Volume 19, Number 2, Nopember 2022

(1)

Volume 19, Number 2, Nopember 2022

(2)

Limits: Journal of Mathematics and Its Applications

Volume 19, Number 2, Nopember 2022 E-ISSN:2579-8936

P-ISSN:1829-605X

ii Limits: Journal of Mathematics and Its Applications merupakan jurnal yang diterbitkan oleh Pusat Publikasi Ilmiah-DRPM, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia. Limits menerima makalah hasil riset di semua bidang Matematika, terutama bidang Analisis, Aljabar, Pemodelan Matematika, Sistem dan Kontrol, Matematika Diskrit dan Kombinatorik, Statistik dan Stokastik, Matematika Terapan, Optimasi, dan Ilmu Komputasi. Jurnal ini juga menerima makalah tentang survey literatur yang menstimulasi riset di bidang-bidang tersebut di atas.

Editor-in-Chief:

• Chairul Imron, Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia Editorial Board:

• Slamin, Departemen Matematika, Universitas Negeri Jember, Indonesia

• Abadi Abadi, Departemen Matematika, Universitas Negeri Surabaya, Indonesia

• Fatmawati Fatmawati, Departemen Matematika, Universitas Airlangga, Indonesia

• Isnani Darti, Departemen Matematika, Universitas Brawijaya, Indonesia

• Imam Mukhlash, Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia

• Rinurwati, Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia

• Endah Rokhmati Merdika Putri, Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia

• Soleha, Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia Editorial Assistant

• Helisyah Nur Fadhilah

• Sunarsini Alamat Redaksi:

Departemen Matematika - Fakultas Sains dan Analitika Data Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Sukolilo, Surabaya 60111, Indonesia Phone: +62-31-5943354

Website: http://iptek.its.ac.id/index.php/limits Email: [email protected]

(3)

P-ISSN:1829-605X

iii Ucapan Terima Kasih kepada Reviewer

Dewan Redaksi Limits: Journal of Mathematics and Its Applications menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada reviewer yang telah berkenan menelaah, me-review dan memberikan masukan serta saran untuk pengembangan serta peningkatan kualitas Jurnal Limits Vol 19 No 2 Nopember 2022.

• Soleha, S.Si, M.Si (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Dr. Tahiyatul Asfihani, M.Si (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Dr. Mahmud Yunus, M.Si (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Endah Rokhmati Merdika Putri, Ph.D (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Dr. mont. Kistosil Fahim, M.Si (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Dr. Hariyanto, M.Si (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Subchan, Ph.D (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

• Drs. Daryono Budi Utomo, M.Si (Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia)

(4)

P-ISSN:1829-605X

iv DAFTAR ISI

Dualisasi Radikal Prima Gabungan pada (R,S)-Modul

Dian Ariesta Yuwaningsih, Aan Hendroanto ... 135-143 Barisan Aritmatika Bertingkat dengan Menggunakan Interpolasi Lagrange

Heri Purnawan, Subiono ... 145-154 Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber dengan Model

Non-Markov

Ivander Jeremy, Felivia Kusnadi, Benny Yong ... 155-165 Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan

Pengaruh Fatal Shock

Natasha Maria, Felivia Kusnadi, Farah Kristiani ... 167-182 Homomorfisma Ring Matriks atas Ring Semigrup

Listiana, Ahmad Faisol, Fitriani ... 183-189 Space Time Permutation Scan Statistics untuk Mendeteksi Hotspot Kriminalitas

di Kota Padang, Sumatera Barat

Puteri Bulqis Azhari, Hazmira Yozza, Dodi Devianto ... 191-202 Penerapan Teori Residu dalam Penentuan Nilai Eksak dari Deret Tak Hingga

Yusuf Ramadana, Dwi Fitriani Rosali ... 203-216 Analisis Numerik Aliran Udara pada Rongga Hidung akibat Penyakit Sinusitis

menggunakan Metode Volume Hingga

Mochammad Ulin Nuha, Arif Fatahillah, Susi Setiawani ... 217-227 Kendali Optimal Model Pertumbuhan Mikroalga dalam Chemostat

