Tugas 1 String dan Bahasa (Jawaban) Revisi 19.02 Kuliah Teori Bahasa dan Automata 2018-2019 Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Tugas 1 String dan Bahasa (Jawaban) Revisi 19.02 Kuliah Teori Bahasa dan Automata 2018-2019 Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Karena adanya beberapa kesalahan (minor maupun major) dalam Contoh Jawaban sebelumnya, berikut ini adalah setelah kesalahan diperbaiki.

L1 = {w  {a, b}^* : #a(w) kelipatan 3 (termasuk 0) dan #b(w) tidak habis dibagi 3}.

L2 = {aⁿb^m : m  2n  3m, dan n, m  0}.

L3 = {aⁱb^jc^k: (i + k + 2) = j}.

L⁴ = {a^mbⁿc^pd^q: (m + q) = (n + p)}.

L⁵ = {w ∈ {0, 1}^∗ : w tidak mengandung 1001 dan |w| > 2}.

L6 = {w {0, 1}^* : setiap 00 dalam w segera diikuti oleh 111}.

L7 = {w  {a, b}^* : w berisi substring abb dalam jumlah ganjil}.

L8 didefinisikan secara rekursif dengan rule-rule berikut.

(a)   L8 ; (b) Untuk setiap w  L8, maka wa, bw, dan abw  L8; (c) tidak ada yang lain (selain yang dibentuk kedua rule tsb.) dari L⁸.

L⁹ didefinisikan secara rekursif dengan rule-rule berikut.

(a)   L9 ; (b) Untuk setiap w  L9, maka awb, dan awbb  L9; (c) tidak ada yang lain (selain yang dibentuk kedua rule tsb.) dari L9.

Bagian A. Jawablah Pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat.

1. Tuliskan 10 string pertama (secara proper-order) dari L1. b,bb, aaab,aaba, abaa, baaa, bbbb, aaabb, aabab, aabba

2. Tuliskan 10 string pertama (secara proper-order) dari L4.

, ac, ad, bc, bd, aacc, aacd, aadc, aadd, abcc

, ab, ac, bd, cd, aabb, aabc, aacc, abbd, abcd

3. Tuliskan 10 string pertama (secara proper-order) dari L⁶.

, 0, 1, 01, 10, 11, 010, 011, 101, 110

4. Tuliskan 10 string pertama secara proper-order dari L1  L2.

a³b², a³b⁴,a³b⁵,a⁶b⁴,a⁶b⁵,a⁶b⁷,a⁶b⁸,a⁹b⁷,a⁶b¹⁰,a⁶b¹¹ (Note: dikoreksi karena kesalahan urutan)

5. Tuliskan 10 string pertama secara proper-order dari L2  L7.

a³b², a³b⁴, a³b⁵, a⁶b², a³b⁷, a⁶b⁴, a⁹b², a⁶b⁵, a³b⁸, a⁶b⁷ a¹b², a²b², a³b², a²b³, a³b³, a²b⁴, a⁴b³, a³b⁴, a⁴b⁴, a³b⁵

6. Tuliskan 10 string pertama secara proper-order dari L8.

, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aba, abb

7. Spesifikasikan L⁸ dengan pattern dan properties seperti L¹ sd L⁷.

L⁸= {w  {a, b}^* : w =  atau w = va atau w = bv atau w = abv, dengan v L8} (properti yang rekursif)

8. Spesifikasikan L⁹ dengan pattern dan properties seperti L¹ sd L⁷. L⁹= {aⁿb^m : 0  n  m  2n }

Bagian B. Jawablah Ya atau Tidak, lalu tuliskan secara singkat alasan jawaban anda tsb.

9. Apakah L2 tertutup terhadap operasi konkatenasi?

Tidak. Counter example: w=ab  L2, konkatenasi w dengan w = abab  L2.

10. Apakah L3 tertutup terhadap operasi konkatenasi?

Tidak. w = ab⁴c  L3, konkatenasi w dengan w = ab⁴cab⁴c  L3.

11. Apakah L⁵ tertutup terhadap operasi reversi?

Ya. Untuk setiap w ∈ L5 maka w tidak mengandung 1001 dan |w| > 2, berarti juga w^R tidak mengandung (1001)^R = 1001 dan |w^R|> 2.

