dalam kedua kasus, persamaan sebelumnya digunakan.
Untuk setiap langkah, salah satu variabel tetap konstan, seperti yang ditunjukkan, dan optimal adalah diperoleh dalam hal variabel lainnya. Prosedur ini diulang sampai keseluruhan optimal, yang merupakan minimum di U, dicapai. Iterasi dihentikan ketika x dan y berhenti berubah. Sebuah kriteria konvergensi juga dapat digunakan untuk menghentikan proses iteratif. Prosedur ini cukup mudah dan konvergen cukup cepat untuk ini masalah sederhana. Bahkan untuk titik tolak substansial berbeda, metode menyatu dengan optimal. Optimal juga dapat diperoleh dengan metode kalkulus,.
Hasilnya identik dengan yang diperoleh di sini oleh univariate pencarian, memberikan validasi untuk skema ini. Jika U tidak dihitung pada setiap langkah, dapat ditetapkan bahwa minimal biaya dicapai dengan memvariasikan x atau y dari nilai-nilai yang diperoleh pada optimal. Nilai U meningkat jika salah satu dari
bervariasi, menunjukkan bahwa memang minimum diperoleh.
4. METODE PENDAKIAN/PENURUNAN TERCURAM (steepest ascent / descent )
Metode pendakian / keturunan curam adalah metode pencarian yang sangat eficient untuk optimasi multi variabel dan secara luas digunakan untuk berbagai aplikasi, termasuk termal sistem. Ini adalah teknik mendaki bukit dalam hal itu mencoba untuk bergerak menuju puncak, untuk memaksimalkan fungsi tujuan, atau ke arah lembah, untuk minimalkan fungsi tujuan, selama jalur sesingkat mungkin.
Metode ini disebut tercuram pendakian dalam kasus mantan dan penurunan curam di kedua. Pada setiap langkah, dimulai dengan titik awal sidang, arah di mana fungsi tujuan perubahan pada tingkat terbesar dipilih untuk memindahkan lokasi titik, yang merupakan desain pada ruang multivariabel. Gambar 3 menunjukkan gerakan ini skema di atas bukit serta pada plot kontur dua variabel. Sejak pencarian selalu bergerak ke arah tingkat terbesar perubahan U, jumlah sidang berjalan diperlukan untuk mencapai optimal diharapkan akan relatif kecil dan Metode menjadi sangat eficient.
Namun, tidak memerlukan evaluasi gradien untuk menentukan arah yang tepat gerak, membatasi penerapan metode untuk masalah dimana gradien dapat diperoleh secara akurat dan mudah.
Diferensiasi numerik dapat digunakan jika ekspresi aljabar tidak tersedia untuk fungsi tujuan, yang sering terjadi untuk sistem termal.
Gambar 3. Metode Steepest ascent, ditunjukkan dalam batasan (a) memanjat kearah puncak dan (b) dalam batasan kontur U konstan
Untuk masalah multivariabel, gradient vektor dapat ditulis sebagai
mana i1, i2, z, dalam adalah vektor satuan dalam x1, x2, z, xn arah, masing-masing.
Pada setiap titik sidang, vektor gradien ditentukan dan pencarian tersebut akan dipindahkansepanjang vektor ini, arah yang dipilih sehingga meningkat jika U maksimum adalah dicari, atau U menurun jika minimum yang menarik.
Arah diwakili oleh vektor gradien diberikan oleh hubungan antara perubahan dalam variabel independen. Yang menunjukkan ini dengan $ x1, $ x2, z, $ Xn, kita harus dari analisis vector
Oleh karena itu, jika $ x1 yang dipilih, perubahan dalam variabel lain harus dihitung dari persamaan. Selain itu, $ x1 diambil sebagai positif atau negatif, tergantung pada apakah meningkat atau berkurang dengan U x1 dan apakah maksimal atau minimal yang dicari.
Untuk maksimal di U, $ x1 dipilih sehingga U meningkat, yaitu, $ x1 adalah positif jika ∂ U / ∂ x1 positif dan negatif jika ∂ U / ∂ x1 adalah negatif. Turunan Parsial, seperti ∂ U / ∂ x1, umumnya diperoleh secara numerik dengan menggunakan ekspresi-seperti
di mana h adalah perubahan kecil di x1. Demikian pula, turunan parsial lain dapat dievaluasi. Jika ekspresi aljabar yang tersedia untuk fungsi tujuan, misalnya, dari hasil simulasi numeric pencocokan kurva, kalkulus dapat digunakan secara menguntungkan untuk mengevaluasi tutunan.
CONTOH 2:
Pertimbangkan fungsi kuadratik berikut
Anggaplah telah dihitung gradient vector
Arah penerunan tercuram
Gambar 4, Gradien vector untuk
Gambar 5. Metode Steepest Descent untuk fungsi Kuadratik secara umum
Arah gradien adalah arah yang memberikan respon terbesar pada fungsi tujuan per unit panjang variabel independen. Perubahan incremental dalam setiap variabel diambil proporsional dengan turunan parsialnya, yang mana menentukan arah gradien. Arah ini disbut arah dari pendakian (atau penurunan) tercuram( steepest ascent or descent)
CONTOH 3:
Diberikan fungsi tujuan sebagai berikut:
Carilah nilai minimum dari fungsi ini dan nilai X dan Y pada nilai minimum, mulai dari X = 2 dan Y = 2.
