Tugas 1 Komputasi Numerik D
Kelompok 14:
1. Stevanza Gian Maheswara- 5025221248 2. M Fadhil Abhista Daniswara - 5025221208
3. Fanza Khairan Pratama- 5025221305
Soal :
1. Berapa jumlah (dan sebutkan) bilangan angka berarti dari bilangan berikut : a. 0,84 x 102 d. 0,00460
b. 70,0 e. 8,0 x 103 c. 0,04600 f. 8.000
2. Bulatkan bilangan berikut sampai 3 angka berarti : a. 8.755 d. 5,445 x 103
b. 0,368124 x 102 e. 0,999500 c. 4.255,0002 f. 48,365
3. Operasikan bilangan-bilangan berikut dan tuliskan hasilnya dengan jumlah bilangan berarti yang benar :
a. 0,00432 + (25,1 x 10-3) + (10,322 x 10-2) b. (4,68 x 106) – (8,2 x 102)
c. (7,7 x 10-5) – (5,409 x 10-6) + (7,0 x 10-4) d. (8,38 x 105) x (6,9 x 10-5)
e. │ (8,38 x 104) x (6,90 x 10-4) │
f. [(4,68 x 10-6) – (4,45 x 10-5)] / (7,777 x 103) + 9,6 g. [(4,81 x 10-3) / [(6,9134 x 103) + 32,26]] – 6,7845 x 10-6 h. [58,6 x (12 x 10-6) – (208 x 10-6) x 1.801] / (468,94 x 10-6)
4. Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 sampai orde ke-4 untuk menaksir nilai f(2) dari fungsi : f(x) = e-x
Gunakan titik basis perhitungan x = 1. Dan hitung kesalahan relatif untuk setiap langkah aproksimasi.
5. Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 sampai orde ke-3 untuk menaksir nilai f(3) dari fungsi : f(x) = 25x3– 6x2+ 7x – 88
Gunakan titik basis perhitungan x = 2. Dan hitung kesalahan relatif untuk setiap langkah aproksimasi.
6. Gunakan perluasan deret Taylor orde ke-0 sampai orde ke-4 untuk menaksir nilai f(4) dari fungsi : f(x) = ln x
Gunakan titik basis perhitungan x = 2. Dan hitung kesalahan relatif untuk setiap langkah aproksimasi.
Jawaban : 1.
a. 0,84 x 10^2 = 84 (dua angka berarti) b. 70,0 = 70 (dua angka berarti)
c. 0,04600 = 4600 (empat angka berarti) d. 0,00460 = 460 (tiga angka berarti) e. 8,0 x 10^3 = 8000 (dua angka berarti) f. 8.000 = 8000 (dua angka berarti) 2.
a. 8.755 (sudah memiliki tiga angka berarti) b. 0,368124 x 10^2 = 36,8 (tiga angka berarti) c. 4.255,0002 = 4255 (empat angka berarti) d. 5,455 x 10^3 = 5455 (empat angka berarti) e. 0,999500 = 1,00 (dua angka berarti) f. 48,365 = 48,4 (tiga angka berarti) 3.
a. 0,00432 + 25,1 × 0,001 + 10,322 × 0,01
0,00432 + 0,0251 + 0,10322 = 0,13264 ≈ 0,1326 b. (4,68 × 1,000,000) - (8,2 × 100)
4,680,000 - 820 = 4,679,180
c. (7,7 × 0,00001) - (5,409 × 0,000001) + (7,0 × 0,0001)
0,000077 - 0,000005409 + 0,0007 = 0,000771591 ≈ 0,000772 d. (8,38 × 100,000) × (6,9 × 0,00001)
838,000 × 0,000069 = 57.882 ≈ 57.9 e. │(8,38 × 10,000) × (6,90 × 0,0001)│
│83,800 × 0,00069│ = │57.822│ ≈ 57.8
f. [(4,68 × 0,000001) - (4,45 × 0,00001)] / (7,777 × 1,000) + 9,6 (0,00000468 - 0,0000445) / 7,777 + 9,6
0,00000468 - 0,0000445 = -0,00003982 -0,00003982 / 7,777 + 9,6
-0,00000512 + 9,6 = 9,59999488 ≈ 9,6
g. [(4,81 × 0,001) / [(6,9134 × 1,000) + 32,26]] - 0,0000067845 (0,00481 / [6913,4 + 32,26]) - 0,0000067845
(0,00481 / 6945,66) - 0,0000067845
0,00000069126 - 0,0000067845 = -0,00000609324 ≈ -0,00000609
