TUGAS PERTEMUAN 5 6 TGS KELOMPOK MK GEOMETRI TRANSFORMASI

(1)

TUGAS PERTEMUAN 5 DAN 6 GEOMETRI TRANSFORMASI

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi yang diampu oleh:

Dr. Tina Sri Sumartini, M.Pd.

Disusun Oleh :

DISUSUN OLEH:

ASTRI NUR ANGGRAENI 20516001

ATIN SUPARTINI 20516002

KELAS 3A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TERAPAN DAN SAINS

INSTITUT PENDIDIKAN INDONESIA GARUT

2023

(2)

1. Diketahui garis g: {(x,y)|x + 2y = 1} dan garis h: {(x,y)|x = 1}. Tentukanlah persamaan garis

M

_g

(h)

dan

M

_h

( g)

.

Penyelesaian:

g: x + 2y = 1 ⟹ x = 1 – 2y misal: x = 1

→

y = 0

→

(1,0) x = - 1 → y = 1 → (-1,1) h: x = 1

a.

M

_g

(h)

Ambil: A = (1,0) →

M

_g

( A )=(1,0)

B = (1,2) maka

M

_g

(B ):

g : x+ 2 y=1 ⟹ 2 y =1− x → 1− y

2 → m= −1 2

Karena

M

_g

= −1

2

sehingga garis yang tegak lurus dengan garis tersebut yaitu garis

BB

^' memiliki gradien m = 2

 Persamaan garis

BB

^'

y=m ( x− x

1

+ y

₁

) ⟺ y= 2( x −1)+2

⟺y=2x−2+2

⟺y=2x

 Titik potong antara garis g dengan garis

BB

^'

:

Substitusi y = 2x ke x + 2y = 1 sehingga:

x+ 2 y =1⟺ x + 2 (2 x )=1 ⟺ x+ 4 x=1 ⟺ 5 x= 1⟺ x= 1 5 y=2 x ⟺ y= 2 ( 1 5 ) ⟺ y = 2 5

Maka titik potongnya adalah

( 1 5 , 2 5 )

 Menggunakan titik pusat cermin:

( 1 5 , 2

5 ) = ( XB + 2 XB

^'

, YB +YB

^'

2 )

( 1 5 , 2

5 ) = ( 1+ 2 XB

^'

, 2+YB

^'

2 )

( 2 5 , 4

5 ) = ( 1+ XB

^'

, 2+ YB

^'

)

Maka

1+ XB

^'

= 2

5 2+ YB

^'

= 4

5 XB

^'

= 2

5 −1

_dan

YB

^'

= 4

5 −2

(3)

XB

^'

= −3

5 YB

^'

= −6

5

Jadi, didapatlah titik

B

^'

= M

_g

( B )= ( −3 5 , −6

5 )

Sehingga:

M

_g

( A ) : (1,0)

dan

M

_g

(B ): ( −3 5 , − 6

5 )

^maka

y− y

₁

y

2

− y

1

= x − x

₁

x

2

− x

1

⟺ y−0

−6 5 −0

= x−1

−3 5 −1

⟺ y

−6 5

= x−1

− 8 5

⟺ 5 y

−6 = 5 x−5

−8

⟺ 5 y

−6 = 5 x−5

−8

⟺− 40 y=−30 x +30

⟺− 4 y=−3 x +3

⟺ 3 x −4 y −3= 0

Jadi,

M

_g

(h)

adalah 3x – 4y – 3 = 0.

b.

M

_h

( g ) :

Ambil: A = (1,0)

→ M

_h

( A )=(1,0)

C =

( 0, 1 2 ) → M

^h

( C )=¿

^….?

Maka titik pusat cermin antara titik C dengan garis cermin (h) adalah

( 1, 1 2 )

^sehingga:

( 1, 1 2 ) = ( Xc + 2 Xc

^'

, Yc+Yc

^'

2 )

( 1, 1 2 ) = ( 0+ 2 Xc

^'

, 1 2 + 2 Yc

^'

)

( 2,1)= ( Xc

^'

, 1 2 +Yc

^'

)

Maka Xc^'=2 ^dan

Yc

^'

+ 1

2 =1⟹ Yc

^'

= 1− 1

2 ⇔ Yc

^'

= 1

2

(4)

Maka didapat

M

_h

( C )

=

( 2, 1 2 )

Sehingga didapatlah

M

_h

( A )=( 1,0) dan M

_h

(C )= ( 2, 1 2 )

y− y

₁

y

₂

− y

₁

= x − x

₁

x

₂

− x

₁

⇔ y −0 1 2 −0

= x−1 2−1

⇔ y 1 2

= x−1 1

⟺2y=x−1

⟺x−2y−1=0

Jadi,

M

_h

( g)

adalah x – 2y – 1 = 0.

