Nama : Ira Ika Damayanti NPM : 19310048
Fungsi Pembangkit Permutasi ONMIPA PT 2018
1. Tentukan banyaknya cara untuk mewarnai bujur sangkar 1x1 pada persegi panjang 1xn dengan menggunakan warna merah, hijau, atau biru sedemikian sehingga terdapat sejumlag genap bujur sangkar berwarna merah. Pewarna tersebut menggunakan warna merah,hijau atau biru, dengan syarat banyaknya bujur sangkar merah merupakan bilangan genap. Fungsi pembangkit eksponensial untuk penyusunan ini adalah...
Penyelesaian : f(x)=
(
1+2x2!+x44!+…
)(
1+x+2!x2+ x3 3!+…)
2Banyaknya cara mewarnai bujur sangkar 1x1 pada persegi panjang 1xn dengan syarat yang diberikan sama dengan koefisien xn
n Pada f(x).
Perhatikan bahwa:
f(x)=
(
1+2x2!+x44!+…
)(
1+x+2!x2+ x3 3!+…)
2¿
(
ex+e2 −x) (ex)2
¿
(
ex+e2 −x)
e2x¿1
2
(
e3x+ex)
xi i!
∑
i=0∞ (3x)i i! +
∑
i=0
∞
¿
¿1 2¿
xi i !
∑
i=0∞
(
3ixi)
❑i ! +
∑
i=0
∞
¿
¿1 2¿
3ixi+xi i!
∑
i=0∞
¿
¿1 2¿
¿1 2(
∑
i=0
∞
(
3i+1)
xi i! ) Suku yang memuat xnn! adalah : 1
2.
(
3n+1)
xnn ! =3n+1 2 .xn
n ! Dengan koefisien
3n+1 2
Jadi, banyaknya cara mewarnai bujur sangkar 1x1 pada persegi panjang 1xn dengan syarat yang diberikan adalah 3n+1
2
2. Tentukan fungsi pembangkit eksponensial dari an=n+5 Penyelesaian :
Misalkan P(x) adalah FPE dari an=n+5. Dengan menggunakan definisi FPE, kita Peroleh :
P(x)=
∑
n=0
∞ an n! xn
¿
∑
n=0
∞ n+5
n ! xn n
n! xn+¿
∑
n=0
∞ 5
n!xn
¿
∑
n=0
∞
¿
Tinjau operatorsigma pada suku pertama.
Gunakan teorema pada turunan pada fungsi pembangkit
Katakanlah kita memunyai barisan baru, sebut saja ( bn¿=1, Yang memiliki FPE G(x)=1+x+ 1
2!x2+ 1
3! x3+…=ex
Dan diketahui bahwa trunan pertama G(x) adalag G’(x) = ex
Ini berarti, barisan lain, sebut saja ( cn¿=n . bn=n.1=n memiliki FPE x . G'(x)=x . ex
Lanjutkan ke bentuk P(x)
P(x)=
∑
n=0
∞ n
n!xn+5
∑
n=0
∞ 1
n !xn
¿x . ex+5ex=ex(x+5)
Jadi FPE dari barisan tersebut adalah ex(x+5)
3. Pengubinan dengan panjang n ≥ 1 adalah sebuah cara menutupi lantai berukuran 1x n dengan menggunakan ubin 1x1 berwarna merah, putih, hijau, kuning atau biru.
Sebuah pengubinan dikatakan ideal bila pengubinan menggunakan genap ubin merah, genap ubin hijau, dan ganjil ubin biru. Tentukan banyaknya pengubinan ideal dengan panjang n.
Penyelesaian :
Kita telah mengetahui bahwa ex=
∑
n=0
∞ xn n !
Menentukan fungsi pembangkit masing-masing warna ubin.
Untuk ubin berwarna merah dan hijau, fungsi pembangkitnya adalah : 1+x2
2!+x4
4!+…=ex+e−x 2
Fungsi pembangkit untuk ubin biru adalah x+x3
3!+x5
5!+…=ex−e−x 2
Sedangkan untuk fungsi pembangkit ubin putih dan kuning adalah 1+x+x2
2!+x3
3!+…=ex
Oleh karena itu, fungsi pembangkit untuk permasalahan ersebut adalah 1+x+x2
2!+ x3 3!+…
¿¿ P(x)=¿
Sehingga, e ex+e−x
2
¿¿ ex−e−x
2 (¿¿x)2¿ P(x)=¿
¿
(
e2x)
e3x
+ex−e−x−e−3x 8
¿1
8
(
e5x+e3x−ex−e−x)
(−x)n n !
∑
n=0∞ (5x)n n! +
∑
n=0
∞ (3x)n n! −
∑
n=0
∞ (x)n n ! −
∑
n=0
∞
¿
¿1 8¿
5 xn n !−
∑
n=0
∞
(−1)n xn n!
∑
n=0∞
(¿¿n)xn n !+
∑
n=0
∞
(3n) xn n!−
∑
n=0
∞
¿
¿1 8¿
−1
¿
5n+3n−1−(¿¿n)xn n !
¿
¿1 8
∑
n=0
∞
¿
Banyaknya pengubinan ideal dengan panjang n adalah koefisien dari xn
n!dari P(x). Jadi banyaknya pengubinan ideal dengan panjang n adalah
−1
¿
¿ 5n+3n−1−¿
4. Ada n orang akan naik becak (menjadi penumpang) r buah becak berlainan,dengan n> r >1, dan setiap becak berisi satu atau dua penumpang. Ada berapa cara memasangkan n orang ke r becak tersebut sehingga setiap becak berisi satu atau dua penumpang?
Pembahasan :
Akan diselesaikan menggunakan Fungsi pembangkit eksponensial. Fungsi pembangkit eksponensialnya adalah ..
f(x)=(x+ x2 2!) Perhatikan bahwa :
f(x)=(x+ x2 2!) x
(
1+12x)
¿r¿ ¿
1+1 2 x¿r
¿xr.¿
x 1 2¿
¿
(
ri)
.¿¿xr.
∑
i=0 r
¿
¿
∑
i=0 r
(
ri)
.x2ii Suku yang memuat xnn! Diperoleh jika i=n-r, yaitu
(
n−rr)
.x2n−rn−r= n !2n−r.
(
n−rr)
.n!xn xr.¿Dengan ini memperoleh koefisien suku yang kita cari. Jadi banyaknya cara memasangkan n orang ke r becak tersebut sehingga setiap becak berisi satu atau dua penumpang adalah…
n!
2n−r.
(
n−rr)