h. [58,6 × (12 × 0,000001) - (208 × 0,000001) × 1.801] / (468,94 × 0,000001) [58,6 × 0,000012 - 0,000208 × 1.801] / 0,0004689
[0,0007032 - 0,374608] / 0,00046894 [0,007030 - 0,3746] : 0,00046894 -0,36757 : 0,00046894
-0,3676 : 0,00046894 = -78,39624653444 ≈ -78,4 4. f(x) = e-x
f(2) = e-2= 0,135335
titik basis perhitungan x = 1, maka orde ke-0
f(x) = e-x
f(1) = e-1= 0,367879 f(x) ≈ f(1) = 0,367879
Er = Va – Ve / Va = 0,135335 – 0,367879 / 0,135335 = -1,718284 orde ke-1
f’(x) = -e-x
f’(1) = -e-1= -0,367879
f(x) ≈ f(1) + f’(1)(x − 1) = 0,367879 − 0,367879(x − 1)
Er = Va – Ve / Va = 0,135335 − (0,367879 − 0,367879(2 − 1)) / 0,135335
= 0,135335 − 0 / 0,135335 = 1 orde ke-2
f’’(x) = e-x= e-1 f’’(1) = e-1= 0,367879
f(x) ≈ f(1) + f’(1)(x − 2) + f’’(1)/2! (x − 1)2
= 0,367879 − 0,367879(x − 1) + 0,367879/2 (x − 1)2 Er = Va – Ve / Va
= 0,135335 − (0,367879 − 0,367879(2 − 1) + 0,367879/2 (2 − 1)2) / 0,135335
= 0,135335 − 0,183940 / 0,135335
= -0,359146 orde ke-3
f’’’(x) = -e-x
f’’’(1) = -e-1= -0,367879
f(x) ≈ f(1) + f’(1)(x − 1) + f’’(1)/2! (x − 1)2+ f’’’(1)/3! (x - 1)3
= 0,367879 − 0,367879(x − 1) + 0,367879/2 (x − 1)2+ -0,367879/6 (x − 1)3
Er = Va – Ve / Va
= 0,135335 – ( 0,367879 − 0,367879(2 − 1) + 0,367879/2 (2 − 1)2+ -0,367879/6 (2 − 1)3) / 0,135335
= 0,135335 – 0,122627 / 0,135335
= 0,093900 orde ke-4
f’’’’(x) = e-x
f’’’’(1) = e-1= 0,367879
f(x) ≈ f(1) + f’(1)(x − 1) + f’’(1)/2! (x − 1)2 + f’’’(1)/3! (x - 1)3+ f’’’’(1)/4! (x - 1)4
= 0,367879 − 0,367879(x − 1) + 0,367879/2 (x − 1)2+ -0,367879/6 (x − 1)3+ 0,367879/24 (x - 1)4
Er = Va – Ve / Va
= 0,135335 – ( 0,367879 − 0,367879(2 − 1) + 0,367879/2 (2 − 1)2+ -0,367879/6 (2 − 1)3+ 0,367879/24 (2 - 1)4) / 0,135335
= 0,135335 – 0,137955 / 0,135335
= -0,019360 5. f(x) = 25x3– 6x2+ 7x – 88
f(3) = 25(3)3– 6(3)2+ 7(3) – 88 = 675 – 54 + 21 – 88 = 554 titik basis perhitungan x = 2, maka
orde ke-0
f(x) = 25x3– 6x2+ 7x – 88
f(2) = 25(2)3– 6(2)2+ 7(2) – 88 = 200 – 24 + 14 – 88 = 102 f(x) ≈ f(2) = 102
Er = Va – Ve / Va = 554 – 102 / 554 = 0,8159 orde ke-1
f’(x) = 75x2– 12x + 7
f’(2) = 75(2)2– 12(2) + 7 = 300 – 24 + 7 = 283 f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) = 102 + 283(x − 2)
Er = Va – Ve / Va = 554 – (102 + 283(3 – 2)) / 554 = 169 / 554 = 0,3051 orde ke-2
f’’(x) = 150x – 12
f’’(2) = 150(2) – 12 = 300 – 12 = 288
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2= 102 + 283(x − 2) + 288/2 (x − 2)2 Er = Va – Ve / Va = 554 – (102 + 283(3 – 2)) + (288/2 (3 − 2)2) / 554
= 554 – 529 / 554 = 0,0451 orde ke-3
f’’’(x) = 150
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2+ f’’’(2)/3! (x − 2)3
= 102 + 283(x − 2) + 288/2 (x − 2)2+ 150/6 (x − 2)3 Er = Va – Ve / Va
= 554 – (102 + 283(3 – 2)) + (288/2 (3 − 2)2+ 150/6 (3 − 2)3) / 554
= 554 – 554 / 554 = 0 6. f(x) = ln x
f(4) = ln(4) = 1,38629
titik basis perhitungan x = 2, maka orde ke-0
f(x) = ln x
f(2) = ln(2) = 0,693147 f(x) ≈ f(2) = 0,693147
Er = Va – Ve / Va = 1,38629 – 0,69315 / 1,38629 = 0,69314 / 1,38629 = 0,50000 orde ke-1
f’(x) = 1/x f’(2) = 1/2 = 0,5