2. Diketahui garis

k : { ( x , y )∨3 x − y+ 4 =0 }

dan garis

l : { ( x , y )∨ y =−2 }

. Tentukanlah persamaan garis

M

_k

(l )

dan

M

_l

( k ).

Penyelesaian:

ι:y=−2

k: 3x – y + 4 = 0

⇔ y =3 x + 4

misal: x = 0 → y=4→

(

0,4

)

x = 1

→ y =1→

(-1,1) x = -2

−2 ,−2

→ y =−2 →¿

⁾

a.

M

_k

(l )

_:

Ambil: A = (-2, -2)

→ M

_k

( A )=(−2 ,−2 )

B = (0, -2) maka

M

_k

( B)=¿

_….?

k = 3x−y+4=0⟺y=3x+4→m=3

Karena m = 3 sehingga gradien dari garis BB^' yang tegak lurus dengan garis k adalah

m= −1

3

 Persamaan garis BB^' :

y=m ( k −k

1

) + y

1

⟺ y= −1

3 ( x−0)+(−2 )

⟺ y= −1

3 x−2

⟺ 3 y=−x−6

⟺ x+3 y +6=0 atau x=−3 y−6

(5)

 Titik potong antara garis g dengan

BB

^'

:

Substitusikan x = -3y – 6 dengan y = 3x + 4 yaitu:

y=3 x +4 ⟺ y =(−3 y−6 )+ 4 ⟺ y=−9 y−18 + 4

⟺y+9y=−18+4

⟺10y=−14

⟺ y= −14

10

⟺ y= −7 5 y=3 x +4 ⟺ −7

5 =3 x + 4 ⟺−7 =15+ 20

⟺− 27=15 x

⟺ x= − 27 15

⟺ x= − 9 5

Maka titik potongnya adalah

( −9 5 , −7

5 )

^sehingga

( −9 5 , −7

5 ) = ( XB + 2 XB

^'

, YB +YB

^'

2 )

( −9 5 , −7

5 ) = ( 0+ 2 XB

^'

, −2+ YB

^'

2 )

( −18 5 , −14

5 ) = ( XB

^'

,−2+YB

^'

)

Maka

−18

5 = XB

^'

⟺ XB

^'

= −18 5

−2+YB

^'

= −14

5 ⟺−10+ 5 YB

^'

=−14

⟺5YB^'=−4

⟺ YB

^'

= −4 5

Sehingga didapat

M

_k

( B)=B

^'

= ( −18 5 , −4

5 )

Maka didapatlah

M

_k

( A )=(−2 ,−2 )dan M

_k

( B )= ( −18 5 , − 4 5 )

y− y

₁

y

2

− y

1

= x − x

₁

x

2

− x

1

⟺ y−(−2 )

−4 5 −(−2)

= x−(−2 )

−18 5 −(−2)

⟺ y +2 6 5

= x+ 2

−8 5

⟺ 5 y +10

6 = 5 x+10

− 8

⟺− 40 y−80=30 x+ 60

(6)

⟺30x+40y+140=0

⟺3x+4y+14=0

Jadi,

M

_k

( l )=3 x + 4 y +14=0.

b.

M

_l

(k ) :

Ambil: A = (-2,-2)

→ M

_l

( A )=(−2 ,−2)

C = (0,4)

→ M

_l

(C )

= ….?

Karena garis

CC

^' berada di sumbu y, maka titik potong antara garis l dengan sumbu y adalah (0, -2, sehingga:

( 0,−2 )= ( Xc + 2 Xc

^'

, Yc+Yc

^'

2 )

2(0,− 2)= ( 0+ Xc

^'

, 4 +Yc

^'

)

(0,− 4)= ( Xc

^'

, 4+ Yc

^'

)

Maka

Xc

^'

=0

^dan

4 +Yc

^'

=−4 ⟺ Yc

^'

=−8

Sehingga didapat

M

_l

( C )=(0 ,− 8)

Maka didapatlah

M

_l

( A )=(−2 ,−2)

dan

M

_l

( C )=(0,8) y− y

₁

y

₂

− y

₁

= x − x

₁

x

₂

−x

₁

⟺ y−(−2)

− 8−(−2) = x−(−2) 0−(−2)

⟺ y ±2

−6 = x +2 2

⟺2y+4=−6x−12

⟺ 6 x+2 y + 16=0

⟺3x+y+8=0

Jadi,

M

_l

( k )

adalah 3x + y + 8 = 0.