12. Apakah L5 tertutup terhadap operasi prefiks?

Tidak. Counter example: w = 111 ∈ L5, dengan |w| > 2 . String  adalah prefiks dari 111, dan   L5. Karena || = 0.

13. Apakah L⁷ tertutup terhadap operasi triplikasi w³ (atau replikasi dengan = 3)?

Ya. Dalam setiap w  L7 terdapat kemunculan abb dalam jumlah ganjil, misalnya dalam jumlah 2n+1. String www berisi kemunculan abb dalam jumlah (2n+1)3 = 6n+3, yang juga bilangan ganjil, sehingga www ^L⁷ pula.

14. Periksalah apakah benar untuk setiap L  {0, 1}^* ,jika L²  L, maka juga L^*  L.

Tidak. Counter example: L = {1}⁺ = {1, 11, 111, …} dan L² = {11, 1111, 111111,…}

sehingga L²  L. Sementara L^* berisikan  yang tidak ada dalam L, sehingga sebaliknya, L  L^*.

15. Periksalah apakah benar untuk setiap L  {0, 1}^* ,jika L²  L, maka juga L⁺  L.

Tidak. Counter example: L = {1, 11, 1111, 11111111, …} = {1^k : k bilangan 2ⁿ, n  0} dan L² = {11, 1111, 11111111, …} sehingga L²  L. Sementara dalam L⁺ terdapat contohnya string 111 yang tidak ada dalam L.

Ya. Jika L²  L, berimplikasi setiap x L maka juga x^2L. Selanjutnya dari x, x^2L, maka x³ L², dan juga x³ L. Dan seterusnya,x, x², x³, x⁴….  L. Karena juga setiap x^k

 L^k, dan L¹  L²  3²  … = L⁺ maka juga L⁺  L.

16. Periksalah untuk sembarang bahasa L, apakah selalu L^*L^* sama dengan L^*?

Ya. Menurut definisi, untuk setiap L, L^* = L⁰  L¹  L²  … . Akibatnya L^*L^*= (L⁰  L¹

 L²  …)(L⁰  L¹ L²  …) = L⁰ (L⁰  L¹ L²  …)  L¹ (L⁰  L¹ L²  …) L² (L⁰  L¹ L²  …)  … = (L⁰  L¹ L²  …)  (L¹  L² L³  …)  (L²  L³ L⁴  …)  … = L⁰  L¹ L²  … = L^*.

17. Periksalah untuk sembarang bahasa LA dan LB, diketahui LB LA, apakah selalu LA*LB*

sama dengan LA*?

Ya. Karena LB LA, jelas bahwa LA*LB*  LA*LA* . Dari jawaban pertanyaan no (16) dimana L^A*L^A* = L^A*,makaL^A*L^B*  LA*. Di lain pihak, jelas bahwa L^A*  LA* L^B* karena L^B* berisikan . Dari keduanya maka LA*L^B* = L^A*.

18. Periksalah untuk sembarang bahasa LA dan LB, diketahui LB  LA*, apakah (LA  LB)^*

= LA*?

Ya. L^B  LA*, maka juga L^A  LB  LA*. Selanjutnya (L^A  LB)^* = (L^A*)^* = L^A*.

19. Periksalah untuk sembarang bahasa L^A dan L^B, apakah selalu L^A*L^B* sama dengan (LALB)^*?

Tidak. Counter example L^A= {0}, L^B = {1}, L^A*L^B* = {0}*{1}* = {0ⁿ1^m : n, m  0}, sementara (LALB)* = ({0}{1})* = {(01)ⁿ : n  0}.

20. Periksalah untuk sembarang bahasa LA dan LB, apakah selalu LA*(LBLA*)^* sama dengan (L^A*L^B)^*L^A*?

Ya. L^A*(L^BL^A*)^* = L^A*  LA*(L^BL^A*)  LA*(L^BL^A*)(L^BL^A*)  LA*(L^BL^A*)(L^BL^A*)(L^BL^A*) … = LA*  LA*LBLA*  LA*LBLA*LBLA*  LA*LBLA*LBLA*LBLA* … =

LA*  (LA*LB)LA*  (LA*LB)(LA*LB)LA*  (LA*LB)(LA*LB)(LA*LB)LA* … = (LA*LB)^*LA*