Transformasi Lorentz dan Persamaan Kecepatan Transformasi Lorentz

Transformasi Lorentz dan Persamaan

Kecepatan

Transformasi Lorentz

DOSEN PENGAMPU : Nani Sunarmi, S.Si., M.Sc.

Anggota Kelompok C

01 02 03

Fatwa paramarta

126211211011

Gunawar

126211211013

Indhun Novita Anjani

126211211015

04 05

Izza Amirul Fadhilah

126211211016

Bintank

126211212038

Transformasi Lorentz

Biografi Hendrik Antoon Lorentz

• Nama transformasi Lorentz ini diambil untuk menghormati Hendrik Anton Lorentz seorang pakar Fisika berkebangsaan Belanda.

• Hendrik Anton Lorentz (1853 - 1928) ialah fisikawan belanda yang memenangkan Penghargaan Nobel dalam fisika bersama dengan pieter zeeman pada 1902.

• Pada 1878 ia menjadi guru besar Fisika Teoritis di Leyden yang

merupakan tempat kerja pertamanya. Ia tinggal disana selama 34 tahun.

Kemudian lorentz meneruskan pekerjaannya untuk menyederhanakan teori maxwell dan memperkenalkan gagasan bahwa medan

Elektromagnetik ditimbulkan oleh muatan listrik pada tingkat atom.

• Ia mengemukakan bahwa pemancaran cahaya oleh atom dan berbagai gejala optik dapat dirunut ke gerak dan interaksi energi atom.

Transformasi Lorentz

• Pada transformasi Galileo telah dikemukakan bahwa selang waktu pengamatan terhadap suatu peristiwa yang diamati oleh pengamat yang diam dengan pengamatan yang relatif bergerak dengan peristiwa adalah sama (t = tʹ).

• Hal inilah yang menurut einstein tidak benar, selang waktu pengamatan antara pengamat yang diam dan pengamatan yang bergerak relatif adalah tidak sama (t  tʹ).

• Karena waktu pengamatan oleh pengamat yang diam pada kerangka acuan s dan pengamat yang bergerak pada kerangka acuan sʹ hubungan transformasi pada Galileo haruslah mengandung suatu tetapan pengali yang disebut tetapan transformasi.

Transformasi Lorentz

𝑥^′ = 𝑦 𝑥 − 𝑣. 𝑡

𝑦^′ = 𝑦 𝑧^′ = 𝑧 𝑡^′ ≠ 𝑡

Kebalikan

transformasi Lorentz

𝑥 = 𝑦(𝑥^′ + 𝑣. 𝑡^′) 𝑦 = 𝑦′

𝑧 = 𝑧′

𝑡 ≠ 𝑡′

Faktor pada kedua persamaan di atas adalah sama, karena tidak ada perbedaan anatara kerangka S dan S’ dan tidak ada perbedaan anatara koordinat y, y’ dan z, z’. Hal ini dikarenakan acuan S bergerak ke arah sumbu x posisif pada kerangka S dengan

kecepatan tetap sebesar v₁, yang berbeda adalah t dan t’, perbedaan ini dapat kita lihat jika kita mensubstitusikan persamaan x’ ke dalam persamaan x sehingga kita dapatkan:

Dari sini didapatkan:

𝑥 = 𝛾 𝛾 𝑥 − 𝑣. 𝑡 + 𝑣. 𝑡^′ = (𝛾² 𝑥 − 𝑣. 𝑡 + 𝛾 𝑣. 𝑡′) 𝑥 = 𝛾² 𝑥 − 𝑣. 𝑡 + 𝛾𝑣. 𝑡^′ = 𝛾²𝑥 − 𝛾²𝑣. 𝑡 + 𝛾𝑣. 𝑡^′

𝑡^′ = 𝛾 𝑡 + ^{(1− 𝛾²)𝑥}

𝛾 𝑣

𝛾 = 𝑇𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑛 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑖

Misalkan kecepatan Rima berjalan terhadap kerangka acuan S’

diganti dengan cahaya yaitu v’ = c, maka menurut postulat Einstein yang kedua menyatakan bahwa pengamat pada

kerangka acuan S akan mendapatkan v = c, maka didapatkan bahwa:

𝛾 𝑥 − 𝑣. 𝑡 = 𝑐 (𝛾 𝑡 + (1 − 𝛾²)𝑥 𝛾 𝑣 ) 𝛾 𝑥 − 𝑣. 𝑡 = 𝑐 𝛾 𝑡 + ( (1 − 𝛾²)𝑐𝑥

𝛾 𝑣 )