SOLUSI :
Titik mulai dinyatatakan oleh M pada Gambar. Pertama kali turunan parsial harus dihitung dan dievaluasi pada titik permulaan
Pada titik permulaan turunan parsial ini menjadi
Karena dua duanya turunan parsial adalah positip, fungsi tujuan bervariasi dalam arah yang sama seperti X dan Y. Karenany, dalam kasus ini minimasi, baik X dan Y seharusnya diturunkan agar supaya menurunkan nilai Z. Ratio penurunan dalam X terhadap penurunan dalam Y diambil proporsional dengan turunan parsialnya masing- masing, yaitu 6/10. Misal diambil sebarang nilai Perubahan Y awalnya dipilih adalah -0.5, berkaitan dengan perubahan X sebesar 0.60 (-0.5) = - 0.3.
Awalnya X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 16. Setelah langkah pertama
Sepanjang fungsi tujuan menurun, prosedur diteruskan sepanjang garis gradien sama.
Tabel beikut meringkas hasil perhitungan ini
Mangacu pada Gambar, titik P berkaitan dengan (X5, Y5) dan titik N dengan (X6,Y6).
Pada tabel terlihat pada titik N fungsi tujuan tidak lebih lanjut menurun. Pada titik P, dalam kenyataannya, menyatakan perhitungan terakhir yang sukses. Arah gradien baru sekarang dihitung pada titik ini dan prosedur diulang. Pada titik P, arah gradien adalah
Adalah tampak ∂Z/∂X adlah positip teetapi ∂Z/∂Y adalah negatip. Karenanya agar supaya menurunkan nilai Z, X harus diturunkan dan Y harus dinaikkan. Katakanlah perubahan Y dikurangi dari 0.5 manjadi 0.3. dari perhitungan sekarang turunan parsial, rasio ∆X/∆Y = -1/3 sehingga ∆X = - 0.1.
Tahap 6 dihitung sebagai berikut
Dilanjutkan sepanjang garis gradien baru ini, titik berikut didapatkan
Karena Z8 lebih besar dari Z7, Tahap sukses terakhir, titik Q (X7, Y7) ditunjukkan pada Gambar. Arah berubah sekali lagi. Ukuran tahap dinaikkan dan seterusnya, sampai titik optimum pada akhirnya diperoleh.
Metode steepest ascent membutuhkan dua keputusan – ketika menghitung arah gradien baru, dan berapa ukuran step untuk digunakan. Pengalaman dan pengenalan dengan masalah meningkatkan eefieinsi penyelesaian.
Jika ekspresi analitik tidak tersedia, adalah diperlukan untuk eksplorasi dengan percobaan nilai Z, Fungsi tujuan, dalam berbagai arah dari M (gambar) dan untuk menetapkan gradien steepest secara eksperimental.
Metode dapat diterapkan untuk lebih dari dua variabel dengan teknik analisis vektor.
METODE ONE AT A TIME
Dalam metode ini seluruh variabel kecuali satu dipertahankan konstan dan variabel ini divariasikan untuk mendapatkan perbaikan dalm fungsi tujuan. Lihat pada Gambar, suatu pencarian awal dimulai, perubahan hanya Y (X konstan) sepanjanga garis AB sampai nilai terendah fungsi tujuan diperoleh pada titik C. Suatu pencarian baru dimulai sepanjang garis CD sampai titik D dicapai, dan proses dilanjutkan sampai optimum diperoleh.
CONTOH 4:
Selesaikan permasalahan dua variabel berikut
Minimasi z dengan metode One at a Time. Mulai pada P = 250 dan S = 1000
SOLUSI :
Dengan P = 250 dan tidak dirariasikan, cari nilai S terbaik
Teruskan sampai tidak ada perubahan hasil lebih lanjut.
Sehingga minimum terjadi pada P = 299.5 dan S = 1056
REFERENSI
Edgar, T F. And DM Himmelblau. 2001. Optimization Of Chemical Processes, Second Edition. Mcgraw-Hill. New York.
Jaluria, Yogesh. 2008. Design and optimization of thermal systems 2nd ed. CRC Press.
USA
.Jelen, FC. 1985. Cost and Optimization Engineering. Second edition. McGraw-Hill. New York.
PROPAGASI
A. Tugas (Evaluasi mandiri)
1. Selesaikan
2. Total biaya untuk suatu proses dinyatakan sebagai berikut :
Z = 1250 S0.6 + 5 105 P-1.5 S-0.5 + 150 P
Tentukan nilai optimum Z dan carilah S dan P dengan menggunakan metode : a. geometric programming
b. One at a time.
c. Steepest ascent or descent
B. QUIZ - (Evaluasi)
C. PROYEK (Eksplorasi entrepreneurship, penerapan topic bahasan pada dunia nyata)
