*
KONSEP DASAR
Prodi Teknik Sipil Fakultas Teknik UNS
Endah Safitri
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
:
dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik (penyelesaian persamaan differensial)
Persamaan Deret Taylor :
...! '' 3
! ' ' 2
! ' ' 1
3 2
1
x x x f
x x f
x f x
f x
f i i i i i
Rnn x x f
n i
n
... !
...
)!
2 (
)!
1 (
2 2
1
1
n x x
n f x x
f Rn
n i
n n
i n
2
DERET TAYLOR
dengan :
f (xi) = fungsi di titik xi f (xi + 1) = fungsi di titik xi +1
f ’, f ’’…fn = turunan pertama, kedua,….ke-n dari fungsi
∆x = jarak antara xi dan xi+1 Rn = kesalahan pemotongan
! = operator faktorial, ex : 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
Perkiraan suatu fungsi dengan Deret Taylor :
xi f
xif 1
! ' 1
1
x x f x
f x
f i i i
! '' 2
! ' 1
2 1
x x x f
x f x f x
f i i i i
Orde 0 Orde 1 Orde 2 f(x)
i i+1
∆x
X Y
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
Perkiraan benar jika fungsi yang diperkirakan adalah sesuatu yang konstan
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)
3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)
merupakan suatu garis lurus (naik/turun)
3
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
R
n= O (∆x
(n+1))
Keterangan :
• Indeks n menunjukkan kesalahan pemotongan mempunyai order n
• (n+1) menunjukkan deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke-(n+1)
...! '' 3
! ' '' 2
3 2
2
x
x x f
x f x
O i i
Pada perkiraan order 1, besarnya kesalahan pemotongan :
Kesalahan pemotongan akan kecil apabila : 1. Interval ∆x adalah kecil
2. Memperhitungkan lebih banyak suku Deret Taylor
4
KESALAHAN PEMOTONGAN
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
Digunakan untuk memperkirakan bentuk differensial kontinu menjadi bentuk diskret
) ) (
( )
) ( ( '
)
! ( ' 1
! ....
' 3 '
! ' ' 2
! ' ' 1
1
2 1
3 2
1
x x O
x f x
x f x f
f atau
x x O
x f x
f x
f atau
x x x f
x x f
x f x
f x
f
i i
i
i i
i
i i
i i
i
diturunkan berdasar Deret Taylor
Ada 3 macam :
1. DIFFERENSIAL MAJU.
5
DIFFERENSIAL NUMERIK
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
) ) (
( ) ) (
( '
)
! ( ' 1
! ....
' 3 '
! ' ' 2
! ' ' 1
1
2 1
3 2
1
x x O
x f x x f
x f f atau
x x O
x f x f x
f atau
x x x f
x x f
x f x f x
f
i i
i
i i
i
i i
i i
i
) 2 (
) ( )
) ( ( '
! ....
' 3 ' 2 '
) ( )
) ( ( '
! ....
' 3 '
! ' ' 1
2
1 2 1
3 1
1
3 1
1
x x O
x f x
x f x f
f atau
x x x f
x f x
x f x f
f atau
x x x f
x f x
f x
f
i i
i
i i
i i
i i
i i
2. DIFFERENSIAL MUNDUR
3. DIFFERENSIAL TERPUSAT
6
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
1. DIFFERENSIAL BIASA
persamaan differensial yang hanya mengandung 1 variabel bebas
ex :
2. DIFFERENSIAL PARSIIL
persamaan differensial yang mengandung lebih dari 1 variabel bebas
ex :
3
y x
x y
x y t
y
2 2
7
MACAM DIFFERENSIAL
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
Bentuk differensial (biasa/parsiil) dapat diubah dalam bentuk differensial numerik (beda hingga)
( ) ( ) 2) ) (
(
"
12 ....
"
"
) (
2 ) ) (
(
"
! ....
" 4
"
! 2
" 2 2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
4 2
1 1
x x O
x f x
f x
x f x f
f atau
x x x f
x f x
f x
x f f atau
x x x f
x f x
f x
f x
f
i i
i i
i i
i i
i
i i
i i
i
8
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
2
1 1
2 2
1 1
1 1
2
1 1
2 2
1 1
1 1
) ( 2
) ) (
(
"
2 ) ( )
( )
) ( ( '
) ( 2
) ) (
(
"
2 ) ( )
( )
) ( ( '
t
t f t
f t
t f t f
f
t t f t
f t
t f t
f t
t f t
t f t f
f
x
x f x
f x
x f x f
f
x x f x
f x
x f x
f x
x f x
x f x f
f
n n
n n
n n
n n
n n
n
i i
i i
i i
i i
i i
i
Kisi hitungan t
i-1 i i+1
x
n+1 n n-1
∆t
∆x
9
UNIVERSITAS
SEBELAS MARET
1. f(x) = 25x3 – 6x2 + 10x – 88 dengan x = 2 dan ∆x = 0,5 carilah besar f ’(x) dengan :
a. diffrensial maju b. diffrensial mundur c. diffrensial terpusat
d. besar masing-masing prosentase kesalahan terhadap nilai eksaknya.
Apa kesimpulan anda ?
2. Gunakan perluasan Deret Taylor dari orde ke-0 sampai orde ke-3 untuk menaksir f(π/6) dari persamaan f(x) = sin x, berdasar pada nilai x = π/4
10
SOAL
UNIVERSITAS SEBELAS
MARET
11
Prodi Teknik Sipil Fakultas Teknik UNS
Endah Safitri
