TANGGAPAN METODE SIMPLEKS Hanifa Alifia Puteri

TANGGAPAN METODE SIMPLEKS Hanifa Alifia Puteri – K1317028

a. Tentukan titik ekstrim optimal dari permasalahan dengan DPF daerah ABCDEFG seperti grefik diatas apabila di ketahui fungsi tujuan memaksimumkan 𝑍 = 15𝑟 + 40𝑡

Akan dicari batasan-batasan dari permasalahan tersebut, didapati:

(i) 4𝑟 + 5𝑡 ≤ 20 (ii) 𝑡 ≤ 2

(iii) 𝑟 ≤ 3 (iv) 𝑟 − 𝑡 ≥ −1 (v) −𝑟 + 2𝑡 ≥ −2

𝑟, 𝑡 ≥ 0

Akan dicari titik-titik A, B C, D, E, F, dan G Titik A (0,0)

Titik B (2,0) Titik C (3,^𝟏_𝟐)

𝑟 = 3 −𝑟 + 2𝑡 = −2

−3 + 2𝑡 = −2 2𝑡 = 1 𝑡 =1

2 Titik D (3,^𝟖

𝟓)

𝑟 = 3 4𝑟 + 5𝑡 = 20 4(3) + 5𝑡 = 20 12 + 5𝑡 = 20 5𝑡 = 8 𝑡 =8

5

Titik E (^𝟓_𝟐,2) 4𝑟 + 5𝑡 = 20 4𝑟 + 5(2) = 20 4𝑟 + 10 = 20 4𝑟 = 10 𝑟 =5

2

𝑡 = 2

Titik F (𝟏,2) 𝑟 − 𝑡 = −1 𝑟 − 2 = −1

𝑟 = 1

𝑡 = 2

Titik G (0,1)

Akan dicari nilai pada masing masing titik,

Input Rule Output

Titik A (0,0) 15(0) + 40(0) 0

Titik B (2,0) 15(2) + 40(0) 30

Titik C (3,^𝟏_𝟐) 15(3) + 40(1

2) 65

Titik D (3,^𝟖_𝟓) 15 3 + 40 8

5 109

Titik E (^𝟓_𝟐,2) 15 5

2 + 40 2 117,5

Titik F (𝟏,2) 15 1 + 40 2 95

Titik G (0,1) 15(0) + 40(1) 40

Sehingga didapati nilai maksimum dari Z adalah 117,5 dengan 𝑟 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑡 =^𝟖

𝟓

b. Seandainya permasalahn tersebut diselesaikan daengan metode simpleks, apabila iterasi dimulai dari titik A maka jalur mana yang dilewati sehingga diperoleh hasil maksimal?

Jelaskan!

Iterasi akan berjalan dengan urutan titik A-G-F-E.

Setelah dari titik A, iterasi berjalan ke G bukan ke B karena sumbangsih t lebih besar dari pada r untuk menaikkan Z tiap satu satuan t dan r (koefisien t=40 > koefisien r=15).

Setelah itu iterasi akan berlanjut ke F sesuai urutan di atas, karena yang terhubung dengan G hanya F, hal ini juga menjadi alasan mengapa iterasi berlanjut dari F ke E.

Sebagai bukti, akan di kerjakan penyelesaian permasalahan tersebutdengan metode simpleks.

Pada permasalahan tersebut didapati bahwa Memaksimumkan 𝑍 = 15𝑟 + 40𝑡

Dengan batasan:

(i) 4𝑟 + 5𝑡 ≤ 20 (ii) 𝑡 ≤ 2

(iii) 𝑟 ≤ 3 (iv) 𝑟 − 𝑡 ≥ −1 (v) −𝑟 + 2𝑡 ≥ −2

𝑟, 𝑡 ≥ 0

Akan di ubah permasalahan tersebut menjadi bentuk kanonik dan membawa seluruh ruas kanan fungsi tujuan 𝑍 = 15𝑟 + 40𝑡 ke ruas kiri, sehingga menjadi 𝑍 − 15𝑟 − 40𝑡 = 0 dengan:

a) Mengalikan batasan 𝑟 − 𝑡 ≥ −1 dan −𝑟 + 2𝑡 ≥ −2 dengan −1 agar ruas kanan berubah menjadi +, sehingga menjadi – 𝑟 + 𝑡 ≤ 1 dan 𝑟 − 2𝑡 ≤ 2

b) Menambahkan Slack Variabel pada tiap batasan

Didapati Permasalahan akan berbentuk:

Memaksimumkan 𝑍 − 15𝑟 − 40𝑡 = 0 Dengan batasan:

(i) 4𝑟 + 5𝑡 + 𝑆₁= 20 (ii) 𝑡 + 𝑆₂= 2

(iii) 𝑟 + 𝑆₃= 3 (iv) – 𝑟 + 𝑡 + 𝑆₄= 1 (v) 𝑟 − 2𝑡 + 𝑆₅= 2

𝑟, 𝑡, 𝑆₁, 𝑆₂, 𝑆₃, 𝑆₄, 𝑆₅≥ 0

(didapati jumlah variabel (n) = 7 dan jumlah batasan (m) = 5)

Akan dicari penyelesaian basis fisibel awal (PBFA)

 VnB = 𝑛 − 𝑚 = 7 − 5 = 2 Dimana 𝑟 = 𝑡 = 0

 VB = 5, dengan

 𝑆₁= 20

 𝑆₂= 2

 𝑆₃= 3

 𝑆₄= 1

 𝑆₅= 2

Akan dilakukan perhitungan dengan metode simplek seperti berikut

VB R t S1 S2 S3 S4 S5 Nk Rasio

Ev=t, Lv=S4

Z -15 -40 0 0 0 0 0 0 -

S1 4 5 1 0 0 0 0 20 4

S2 0 1 0 1 0 0 0 2 2

S3 1 0 0 0 1 0 0 3 -

S4 -1 1 0 0 0 1 0 1 1

S5 1 -2 0 0 0 0 1 2 -1

Ev=r, Lv=S2

Z -55 0 0 0 0 40 0 40 -

S1 9 0 1 0 0 -5 0 15 1,666667

S2 1 0 0 1 0 -1 0 1 1

S3 1 0 0 0 1 0 0 3 3

t -1 1 0 0 0 1 0 1 -1

S5 -1 0 0 0 0 2 1 4 -4

Ev=S4, Lv=S1

Z 0 0 0 55 0 -15 0 95 -

S1 0 0 1 -9 0 4 0 6 1,5

r 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1

S3 0 0 0 -1 1 1 0 2 2

t 0 1 0 1 0 0 0 2 -

S5 0 0 0 1 0 1 1 5 5

Z 0 0 3,75 21,25 0 0 0 117,5 optimum

S4 0 0 0,25 -2,25 0 1 0 1,5

r 1 0 0,25 -1,25 0 0 0 2,5

S3 0 0 -0,25 1,25 1 0 0 0,5

t 0 1 0 1 0 0 0 2

S5 0 0 -0,25 3,25 0 0 1 3,5

Didapati bahwa pada iterasi ke-nol berawal dari Titik A (0,0). Lalu pada iterasi pertama di dapati nilai 𝑡 = 1 dan 𝑟 =0 atau dengan kata lain iterasi berjalan ke Titik G (0,1). Pada iterasi ke-dua didapati 𝑡 = 2 dan 𝑟 =1, dimana menununjukkan iterasi berjalan ke Titik F (𝟏,2). Lalu iterasi ke-3 berjalan ke 𝑡 = 2 dan 𝑟 = 2,5 atau Titik E (^𝟓

𝟐,2).

Dengan demikian benar bahwa iterasi akan berjalan dari A ke G ke F lalu ke E.