TUGAS 6 MATEMATIKA DISKRIT REKURSIF FPB

Nama : Ira Ika Damayanti NPM : 19310048

ASSIGMEN 6 (Fungsi Rekursif dengan fungsi pembangkit) 1. Selesaikan relasi rekurensi a_n−2_an−1=0dengan a₀=3

Penyelesaian :

Misalkan G(x) fungsi pembangkit biasa (FPB) untukk relasi ini, maka haruslah

∑

n=1

∞

(

^an−2a_n−1

)

^xn=0

∑

n=1

∞

an xⁿ−2x

∑

n=1

∞

a_n−1xⁿ⁻¹=0

(

^G(x)−a0

)

^−2xG(x)=0

(1−2x)G(x)=3 G(x)= 3

1−2x G(x)=

∑

n=0

∞

3

(

2ⁿ

)

xⁿ

jadi solusirelasi rekurensinyaadalaha_n=3(2ⁿ)

2. Selesaikan relasi rekurensi a_n−a_n−1=7 dengan menggunakan fungsi pembangkit jika didefinisikan a₀=1.

Penyelesaian :

Misalkan G(x) adalah fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk menyelesaiakan relasi rekurensi maka haruslah :

∑

n=1

∞

(

^an−a_n−1

)

^xn=7

tinjau sukunyasatu per satu

∑

n=1

∞

an xⁿ=G(x)−a₀=G(x)−1

∑

n=1

∞

an xⁿ=x

∑

n=1

∞

a_n−1xⁿ⁻¹=xG(x)

Jadi persamaan diatas dapat ditulis menjadi G(x)−1−xG(x)=7

(1−x)G(x)=8 G(x)= 8

1−x=

∑

n=0

∞

8xⁿ

jadi solusi relasi rekurensinya adalahan=8

3. Selesaikan a_n−3a_n−1=n² untuk n ^{≥1dan a}0=1 Penyelesaian :

Misalkan G(x) =

∑

n=0

∞

a_nxⁿ. sehingga bentuk operator sumasi daribarisan rekursif dpt ditulis menjadi:

∑

n=1

∞

(

^an−3a_n−1

)

^xn=

∑

n=1

∞

n²x²

∑

n=1

∞

a_nxⁿ−3x

∑

n=1

∞

a_n−1xⁿ⁻¹=

∑

n=1

∞

n²x²

(

^G(x)−a0

)

^{−3xG(x)= x}

2+x (1−x)³

(G(x)−1)−3xG(x)= x²+x

(1−x)³ (1−3x)G(x)= x²+x

(1−x)³+1

(1−3x)G(x)= x²+x

(1−x)³+(1−x)³ (1−x)³

G(x)=

(

^{x2+x+(1−(1−x)3x)3}

)

(1−3x)

G(x)=x²+x+(1−x)³

(1−x)³ × 1 (1−3x)

G(x)= x²+x+(1−x)³ (1−x)³(1−3x)

Dengan menerapkan teknik dekomposisi pecahan parsial G(x)=

−13 8 1−x+

9 4 (1−x)²+

−5 2 (1−x)³+

23 8 1−3x

x

¿

¿

¿n 3¿

(

ⁿ⁺n²

)

^xn+238

∑

n=0

∞

¿

(

ⁿ⁺n¹

)

^xn−52

∑

n=0

∞

¿

¿−13 8

∑

n=0

∞

xⁿ+9 4

∑

n=0

∞

¿ (−13

8 +¿9

4

(

ⁿ⁺¹¹

)

⁻⁵²

(

ⁿ⁺²¹

)

^{+238 .3n)xn}

¿

∑

n=0

∞

¿ jadi di dapat

a_n=−13 8 +9

4

(

ⁿ⁺¹¹

)

⁻⁵²

(

ⁿ⁺²¹

)

^{+238 .3n}

1. Jika a_n−3_an−1,=2−2n²_,a₀=3,makaa₉₉=…

Penyelesaian :

Misalkan G(x)=

∑

n=0

∞

a_nxⁿ dan perhatikan bahwa : xⁿ= 1

1−xekuivalen dengan

∑

n=0

∞

xⁿ= 1

1−x−1,makadapat dituliskan bentuk rekursif barisan diatas menjadi..

¿

∑

n=0

∞

¿

(

^an−3an−1,

)

^xn=¿

∑

n=0

∞

(

2−2n²

)

xⁿ

∑

n=0

∞

¿

|

G(x)−3

|

−3xG(x)= 2

1−x−2−2

(

x²+x

)

(1−x)³ G(x)=−x³+3x²−9x+3

(1−x)³(1−3x)

Uraikan dengan dekomposisi pecahan parsial untuk mendapatkan G(x)= 2

(1−x)³+ 1 1−3x

¿2

∑

n=0

∞

(

²⁺ⁿn

)

^xn+

∑

n=0

∞

(3x)ⁿ

∑

n=0

∞

( (

²⁺nⁿ

)

⁺³ⁿ

)

^xn

Jadi rumus barisan eksplisitnya adalah a_n=2

(

²⁺nⁿ

)

⁺³ⁿ⁼²

(

²⁺ⁿ2

)

⁺³ⁿ

Sehingga

a₉₉=2

(

²⁺⁹⁹99

)

⁺³⁹⁹

¿3⁹⁹+99²+299 4.