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) = 0,693147 + 0,5(x − 2)
Er = Va − Ve / Va = 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2)) / 1,38629
= 1,38629 – 1,69315 / 1,38629 = -0,22135 orde ke-2
f’’(x) = -1/x2
f’’(2) = -1/(2)2= -0,25
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2
= 0,693147 + 0,5(x − 2) − 0,25/2 (x − 2)2 Er = Va − Ve / Va
= 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2) – 0,25/2(4 − 2)2) / 1,38629
= 1,38629 – (0,693147 + 1 – 0,5) / 1,38629
= 1,4 – 1,2 / 1,38629 = 0,2 / 1,38629 = 0,1 orde ke-3
f’’’(x) = 2/x3
f’’’(x) = 2/(2)3= 0,25
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2+ f’’(2)/3! (x − 2)3
= 0,693147 + 0,5(x − 2) − 0,25/2 (x − 2)2+ 0,25/6 (x − 2)3 Er = Va − Ve / Va
= 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2) – 0,25/2(4 − 2)2+ 0,25/6(4 − 2)3) / 1,38629
= 1,38629 – (0,693147 + 1 – 0,5 + 0,33) / 1,38629
= 1,38629 – 1,5 / 1,38629 = -0,1 orde ke-4
f’’’’(x) = -6/x4
f’’’’(x) = -6/(2)4= -0,375
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2+ f’’(2)/3! (x − 2)3+ f’’’(2)/4! (x − 2)4
= 0,693147 + 0,5(x − 2) − 0,25/2 (x − 2)2+ 0,25/6 (x − 2)3− 0,1875/24 (x − 2)4
Er = Va − Ve / Va
= 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2) – 0,25/2(4 − 2)2+ 0,25/6(4 − 2)3− 0,375/24 (4 − 2)4) / 1,38629
= 1,38629 – (0,693147 + 1 – 0,5 + 0,33 – 0,25) / 1,38629
= 1,38629 – 1,2 / 1,38629 = 0,14
f(x) = ln x
f(4) = ln(4) = 1,38629
titik basis perhitungan x = 2, maka orde ke-0
f(x) = ln x
f(2) = ln(2) = 0,693147 f(x) ≈ f(2) = 0,693147
Er = Va – Ve / Va = 1,38629 – 0,69315 / 1,38629 = 0,69314 / 1,38629 = 0,50000 orde ke-1
f’(x) = 1/x f’(2) = 1/2 = 0,5
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) = 0,693147 + 0,5(x − 2)
Er = Va − Ve / Va = 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2)) / 1,38629
= 1,38629 – 1,69315 / 1,38629 = -0,22135 orde ke-2
f’’(x) = -1/x2
f’’(2) = -1/(2)2= -0,25
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2
= 0,693147 + 0,5(x − 2) − 0,25/2 (x − 2)2 Er = Va − Ve / Va
= 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2) – 0,25/2(4 − 2)2) / 1,38629
= 1,38629 – (0,693147 + 1 – 0,5) / 1,38629
= 1,4 – 1,2 / 1,38629 = 0,2 / 1,38629 = 0,1
orde ke-3
f’’’(x) = 2/x3
f’’’(x) = 2/(2)3= 0,25
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2+ f’’(2)/3! (x − 2)3
= 0,693147 + 0,5(x − 2) − 0,25/2 (x − 2)2+ 0,25/6 (x − 2)3 Er = Va − Ve / Va
= 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2) – 0,25/2(4 − 2)2+ 0,25/6(4 − 2)3) / 1,38629
= 1,38629 – (0,693147 + 1 – 0,5 + 0,33) / 1,38629
= 1,38629 – 1,5 / 1,38629 = -0,1 orde ke-4
f’’’’(x) = -6/x4
f’’’’(x) = -6/(2)4= -0,375
f(x) ≈ f(2) + f’(2)(x − 2) + f’’(2)/2! (x − 2)2+ f’’(2)/3! (x − 2)3+ f’’’(2)/4! (x − 2)4
= 0,693147 + 0,5(x − 2) − 0,25/2 (x − 2)2+ 0,25/6 (x − 2)3− 0,1875/24 (x − 2)4
Er = Va − Ve / Va
= 1,38629 – (0,693147 + 0,5(4 − 2) – 0,25/2(4 − 2)2+ 0,25/6(4 − 2)3− 0,375/24 (4 − 2)4) / 1,38629
= 1,38629 – (0,693147 + 1 – 0,5 + 0,33 – 0,25) / 1,38629
= 1,38629 – 1,2 / 1,38629 = 0,14