Wahyuni Ningsih, Henny Purwaningsih, Rofila El Maghfiroh ... 229-240 Pembangkitan Pola Simetri p2mm dari Simulasi Sistem Dinamik

Windi Oli Viera, Mahdhivan Syafwan, Budi Rudianto ... 241-251

(5)

Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936

P-ISSN: 1829-605X

Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 183-189

DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.9790

Homomorfisma Ring Matriks atas Ring Semigrup

Listiana ¹, Ahmad Faisol ²*, Fitriani ³

1, 2, 3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung

Bandar Lampung, Lampung, Indonesia

E-mail: ¹[email protected], *²[email protected], ³[email protected] Diajukan: 22 Juli 2021, Diperbaiki: 27 Juni 2022, Diterima: 7 Nopember 2022

Abstrak

Diberikan sebarang ring 𝑅𝑅 dan semigrup 𝑆𝑆. Ring semigrup 𝑅𝑅[𝑆𝑆] adalah himpunan semua fungsi 𝑓𝑓 dari 𝑆𝑆 ke 𝑅𝑅 dengan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓) berhingga yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang sama pada ring polinomial 𝑅𝑅[𝑋𝑋]. Di sisi lain, ring matriks 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅) adalah himpunan semua matriks atas ring 𝑅𝑅 berukuran 𝑛𝑛×𝑛𝑛 yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Di dalam penelitian ini, didefinisikan ring matriks 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) dan 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan 𝑅𝑅₁,𝑅𝑅₂ ring dan 𝑆𝑆,𝑆𝑆₂ semigrup. Selain itu, didefinisikan pemetaan 𝜏𝜏 dari 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) ke 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan menggunakan homomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆₁ → 𝑆𝑆₂ dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅₁→ 𝑅𝑅₂. Selanjutnya, dibuktikan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring. Lebih lanjut, diberikan syarat cukup agar 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma.

Kata Kunci: ring semigrup, homomorfisma semigrup, homomorfisma ring, matriks atas ring, ring matriks.

Abstract

Let 𝑅𝑅 be a ring, and 𝑆𝑆 be a semigroup. The semigroup ring 𝑅𝑅[𝑆𝑆] is the set of all functions 𝑓𝑓 from 𝑆𝑆 to 𝑅𝑅 with finite 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓), which is completed with the same addition and multiplication operations on the polynomial ring 𝑅𝑅[𝑋𝑋]. On the other hand, the matrix ring 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅) is the set of all matrices on the ring 𝑅𝑅 of size 𝑛𝑛×𝑛𝑛 equipped with addition and matrix multiplication operations. In this research, the matrix rings 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) and 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) are constructed with 𝑅𝑅₁,𝑅𝑅₂ are rings, and 𝑆𝑆,𝑆𝑆₂ semigroups. In addition, a mapping 𝜏𝜏 from 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) to 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) is defined using semigroup homomorphism 𝛿𝛿:𝑆𝑆₁→ 𝑆𝑆₂ and ring homomorphism 𝜇𝜇:𝑅𝑅1 → 𝑅𝑅2. Furthermore, it is proved that 𝜏𝜏 is a ring homomorphism. Moreover, sufficient conditions are given for 𝜏𝜏 to be a monomorphism.

Keywords: semigroup rings, semigroup homomorphisms, ring homomorphisms, a matrix over rings, matrix rings.

1 Pendahuluan

Di dalam [1] telah dijelaskan bahwa matriks adalah susunan objek-objek matematika dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang yang diapit oleh kurung siku atau kurung biasa. Objek-objek matematika ini biasa disebut entri-entri. Jika entri-entri matriks merupakan anggota dari suatu ring, maka matriks tersebut disebut matriks atas ring [2]. Beberapa penelitian terkait matriks atas ring dapat dilihat pada [3-6]. Suatu ring didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma [7]. Contoh ring yang sudah dikenal diantaranya ring polinomial 𝑅𝑅[𝑋𝑋] dan ring deret pangkat 𝑅𝑅[[𝑋𝑋]] [8]. Ring

(6)