3. Diketahui garis

c : { ( x , y )∨ y −2 x− 3=0 }

dan garis

d : { ( x , y )∨ y −2 x −1=0 }

. Tentukanlah persamaan garis

M

_c

(d )

dan

M

_d

(c ) .

Penyelesaian:

c : {( x , y ) | y−2 x−3= 0 }

Ambil: x = 0 → y = 3 → (0,3) x = 1 → y = 5 → (1,5)

d :{( x , y ) | y−2 x=1 }

Ambil: x = 0 → y = 1 → (0,1) x = 1 → y = 3 → (1,3)

(a) Mc(d):

(7)



Ambil: A(0,1) → Mc(A) = ....?

c : y = 2x + 3 → m = 2

maka gradien untuk garis AA' adalah −1

2 sehingga persamaan garis AA' adalah:

y=m ( x− x

1

) + y

1

⇔ y = −1

2 ( x −0 )+1

⇔ y = −1

2 x + 1

⇔2y=−x+2

⇔x=−2y+2

Selanjutnya akan dicari titik potong antara kedua garis tersebut.

Substitusikan x = -2y + 2 ke y = 2x + 3 sehingga:

y=2 x+ 3 ⇔ y=2 (−2 y+ 2)+3 ⇔ y=−4 y + 4 +3 ⇔ 5 y =7 ⇔ y= 7 5 Dan substitusikan y= 7

5 ke x = -2y + 2 sehingga:

x=−2 y +2 ⇔ x=−2 ( 7 5 ) +2= −14 5 + 2= −4 5

Maka didapat titik potong antara kedua garis tersebut yaitu ( −4 5 , 7

5 ) sehingga:

( −4 5 , 7

5 ) = ( 0+ 2 xA ' , 1 + yA ' 2 )

⟺ 2 ( −4 5 , 7

5 ) = ( x A

^'

,1+ yA ' )

(8)

⟺ ( −8 5 , 14

5 ) = ( x A

^'

,1+ yA ' )

Maka : x A

^'

= −8

5

dan

1+ y A

^'

= 14

5 ⟺ y A

^'

= 14

5 −1= 9 5

Sehingga Mc

(A) adalah ( −8 5 , 9

5 )



Ambil: A(1,3) → Mc(B) = ....?

c : y = 2x + 3 → m = 2

maka gradien untuk garis BB' adalah −1

2 sehingga persamaan garis BB' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔ y = −1

2 ( x −1 )+3

⇔ y = −1 2 x + 1

2 +3

⇔ 2 y=−x +1+6

⇔ x=−2 y +7

y=2 x+ 3 ⇔ y=2 (−2 y+ 7)+3 ⇔ y =−4 y+14 +3 ⇔ 5 y=17 ⇔ y= 17 5 Dan substitusikan y= 17

x=−2 y +7 ⇔ x=−2 ( 17 5 ) +7= −34 5 +7= 1 5

Maka didapat titik potong antara kedua garis tersebut yaitu ( 1 5 , 17

5 ) sehingga:

( 1 5 , 17

5 ) = ( 1+xB ' 2 , 3+ yB ' 2 )

⟺ 10 ( 1 5 , 17

5 ) =10 ( 1 + 2 xB ' , 3+ yB' 2 )

⟺ ( 2,34 )= ( 5+ 5 x B

^'

, 15+5 yB ' )

Maka :5+5 x B

^'

=2 ⇔ 5 x B

^'

=−3 ⇔ x B

^'

= −3

5

dan

(9)

15+5 y B

^'

=34 ⟺5 y B

^'

=19 ⇔ y B

^'

= 19 5

Sehingga Mc

(B) adalah ( −3 5 , 19

5 )

Maka didapatlah M

c

(A) = ( −8 5 , 9

5 ) dan M

^c

(B) = ( −3 5 , 19

5 ) sehingga:

y− y

₁

y

₂

− y

₁

= x − x

₁

x

₂

−x

₁

⇔ y − 9

5 19

5 − 9 5

= x + 8

5

−3 5 + 8

5

⇔ y− 9

5 10

5

= x + 8

5 5 5

⇔ y− 9

5 2 =

x + 8 5 1

⇔ y − 9

5 =2 x + 16 5

⇔5y−9=10x+16

⇔ 10 x−5 y +25= 0

⇔2x−y+5=0

∴

Jadi M

_c

(d ) adalah 2 x− y +5= 0

(b) Md(c):



