TUGAS PERTEMUAN 3 DAN 4 GEOMETRI TRANSFORMASI
Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Transformasi yang diampu oleh : Dr. Tina Sri Sumartini, M.Pd.
Disusun Oleh :
DISUSUN OLEH:
ASTRI NUR ANGGRAENI 20516001
ATIN SUPARTINI 20516002
KELAS 3A
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TERAPAN DAN SAINS
INSTITUT PENDIDIKAN INDONESIA GARUT
2023
Tugas Pertemuan 3
1. Apabila pada V ada sistem orthogonal dan A (1,3) , B (-2,1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A)=B
Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik A (1,3) dan B (-2,1) adalah:
y−y1 y2−y1
= x−x1 x2−x1
⇔ y−3
1−3= x−1
−2−1
⇔ y−3
−2 =x−1
−3
⇔−3(y−3)=−2(x−1)
⇔−3y+9=−2x+2
⇔2x−3y+7=0
Dari persamaan 2x−3y+7=0 diperoleh gradiennya yaitu:
2x−3y+7=0⇔3y=2x+7⇔y=2x+7 3 Maka m = 2
3 dan garis g yang tegak lurus dengan garis tersebut memiliki gradien m =
−3 2
Misalkan C merupakan titik potong antara garis g dengan garis AB, dengan demikian:
C=
(
1+(−2)2 ,3+12
)
=(
−12 ,2)
Maka persamaan garis g yang melalui titik C dan bergradien m = −3
2 adalah:
y=m
(
x−x1)
+y1⇔y=−3
2
(
x−(
−12) )+2
⇔y=−3
2
(
x+12)
+2⇔y=−3 2 x−3
4+2
⇔4y=−6x−3+8
⇔4y=−6x+5
⇔6x+4y−5=0
∴Jad i, persamaan garis g adalah6x+4 y−5=0
2. Diketahui g = {(x,y)|x = - 3}. Tentukan:
a) A' = Mg(A) apabila A (2,1)
b) C apabila diketahui Mg(C) = (-1,7) Penyelesaian:
a) B(-3,1) adalah titik tengah AA' atau titik pusat cermin dimana A'=Mg(A). Dengan demikian:
(−3,1)=
(
xA+2xA ', yA+yA ' 2)
⟺(−3,1)=
(
2+2xA ' ,1+yA ' 2)
⟺(−6,2)=
(
2+x A',1+yA ')
Maka:2+xA '=−6⇔xA '=−8 dan 1+y A'=2⟺yA '=1
∴Jadi didapatlah Mg(A)=A '=(−8,1)
b) Mg(C) = (-1,7)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: x = -3 dan melalui C' = Mg(C) = (-1,7) adalah y = 7. Maka titik D (-3,7) adalah titik tengah CC', dimana C adalah titik prapeta dari pencerminan garis g yang menghasilkan titik C'. Dengan demikian:
(−3,7)=
(
xc−12 , yc+7 2)
⟺2(−3,7)=(xc−1, yc+7)
⟺(−6,14)=(xc−1, yc+7)
Maka:xc−1=−6⇔xc=−5 dan yc+7=14⟺yc=7
∴Jadi nilaititik C adalah(−5,7)
3. Diketahui h = {(x,y) )|x = y}, berapakah A' = Mh(A) apabila: A(x,y) Penyelesaian:
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis h: x=y dan melalui A(xA,yA) adalah x = xA. Misal B(xB,yB) adalah titik tengah AA' dimana A' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik A oleh garis h. Maka xA' = yA dan yA' = xA.
(xB , yB)=
(
xA+2xA ', yA+yA ' 2)
⟺2(xB , yB)=
(
xA+x A', yA+yA ')
⟺(2xB ,2yB)=
(
xA+x A', yA+yA ')
Maka:xA+x A'=2xB⇔x A'=2xB−xA dan yA+y A'=2yB⟺y A'=2yB−yA
∴Jadi nilaititik A ' adalah(2xB−xA ,2yB−yA)
4. Diketahui D' = (2,-4), berapakah D apabila h = {(x,y) )|x = -3}
Penyelesaian:
Misal C adalah titik tengah DD' terhadap pencerminan D oleh garis h. Didapatlah C (-3, -4) maka:
(−3,−4)=
(
xD+2 2,yD−4 2)
⟺2(−3,−4)=(xD+2, yD−4)
⟺(−6,−8)=(xD+2, yD−4)
Maka:xD+2=−6⇔xD=−8 dan yD−4=−8⟺yD=−4
∴Jadi nilai titik D adalah(−8,−4)
5. Diketahui B' = (-3,5), berapakah B apabila k = {(x,y) )|x + y = 0}
Penyelesaian:
k = {(x,y) )|x + y = 0} → k : x = - y → y = - x
Maka didapat gradien dari garis k yaitu m = -1 , sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien 1. Sehingga persamaan garis yang melalui titik B(-3, 5) dan bergradien 1 adalah:
y=m
(
x−x1)
+y1⇔y=1(x−(−3))+5
⇔y=1(x+3)+5
⇔y=x+3+5
⇔y=x+8
Selanjutnya akan dicari titik potong antara kedua garis tersebut.