184 Homomorfisma Ring Matriks atas Ring Semigrup

polinomial 𝑅𝑅[𝑋𝑋] dapat dipandang sebagai himpunan semua fungsi 𝑓𝑓 dari semigrup ℕ⋃{0} ke ring 𝑅𝑅 dengan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓) = {𝑠𝑠 ∈ ℕ⋃{0}|𝑓𝑓(𝑠𝑠)≠ 0} berhingga yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan fungsi dan pergandaan konvolusi. Selanjutnya, Gilmer [9] memperumum ring polinomial 𝑅𝑅[𝑋𝑋] dengan cara mengeneralisasi semigrup ℕ⋃{0} menjadi sebarang semigrup 𝑆𝑆. Ring ini selanjutnya disebut ring semigrup dan dinotasikan dengan 𝑅𝑅[𝑆𝑆]. Beberapa penelitian terkait ring semigrup dapat dilihat pada [10-12].

Himpunan semua matriks berukuran 𝑛𝑛×𝑛𝑛 atas ring 𝑅𝑅 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅) merupakan suatu ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Ring ini selanjutnya disebut ring matriks. Salah satu konsep penting di dalam struktur ring adalah homomorfisma ring, yaitu suatu pemetaan dari ring ke ring yang mempertahankan operasi biner pada ring-ring tersebut. Di dalam [13], telah dikaji tentang homomorfisma ring matriks 𝜎𝜎 dari 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁) ke 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂) yang didefinisikan oleh 𝜎𝜎��𝑎𝑎_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��= �𝜇𝜇�𝑎𝑎_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�� untuk setiap 𝑎𝑎_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∈ 𝑅𝑅₁ dengan 𝜇𝜇:𝑅𝑅₁ → 𝑅𝑅₂ merupakan homomorfisma ring. Dalam perkembangannya, beberapa penelitian terkait homomorfisma ring matriks dapat dilihat pada [14-16]. Konstruksi homomorfisma ring matriks ini, memberikan motivasi untuk mengkaji homomorfisma ring pada ring matriks atas ring semigrup. Oleh karena itu, pada penelitian ini dikonstruksi ring matriks atas ring semigrup 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) dan 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan 𝑅𝑅₁, 𝑅𝑅₂ adalah ring dan 𝑆𝑆₁, 𝑆𝑆₂ adalah semigrup. Selanjutnya, didefinisikan suatu pemetaan 𝜏𝜏 dari 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) ke 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan menggunakan homomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆1 → 𝑆𝑆2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅1 → 𝑅𝑅2. Kemudian ditunjukkan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring matriks. Selain itu, diberikan syarat perlu dan cukup agar 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma.

2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan di dalam penelitian ini adalah studi literatur berupa buku-buku dan jurnal-jurnal imiah, khususnya terkait teori semigrup, teori ring, teori homomorfisma semigrup, teori homomorfisma ring, teori ring polinomial, teori ring semigrup, teori matriks atas ring, dan teori homomorfisma matriks atas ring.

Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Menentukan ring 𝑅𝑅1 dan 𝑅𝑅2 serta semigrup 𝑆𝑆1 dan 𝑆𝑆2. 2) Mendefinisikan ring semigrup 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] dan 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂].

3) Mendefinisikan ring matriks atas ring semigrup 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) dan 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]).

4) Mengkonstruksi homomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆1→ 𝑆𝑆2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅1 → 𝑅𝑅2. 5) Mendefinisikan pemetaan 𝜏𝜏:𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁])→ 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��=�𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿⁻¹�

(7)

185 Listiana, Ahmad Faisol, Fitriani

untuk setiap 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]).

6) Membuktikan pemetaan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring 7) Menentukan syarat cukup 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma.

3 Hasil dan Pembahasan

Diberikan ring 𝑅𝑅₁ dan 𝑅𝑅₂ serta semigrup 𝑆𝑆₁ dan 𝑆𝑆₂ terhadap operasi penjumlahan, sehingga dapat dikonstruksi ring semigrup 𝑅𝑅1[𝑆𝑆₁] dan 𝑅𝑅2[𝑆𝑆₂], yaitu himpunan

𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] = {𝑓𝑓:𝑆𝑆₁ → 𝑅𝑅₁|𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓) berhingga} (1) dan

𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂] = {𝛼𝛼:𝑆𝑆₂ → 𝑅𝑅₂|𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) berhingga} (2) dengan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓)={𝑠𝑠 ∈𝑆𝑆₁|𝑓𝑓(𝑠𝑠)≠0} dan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼)={𝑡𝑡 ∈𝑆𝑆₂|𝛼𝛼(𝑡𝑡)≠0}, yang dilengkapi operasi penjumlahan fungsi

(𝑓𝑓+𝑔𝑔)(𝑠𝑠) =𝑓𝑓(𝑠𝑠) +𝑔𝑔(𝑠𝑠) dan (𝛼𝛼+𝛽𝛽)(𝑡𝑡) =𝛼𝛼(𝑡𝑡) +𝛽𝛽(𝑡𝑡) (3) dan operasi perkalian fungsi

(𝑓𝑓𝑔𝑔)(𝑠𝑠) =∑𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑠𝑠𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑦𝑦)

𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑆𝑆₁ dan (𝛼𝛼𝛽𝛽)(𝑡𝑡) =∑𝑢𝑢+𝑣𝑣=𝑡𝑡𝑓𝑓(𝑠𝑠)𝑔𝑔(𝑣𝑣)

𝑢𝑢,𝑣𝑣∈𝑆𝑆₂ , (4)

untuk setiap 𝑠𝑠 ∈𝑆𝑆₁,𝑓𝑓,𝑔𝑔 ∈ 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] dan 𝑡𝑡 ∈𝑆𝑆₂,𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂].

Selanjutnya dikonstruksi ring matriks 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) dan 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]), yaitu himpunan semua matriks berukuran 𝑛𝑛×𝑛𝑛atas ring semigrup 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] dan 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]:

𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) =��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑅𝑅1[𝑆𝑆₁];𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛� (5) dan

𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) = ��𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∈ 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂];𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛� (6) yang dilengkapi operasi penjumlahan matriks

�𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖�+�𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� =�𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� dan �𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖�+�𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖�= �𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖 +𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖� (7) dan operasi perkalian matriks

�𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�= �ℎ_{𝑖𝑖𝑖𝑖}� dan �𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��𝛽𝛽_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�=�𝛾𝛾_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�, (8) dengan ℎ_{𝑖𝑖𝑗𝑗} = ∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑗𝑗} dan 𝛾𝛾_{𝑖𝑖𝑗𝑗} = ∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖}𝛽𝛽_{𝑖𝑖𝑗𝑗} , untuk setiap �𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�,�𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�∈𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) dan

�𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖�,�𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖�∈𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]).

Selanjutnya, diberikan homomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆1→ 𝑆𝑆2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅₁ → 𝑅𝑅₂. Sebelum membuktikan hasil utama penelitian ini, diperlukan dua lema berikut.

(8)

Lema 1

Diberikan ring semigrup 𝑅𝑅1[𝑆𝑆₁] dan 𝑅𝑅2[𝑆𝑆₂]. Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆₁ → 𝑆𝑆₂ dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅₁ → 𝑅𝑅₂, maka 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓+𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹= (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹) + (𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿⁻¹) dan 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹ = (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿⁻¹) untuk setiap 𝑓𝑓,𝑔𝑔 ∈ 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁].

Bukti Untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆₂, 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓+𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡) =𝜇𝜇 �(𝑓𝑓+𝑔𝑔)�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��. Berdasarkan operasi penjumlahan (3) didapat 𝜇𝜇 �(𝑓𝑓+𝑔𝑔)�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��=𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)�+𝑔𝑔�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��. Karena 𝜇𝜇 homomorfisma ring, diperoleh 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)�+𝑔𝑔�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��= 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��+𝜇𝜇 �𝑔𝑔�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��. Oleh karena itu, 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓+𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡) = (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝑡𝑡) + (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝑡𝑡). Dengan kata lain terbukti 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓+𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹= (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹) + (𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿⁻¹).