Ambil: D(0,3) → Md(D) = ....?

d : y = 2x + 1 → m = 2

maka gradien untuk garis DD' adalah −1

2 sehingga persamaan garis DD' adalah:

y=m ( x− x

1

) + y

1

⇔ y = −1

2 ( x −0 )+3

(10)

⇔ y = −1

2 x + 3

⇔ 2 y=−x +6

⇔ x=−2 y +6

y=2 x+ 1⇔ y=2 (−2 y + 6 )+1 ⇔ y=−4 y +12+ 1 ⇔ 5 y=13 ⇔ y = 13 5 Dan substitusikan y= 13

5 ke x = -2y + 6 sehingga:

x=−2 y +6 ⇔ x=−2 ( 13 5 ) + 6= −26 5 +6= 4 5

5 ) sehingga:

( 4 5 , 13

5 ) = ( 0+ 2 xD' , 3+ yD ' 2 )

⟺ 10 ( 4 5 , 13

5 ) =10 ( x D

^'

,3+ yD ' )

⟺ ( 8,26)= ( 5 x D

^'

,15 +5 yD ' )

Maka :5 x D

^'

=8 ⇔ x D

^'

= 8

5

dan

15 +5 y D

^'

= 26 ⟺5 y D

^'

=11 ⇔ y D

^'

= 11 5

Sehingga Md

(D) adalah ( 8 5 , 11

5 )



Ambil: E(1,5) → Md(E) = ....?

c : y = 2x + 1 → m = 2

maka gradien untuk garis EE' adalah −1

2 sehingga persamaan garis EE' adalah:

y=m

(

^x−^x1

)

⁺^y1

⇔ y = −1

2 ( x −1)+ 5

⇔ y = −1 2 x + 1

2 +5

⇔ y = −1 2 x + 11

2

(11)

⇔ 2 y =−x +11

⇔ x=−2 y +11

Substitusikan x = -2y + 11 ke y = 2x + 1 sehingga:

y=2 x+ 1⇔ y=2 (−2 y + 11 )+1⇔ y=−4 y +22+ 1 ⇔ 5 y=23 ⇔ y = 23 5 Dan substitusikan y= 23

x=−2 y +11 ⇔ x=−2 ( 23 5 ) + 11= −46 5 +11= 9 5

5 ) sehingga:

( 9 5 , 23

5 ) = ( 1+ 2 xE ' , 5+ yE ' 2 )

⟺ 10 ( 9 5 , 23

5 ) =10 ( 1+ 2 xE ' , 5+ yE ' 2 )

⟺ ( 18,46)= ( 5+ 5 x E

^'

,25 +5 yE ' )

Maka :5+5 x E

^'

=18 ⇔ 5 x E

^'

=13 ⇔ x E

^'

= 13

5

dan

25+5 y E

^'

=46 ⟺ 5 y E

^'

=21 ⇔ y E

^'

= 21

5

Sehingga Mc

(B) adalah ( 13 5 , 21

5 )

Maka didapatlah M

d

(D) = ( 8 5 , 11

5 ) dan M

^d

(E) = ( 13 5 , 21

5 ) sehingga:

y− y

₁

y

2

− y

1

= x − x

₁

x

2

−x

1

⇔

y − 11 5 21

5 − 11 5

= x− 8

5 13

5 − 8 5

⇔ y− 11

5 10

5

= x− 8

5

(12)

⇔ y− 11

5

2 =

x− 8 5 1

⇔ y − 11

5 = 2 x− 16 5

⇔ 5 y−11=10 x−16

⇔10x−5y−5=0

⇔ 2 x− y−1=0

∴

Jadi M

_d

(c ) adalah 2 x− y −1=0

4. Jika

a : { ( x , y )∨ y=− x }

dan

b : { ( x , y )∨3 y=x +3 }

. Selidilaah apakah titik A

(

−2,−4

)

terletak garis

M

_a

( b)

_.

Penyelesaian:

a: y = - x

misal: x = 0

→ y =0 →(0,0) x=1→ y =−1(1 ,−1)

b: 3y = x + 3

misal: x = 0

→ y =1 → (0,1) x=3 → y =2 (3, 2)

 Ma_b

a : y=− x → m=−1

 Ambil B (0,1) maka Ma_b _{= ….?}

Karena gradien garis a adalah -1, maka garis BB^' bergradien 1.