Jika nilai x’ dan t’ dimasukan persamaan didapatkan:

𝑥 = 𝑐. 𝑡

𝑥

^′

= 𝑐. 𝑡′

Berdasarkan persamaan ini bila yang mengandung nilai x dijadikan satu pada ruas kiri didapat:

𝑥 = ^{𝑐𝛾 𝑡+ 𝛾 𝑣𝑡}

𝑦− ^{1− 𝛾2}

𝑣

= 𝑐𝑡 ^{𝛾 + 𝑐𝛾}

𝑦− ^{1− 𝛾2} 𝑐

1 + ^𝑣

= 𝑐𝑡 ₁ ^𝑐 _𝑐

1− −1

𝛾 𝑣 𝛾 𝑣 𝛾² 𝑣

Karena nilai x = c.t maka

𝑣 𝑣 1 𝑐

1+ _𝑐

1 𝑐

1−( −1)

= 1 1 + _𝑣² ^𝑐 = 1 − (_𝑦2 − 1) _𝑣

1 1

𝑦2 𝑣

𝑐² =

𝛾² − 1 atau 𝛾 =

1− ^𝑣² 𝑐²

Sehingga transformasi Lorentz dituliskan menjadi:

𝑥 ^′ = ^{𝑥−𝑣.𝑡}

1− ^𝑣²

𝑐²

Persamaan Kecepatan Transformasi

Lorentz

Trasformasi Lorentz untuk kecepatan

Persamaan diperoleh dari turunan

pertama fungsi kedudukan terhadap waktu Dari persamaan

𝑈_𝑋= ^𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑡 = 𝑘(1 − 𝑣𝑥^′

𝑐² ) 𝑈_𝑋′ = ^𝑑𝑥′

𝑑𝑡′ persamaan (1)

𝑡 = 𝑘𝑡^′ + 𝑘𝑣

𝑐² x′ persamaan (3)

Dari persamaan x = kx’ + kvt dengan k dan v konstan. Apabila variabel x, x’, dan t’

ditarik diferensialnya maka diperoleh

Apabila variabel t,t’,dan x’ ditarik deferensialnya maka diperoleh

𝑑𝑡 = 𝑘𝑑𝑡^′ + 𝑘𝑣

dx′ persamaan (4)

dx = kdx’ +kvdt’ persamaan (2) 𝑐²

𝑐²

2 𝑥

Dari elemen dx persamaan (2) dan dt dari persamaan (4) yang dimasukkan ke dalam persamaan (1). Maka, diperoleh kecepatan u_x sebagai berikut

𝑑𝑥 𝑈𝑥 =

𝑘𝑑𝑥^′ + 𝑘𝑣𝑑𝑡′ 𝑑𝑡 𝑈𝑥 =

𝑘𝑑𝑡^′ + 𝑘𝑣 𝑐² 𝑑𝑥′

1 𝑈𝑥 = 𝑘𝑑𝑥^′ + 𝑘𝑣𝑑𝑡′

𝑘𝑑𝑡^′ + 𝑘𝑣 𝑐² 𝑑𝑥′

𝑑𝑡′

1 𝑑𝑡′

𝑘 𝑑𝑥′

+ 𝑘𝑣 𝑈_𝑥 = 𝑑𝑡′

𝑘 + 𝑘𝑣𝑑𝑥′

𝑐²𝑑𝑡′

𝑈𝑥 = 𝑘𝑢′𝑥 + 𝑘𝑣 𝑘 + 𝑘𝑣

𝑢′𝑥

𝑘(𝑢′𝑥 + 𝑣) 𝑈_𝑥 =

𝑘(1 + 𝑣 𝑢^′ ) 𝑢′𝑥 + 𝑣 𝑐 𝑈_𝑥 =

1 + 𝑣 𝑢^′ 𝑐^{2 𝑥}

×

Menentukan Kecepatan Pada Sumbu Y, U_y. Dari Persamaan Y = Y’, Sehingga Dy = Dy’

kita ketahui bahwa Persamaan menjadi

maka Dengan cara yang sama dapat diperoleh

kecepatan pada sumbu z, u_z

hasil transformasi Lorentz untuk kecepatan, yaitu:

u

_x

= u'x+v1 + vc2u'x u

_y

= uy 1-v2c21 + vc2ux u

_z

= uz 1-v2c21 + vc2ux

ataupun transformasi kebalikannya:

u

_x

= u'x-v1 + vc2u'x

u

_y

= uy 1-v2c21- vc2ux

u

_z

= uz 1-v2c21- vc2ux