Selanjutnya, untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆2, 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡) =𝜇𝜇 �(𝑓𝑓𝑔𝑔)�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��. Berdasarkan operasi perkalian (4) didapat 𝜇𝜇 �(𝑓𝑓𝑔𝑔)�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��=𝜇𝜇 �∑_{𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿}⁻¹(𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑦𝑦)

𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑆𝑆1

�. Karena 𝜇𝜇 homomorfisma ring, diperoleh

𝜇𝜇�∑_{𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿}⁻¹(𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑦𝑦)�=∑𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)𝜇𝜇�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑦𝑦)�=

∑_{𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿}⁻¹(𝑡𝑡)𝜇𝜇�𝑓𝑓(𝑥𝑥)�𝜇𝜇�𝑔𝑔(𝑦𝑦)�

. Karena 𝛿𝛿 isomorfisma semigrup, terdapat 𝑠𝑠,𝑣𝑣 ∈ 𝑆𝑆₂ sehingga 𝛿𝛿⁻¹(𝑠𝑠) =𝑥𝑥 dan 𝛿𝛿⁻¹(𝑣𝑣) =𝑦𝑦.

Akibatnya,

∑_{𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿}⁻¹(𝑡𝑡)𝜇𝜇�𝑓𝑓(𝑥𝑥)�𝜇𝜇�𝑔𝑔(𝑦𝑦)�

= ∑_𝛿𝛿⁻¹(𝑢𝑢)+𝛿𝛿⁻¹(𝑣𝑣)=𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿⁻¹(𝑠𝑠)�� 𝜇𝜇 �𝑔𝑔�𝛿𝛿⁻¹(𝑣𝑣)��. Oleh karena itu,

𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡) =∑_{𝑢𝑢+𝑣𝑣=𝑡𝑡}(𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝑠𝑠)(𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝑣𝑣) = (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝑡𝑡). Dengan kata lain terbukti 𝜇𝜇 ∘(𝑓𝑓𝑔𝑔)∘ 𝛿𝛿⁻¹= (𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹)(𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿⁻¹). ∎

Selanjutnya, eksistensi 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅2[𝑆𝑆₂] dengan 𝛼𝛼 =𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹, diberikan pada lema berikut.

Lema 2

Diberikan ring semigrup 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] dan 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]. Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆1 → 𝑆𝑆2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅1 → 𝑅𝑅2, maka untuk setiap 𝑓𝑓 ∈ 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] terdapat 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅2[𝑆𝑆₂] dengan 𝛼𝛼= 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹.

Bukti Untuk membuktikan terdapat 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅2[𝑆𝑆₂] dengan 𝛼𝛼=𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹, cukup ditunjukkan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) berhingga. Jika himpunan tak kosong 𝑌𝑌 berhingga, maka jelas sebarang 𝑋𝑋 ⊆ 𝑌𝑌 juga berhingga. Karena 𝑓𝑓 ∈ 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁], jelas 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓) berhingga. Akibatnya, 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓)� juga berhingga karena 𝛿𝛿 merupakan isomorfisma semigrup. Berdasarkan fakta-fakta ini, untuk menunjukkan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) berhingga cukup dengan menunjukkan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼)⊆ 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓)�. Untuk sebarang 𝑡𝑡 ∈

(9)

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼), jelas 𝛼𝛼(𝑡𝑡)≠ 0. Akibatnya, 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)≠ 0. Dengan kata lain, 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)�� ≠0.

Karena 𝜇𝜇 homomorfisma ring, maka didapat 𝑓𝑓�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)� ≠0. Oleh karena itu, terdapat 𝑠𝑠 ∈ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓) sehingga 𝑡𝑡=𝛿𝛿(𝑠𝑠). Dengan kata lain, 𝑡𝑡 ∈ 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓)�. Jadi, terbukti 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) ⊆

𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑓𝑓)� yang berakibat 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) berhingga. ∎

Teorema 3 Misalkan 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁], 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂] adalah ring semigrup, dan 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]), 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) adalah ring matriks atas ring semigrup. Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆1 → 𝑆𝑆2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅1 → 𝑅𝑅2, maka pemetaan 𝜏𝜏:𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁])→ 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��=�𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖�= �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖∘ 𝛿𝛿⁻¹� untuk setiap �𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}� ∈ 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]), merupakan homomorfisma ring.

Bukti Berdasarkan Lema 2, untuk 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛, didapat 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿⁻¹∈ 𝑅𝑅2[𝑆𝑆₂] untuk setiap 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∈ 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]. Oleh karena itu, 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��= �𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖}� =�𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∘ 𝛿𝛿⁻¹� well-defined. Selanjutnya, akan dibuktikan 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖�+�𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��= 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��+𝜏𝜏��𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖�� dan 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��=𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��𝜏𝜏��𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��

untuk setiap �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖�,�𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]).