Sehingga y = m

x− x

(¿¿ 1)+ y

₁

⟺ y=1 ( x−0)+1

¿

⟺ y =x + 1

Titik potongnya

BB

^' dengan garis a yaitu:

y= x + 1 ⟺−x= x + 1 ⟺−2 x=1 ⟺ x = −1

2

(13)

y=− x ⟺ y=− ( −1 2 ) ⟺ y = 1 2

Sehingga titik potongnya adalah

( −1 2 , 1

2 ) ( −1 2 , 1

2 ) = ( XB + 2 XB

^'

, YB+YB

^'

2 )

2 ( −1 2 , 1

2 )

⁼

( 0+ XB

^'

, 1+YB

^'

)

(−1,1 )= ( XB

^'

,1 +YB

^'

)

Maka

XB

^'

=−1 dan 1+YB

^'

=1 ⟺YB

^'

= 0

Sehingga titik

M

_a

( B)=(−1,0)

 Menentukan titik potong garis a dan b Substitusi y = - x dengan 3y = x + 3

3y = x + 3

⟺ 3 (−x )=x+ 3 ⟺−3 x− x=3 ⟺−4 x=3

⟺ x= − 3 4 y=− x ⟺ y= ( −3 4 ) ⟺ y = 3 4

Maka titik potong garis a dan b adalah

( −3 4 , 3 4 )

Ambil titik C

( −3 4 , 3

4 ) → M

^a

( C)= ( −3 4 , 3 4 )

Maka didapatlah

M

_a

( B )=(−1,0 ) dan M

_a

( C )= ( −3 4 , 3 4 )

Sehingga:

y− y

₁

y

₂

− y

₁

= x − x

₁

x

₂

− x

₁

⟺ y −0 3 4 −0

= x−(−1)

− 3

4 −(−1) ⟺ y

3 4

= x +1 1 4

⟺ y

3 4

= x +1

1

4

(14)

⟺ 4 y

3 =4 x+ 4

⟺ 4 y =12 x +12 ⟺ y=3 x+3

⟺ 3 x + y =−3

Maka

M

_a

( B )=3 x + y =−3

A = (-2, -4)

→3 (−2)+(− 4 )=−6−4=−10

Jadi, A = (-2, -4) tidak terletak di garis

M

_a

( B ) .

5. Suatu tranformasi T ditentukan oleh T

(

P

)

=

{

x+1, 2y

}

untuk semua P

(

x , y

)

. Jika A (0,3) dan B (1, -1), tentukan

A

^'

=T ( A ) dan B

^'

=T (B ) .

Tentukan pula persamaan AB dan

A

^'

B

^'

.

Penyelesaian:

T ( P )= { x + 1, 2 y } , A ( 0,3) , B (1,−1)

A^'=T

(

A

)

=

(

0+1,2

(

3

) )

=

(

1,6

)

B^'=T

(

B

)

=

(

1+1, 2

(

−1

) )

=(2,−2)

 Persamaan A^'B^' y−y₁

y₂−y₁= x−x₁

x₂−x₁⟺ y−6

−2−6=x−1

2−1⟺ y−6

−8 =x−1

1 ⟺y−6=−8x+8

⟺8x+y=14

⟺ y =−8 x +14

 Persamaan AB

y− y

₁

y

₂

− y

₁

= x − x

₁

x

₂

−x

₁

⟺ y −3

−1−3 = x −0

1−0 ⟺ y−3

− 4 = x 1

⟺ y −3=−4 x

⟺ y =−4 x+ 3

Jadi, persamaan garis AB adalah y = -4x + 3 dan persamaan garis

A

^'

B

^' adalah y = -8x +14.

6. Diketahui lingkaran

x−2

¿¿

y−3

¿

( x , y )∨¿

k=

¿

T sebuah isometri yang memetakan titik A (2, 3) pada

A

^'

( 1,−7) .

Tentukan persamaan himpunan T(k) dan apakah pola k juga lingkaran?

Berikan alasannya.

Penyelesaian:

(15)

x−2

¿

y−3

¿

( x , y )∨¿

k=

¿

titik pusat lingkaran= (2,3)

Karena A (2,3) adalah titik pusat lingkaran k maka

A

^'

( 1 , −7)

dan merupakan titik pusat

lingkaran bayangan (peta)nya yaitu T(k). Sehingga: T(k) =

x− x

₁

¿¿

y− y

₁

¿

¿¿

x−1

¿

y

¿

+7

¿

¿ ¿¿

¿x²−2x+1+y²+14y+49

¿x²+y²−2x+14y+50