Substitusikan x = - y ke y = x + 8 sehingga:
y=x+8⇔y=−y+8⇔2y=8⇔ y=4 Dan substitusikan y = 4 ke x = - y sehingga:
x=−y⇔x=−4
Maka didapat titik potong antara kedua garis tersebut yaitu (-4,4) sehingga:
(−4,4)=
(
xB+(−2 3),yB+5 2)
⟺2(−4,4)=(xB−3, yB+5)
⟺(−8,8)=(xB−3, yB+5)
Maka:xB−3=−8⇔xB=−5 dan yB+5=8⟺yc=3
∴Jadi nilaititik C adalah(−5,3)
6. Diketahui A(0,0), berapakah A' = Mg(A) apabila g = {(x,y) )|x + y = 1}
Penyelesaian:
g : x + y = 1 → y = - x + 1 maka m = -1
Sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradient m = 1. Maka persamaan garis yang melalui titik A(0,0) dan bergradien 1 adalah:
y=m
(
x−x1)
+y1⇔y=1(x−(0))+0⇔y=x
Untuk mencari titik potong garis y = x dengan y = - x + 1 dilakukan substitusi.
y=−x+1⇔x=−x+1⇔2x=1⇔x=1 2 Dan substitusikan x=1
2 ke y = x sehingga y=1 2
Sehingga titik potong antara garis g dengan garis AA' adalah (1 2,1
2) maka:
(
12,12
)
=(
0+2xA ' ,0+yA ' 2)
⟺2
(
12,12
)
=(
x A', yA ')
⟺(1,1)=
(
x A', yA ')
∴Jadi koordinat titik Mg(A)=A'adalah(1,1)
7. Diketahui C (3,-1), apabila C = Mg(C) dengan g = {(x,y) )| ax – 3y + 1 = 0}
berapakah nilai a Penyelesaian:
g : ax – 3y + 1 = 0 dan C (3, -1)
Karena Mg(C) = C maka C haruslah terletak pada sumbu cermin yaitu terletak pada garis g.
Untuk mencari nilai a, substitusikan x = 3 dan y = -1 pada persamaan garis g sehingga diperoleh:
ax−3y+1=0⇔a(3)−3(−1)+1=0⇔3a+3+1=0⇔3a+4=0⇔a=−4 3
∴Jadi nilaia adalah−4 3
8. Diketahui g = {(x,y) )|x – 3y + 1 = 0} dan A (2,k) tentukan k jika Mg(A) = A Penyelesaian:
g : x – 3y + 1 = 0 dan A(2,k)
Karena Mg(A) = A maka A haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis g.
untuk mencari nilai k substitusikan x = 2 dan y = k ke persamaan garis g sehingga:
x−3y+1=0
⇔2−3(k)+1=0
⇔3−3k=0
⇔3=3k
⇔k=1
∴Jadi nilai k adalah1
Tugas Pertemuan 4
1. Diketahui B = (2, -1) dan g = {(x,y)| 2x + y = 0}. Tentukan Mg(B) Penyelesaian:
B = (2, -1) dan g = {(x,y)| 2x + y = 0 g : 2x + y = 0 ↔ y = -2x ↔ m = -2
Maka gradient garis g adalah -2. Sehingga garis yang tegak lurus dengan garis tersebut yaitu garis BB' memiliki gradient m = 1
2 Persamaan garis BB' yaitu:
y=m
(
x−x1)
+y1⇔y=1
2(x−2)+ (−1)
⇔y=1
2x−1−1
⇔y=1 2x−2
Titik potong antara garis g dengan garis BB' adalah:
Substitusi y = -2x ke y=1
2x−2 sehingga:
y=1
2x−2⇔−2x=1
2 x−2⇔2=5
2x⇔x=4 5
Maka y=−2x⇔y=−2
(
45)
=−58 Maka titik potongnya adalah (45,−8
5) sehingga:
(
45,−85
)
=(
2+x B2 ',−1+y B'2
)
⇔2
(
54,−85
)
=(
2+x B',−1+y B')
⇔
(
58,−165
)
=(
2+x B',−1+y B')
Maka2+x B'=8
5⇔x B'=−2
5 dan −1+y B'=−16
5 ⇔y B'=−11 5
∴Jadi Mg(B)=B '=
(
−25 ,−11 5)