(i) Dari definisi pemetaan 𝜏𝜏 dan operasi penjumlahan matriks pada (7), didapat 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�+

�𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��=𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��= �𝜇𝜇 ∘ �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 +𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� ∘ 𝛿𝛿⁻¹�. Berdasarkan Lema 1, �𝜇𝜇 ∘ �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖� ∘ 𝛿𝛿⁻¹�= ��𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}∘ 𝛿𝛿⁻¹�+�𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}∘ 𝛿𝛿⁻¹��= �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∘ 𝛿𝛿⁻¹�+�𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∘ 𝛿𝛿⁻¹�=

𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��+𝜏𝜏��𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��. Dengan kata lain terbukti 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�+�𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��=𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��+𝜏𝜏��𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��.

(ii) Berdasarkan definisi pemetaan 𝜏𝜏 dan operasi perkalian matriks pada (8), didapat 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��= 𝜏𝜏��∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑘𝑘}𝑔𝑔_{𝑘𝑘𝑖𝑖}��= �𝜇𝜇 ∘ �∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑘𝑘}𝑔𝑔_{𝑘𝑘𝑖𝑖}� ∘ 𝛿𝛿⁻¹�.

Berdasarkan Lema 1, �𝜇𝜇 ∘ �∑𝑛𝑛 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑘𝑘𝑔𝑔𝑘𝑘𝑖𝑖

𝑘𝑘=1 � ∘ 𝛿𝛿⁻¹�= �∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝜇𝜇 ∘ �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑘𝑘𝑔𝑔𝑘𝑘𝑖𝑖� ∘ 𝛿𝛿⁻¹� =

�∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1(𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑘𝑘}∘ 𝛿𝛿⁻¹)�𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔_{𝑘𝑘𝑖𝑖}∘ 𝛿𝛿⁻¹��= [𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑘𝑘}∘ 𝛿𝛿⁻¹]�𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}∘ 𝛿𝛿⁻¹�=𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��𝜏𝜏��𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��. Dengan kata lain terbukti 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��= 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��𝜏𝜏��𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��.

Dari (i) dan (ii), terbukti pemetaan τ merupakan homomorfisma ring. ∎ Syarat cukup pemetaan 𝜏𝜏:𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁])→ 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂])merupakan monomorfisma, diberikan pada proposisi berikut.

Proposisi 4 Diberikan ring matriks atas ring semigrup 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]), 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]). Jika 𝛿𝛿:𝑆𝑆₁ → 𝑆𝑆₂ isomorfisma dan 𝜇𝜇:𝑅𝑅₁ → 𝑅𝑅₂ monomorfisma, maka pemetaan 𝜏𝜏:𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁])→ 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��=�𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖}� =�𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∘ 𝛿𝛿⁻¹� untuk setiap �𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}� ∈ 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]), merupakan monomorfisma.

(10)

Bukti Akan ditunjukkan 𝜏𝜏 injektif. Jika 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��=𝜏𝜏��𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��, maka �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∘ 𝛿𝛿⁻¹� =

�𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖∘ 𝛿𝛿⁻¹�. Berdasarkan definisi kesamaan dua matriks, diperoleh 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿⁻¹= 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿⁻¹ untuk setiap 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛. Dengan kata lain, untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆2 dan 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛 berlaku 𝜇𝜇 �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��=𝜇𝜇 �𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)��. Karena diketahui 𝜇𝜇 monomorfisma, diperoleh 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)�=𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�𝛿𝛿⁻¹(𝑡𝑡)� untuk setiap 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛. Karena 𝛿𝛿 isomorfisma, berlaku 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}(𝑠𝑠) =𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}(𝑠𝑠) untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆₁ dan 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛. Dengan kata lain, 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} =𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖} untuk setiap 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1, 2,⋯,𝑛𝑛 yang berakibat �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖� =�𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖�. Jadi terbukti jika 𝜏𝜏��𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖��=𝜏𝜏��𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖��, maka �𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖� =

�𝑔𝑔_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�. Dengan kata lain 𝜏𝜏 injektif. Berdasarkan Teorema 3, 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring.

Jadi, terbukti 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma. ∎

4 Simpulan

Dari sebarang ring 𝑅𝑅1 dan 𝑅𝑅2 serta semigrup 𝑆𝑆1 dan 𝑆𝑆2, dapat dikonstruksi ring semigrup 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁] dan 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂] serta ring matriks 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]) dan 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]). Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿:𝑆𝑆₁ → 𝑆𝑆₂ dan homomorfisma ring 𝜇𝜇:𝑅𝑅₁ → 𝑅𝑅₂, maka terdapat 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂] dengan 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿⁻¹, untuk setiap 𝑓𝑓 ∈ 𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]. Hal ini yang mengakibatkan dapat didefinisikannya pemetaan 𝜏𝜏:𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁])→ 𝑀𝑀_𝑛𝑛(𝑅𝑅₂[𝑆𝑆₂]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖}��= �𝛼𝛼_{𝑖𝑖𝑖𝑖}�= �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓_{𝑖𝑖𝑖𝑖} ∘ 𝛿𝛿⁻¹�, untuk setiap

�𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖� ∈ 𝑀𝑀𝑛𝑛(𝑅𝑅₁[𝑆𝑆₁]). Selanjutnya, telah ditunjukkan pemetaan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring.

Selain itu, 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma jika 𝛿𝛿 isomorfisma dan 𝜇𝜇 monomorfisma.

5 Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada para reviewer atas saran yang diberikan untuk kesempurnaan artikel ini. Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat Universitas Lampung atas dukungan dan pendanaan penelitian ini berdasarkan Kontrak Penelitian No: 661/UN 26.21/PN/2022.

6 Daftar Pustaka

[1] H. Anton and C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, 9th Edition.

New Jersey, 2005.

[2] W. C. Brown, Matrices Over Commutative Rings. New York: Marcel Dekker Inc., 1993.

[3] A. Faisol and Fitriani, “Idempotent Matrix over Skew Generalized Power Series Rings,”

J. Fundam. Math. Appl., vol. 5, no. 1, pp. 9–15, 2022.

(11)

[4] S. Rugayah, A. Faisol, and Fitriani, “Matriks atas Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring,” BAREKENG J. Ilmu Mat. dan Terap., vol. 15, no. 1, pp. 157–166, 2021.

[5] A. Faisol and F. Fitriani, “Matriks Bersih Kuat atas Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring,” J. Mat. UNAND, vol. 10, no. 3, pp. 385 – 393, 2021.

[6] T. Petik, “On Characterization of Tripotent Matrices in Triangular Matrix Rings,” Turkish J. Math., vol. 45, no. 5, pp. 1914–1926, 2021.

[7] D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, Third Edit. John Wiley and Sons, Inc., 2004.

[8] T. W. Hungerford, Algebra. New York: Springer-Verlag New York, Inc., 1974.

[9] R. Gilmer, Commutative Semigroup Rings. Chicago and London: The University of Chicago, 1984.

[10] A. Oneto and T. G., “On semigroup rings with decreasing Hilbert function,” J. Algebr., vol. 489, pp. 373–398, 2017.

[11] Y. Ji, “The Strong Nil-Cleanness of Semigroup Rings,” Open Math., vol. 18, no. 1, pp.

1491–1500, 2020.

[12] V. Barucci, R. Fröberg, and M. Şahin, “On Free Resolutions of Some Semigroup Rings,”

J. Pure Appl. Algebr., vol. 218, no. 6, pp. 1107–1116, 2014.

[13] A. Kovacs, “Homomorphisms of Matrix Rings into Matrix Rings,” Pacific J. Math., vol.

49, no. 1, pp. 161–170, 1973.

[14] Y. Du and Y. Wang, “Jordan homomorphisms of upper triangular matrix rings over a prime ring,” Linear Algebra Appl., vol. 458, pp. 197–206, 2014.

[15] A. Faisol and Fitriani, “The Ring Homomorphisms of Matrix Rings over Skew Generalized Power Series Rings,” CAUCHY J. Mat. Murni dan Apl., vol. 7, no. 1, pp.

129–135, 2021.

[16] A. Faisol and Fitriani, “Homomorfisma Modul Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring,” J.

Mat. Integr., vol. 17, no. 2, pp. 119–126, 2021.

(12)