لماک یشهوژپ هلاقم رد خیرات ی تفا 1 / 11 / 11
ذپ خیرات ی شز 11 / 1 / 11
هئارا رد اس ی ت 03 / 6 / 11
یشهوژپ یملع هلجم
رذآ 1011 هرود ، 10 هرامش 1 ص ص 1 - 11
لیلحت شنت
اه ی هبل دازآ رد
کی قرو
یتیزوپماک اب
هدافتسا زا
شور
یباترپ
ینادزی یبتجم
1
،*
یقزر روصنم ،2
یجنل یلیلخ اضردمحم
، 3
دنویموم دازهب
3
1 - هً٘بىه ٖػذٌْه سبٗدبتػا ،
ذٌْػ ٖتعٌص ُبگـًاد ،
ضٗشجت
2 -
ٕدشثسبو ٖضبٗس سبٗدبتػا ،
ضٗشجت ،ذٌْػ ٖتعٌص ُبگـًاد
3 - َٕزـًاد ذؿسا ٖػبٌؿسبو ٖػذٌْه
هً٘بىه ، ضٗشجت ،ذٌْػ ٖتعٌص ُبگـًاد
* ٖتؼپ قٍذٌص ،ضٗشجت 1996
/ 51335 ، m.yazdani@sut.ac.ir
هدیکچ - سد يٗا
ِلبمه ؾٌت بّ
ٕ ي٘ث
ِٗلا
ٕا
ٖؿبً
صا سبتفس
ٖى٘تبتػا قسٍ
،ِٗلاذٌچ صا غٌر داَه
ٖتٗصَپهبو دسَه
ٖثبٗصسا ساشل
ِتفشگ تػا . ث ا ِ يٗ
سَظٌه
ٖٗبزثبر بّ
ٍ ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا
ِث ىاٌَع ش٘غته
ِ٘لٍا سد شظً
ِتفشگ
ُذؿ
ٍ
ٕاشث ل٘لحت ؼه أ
،ِل بث
ُدبفتػا صا ؽشتؼگ ؽٍس ؼه أ
ِل
ساذمه
،ٕصشه هٗ
ُبگتػد تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ٖطخ
ِجتشه لٍا
ِو
ِتؼثاٍ
ِث تهبخض ذٌچ
ِٗلا
ٖه
،ذؿبث لىؿ
ِتفشگ تػا . يٗا ؽٍس سدبل
ِث سد
يتفشگشظً
ؾٌت بّ
ٕ
ٕدَوع
ٍ
ٖضشع
ُدَث
ٍ ىاذ٘ه ؾٌت
ِػ
ٕذعث اس سد
ٖىٗدضً
ِجل داصآ
ِٗلا بّ
دسَه
ٖػسشث ساشل
ٖه ذّد . سد لذه
ِٗاسا
،ُذؿ قسٍ
ِٗلاذٌچ
ٕا شث
ٍٕس
ِ٘ىت
ُبگ
ُدبػ ساشل
ِتؿاد
ٍ تحت
ٕسازگسبث
ٖضشع
ٖه ذؿبث . يٌ٘چوّ
ضشف
ٖه دَؿ
ِو
ٖٗبزثبر بّ
ٍ ؾٌت بّ
ٕ
ٖضشع ي٘ث
ِٗلا
ٕا سد لصف نشتـه
ِٗلا بّ
ِتػَ٘پ ذًا .
ُبگتػد تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد نوبح
بث
ُدبفتػا صا تفبّ٘س شٍٗبً
ٍ سبث ي٘تؼخً ٕاشث صا ُدبفتػا بث
ؽٍس
ٖثبتشپ لح
ُذؿ
ٍ سد
،تٗبًْ
ذٗبتً
ِث تػد
،ُذهآ بث ذٗبتً
دَرَه سد شٗبػ عراشه
ِؼٗبمه
ُذؿ تػا . ذٗبتً
ِث تػد
ُذهآ
،شگًب٘ث تلد ةَخ
ٍ
تعشػ
ٕلابث ؽٍس
ُدبفتػا
ُذؿ سد ل٘لحت ىاذ٘ه ؾٌت
ٖه ذؿبث . يٌ٘چّ
ِحص
ٕسازگ
،ذٗبتً
ىبـً
صا
ٖٗاسبو
ٕلابث ؽٍس
ٕدذع دسَه
ُدبفتػا دساد .
دیلک :نبگشاو قسٍ
،ِٗلاذٌچ لح
،ِت٘ؼ٘تػلاا
ِجل
،داصآ ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
،ٕا ؽٍس
ٖثبتشپ
.
Analysis of free edge stresses in a cross-ply composite plate by applying shooting method
M. Yazdani1*, M. Rezghi2, M.R. Khalili Lanji3, B. Moomivand3
1- Assist. Prof., Mech. Eng., Sahand Univ. of Tech., Tabriz, Iran 2- Assist. Prof., Applied Math., Sahand Univ. of Tech., Tabriz, Iran 3- MSc. Student, Mech. Eng., Sahand Univ. of Tech., Tabriz, Iran
* P.O.B. 51335/1996 Tabriz, Iran. m.yazdani@sut.ac.ir
Abstract- In this paper, interlaminar stresses resulting from static behavior of laminated plates, which were made from composite materials, were evaluated. To this end, out-of-plane stresses and displacements were considered as a primary variable. In addition, for the problem analysis, the boundary value problem method was expanded in order to form a first-order linear differential equations system which depended on the laminate thickness. This method could consider normal and transverse stresses and investigates a three-dimensional stress field near the free edge of the layers. In the proposed model, a laminated plate was placed on a simply supported boundary condition and under transverse loading.
It was also assumed that the interlaminar transverse stresses, and displacements were continuous in layers' interfaces.
The governing differential equations system was solved using Navier's approach and for the first time by appling shooting method and, finally, the obtained results were compared with the results of other references. The results indicated good accuracy and high speed of the method used in analyzing stress field.
Keywords:Laminated Plate, Elasticity Solution, Free Edge, Out-of-Plane Stresses, Shooting Method.
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
1 - همدقم
داَه
ٖتٗصَپهبو
ِث تلع يتؿاد
ٖصاَخ ىَچ تجؼً
مبىحتػا
ِث ىصٍ
،لابث شوع
ٖگتؼخ
،دبٗص تهٍبمه
ِث
ٖگدسَخ
ٍ
ؾٌواٍ
ٕبّ
ٖٗب٘و٘ؿ
ِث سَط
ٖع٘ػٍ
سد عٗبٌص
،ٖٗاَّ
ٖٗبٗسد
ٍ
ٕصبػٍسدَخ دسَه
ُدبفتػا ساشل
ٖه ذًش٘گ . بث دَرٍ
ٕبٗاضه شور
ُذؿ
ٕاشث داَه
،ٖتٗصَپهبو
ُدبفتػا صا بًْآ تلاىـه فبخ
دَخ
اس سد
ٖپ دساد . صا
ِلور تلاىـه
ٖػبػا سد
ُدبفتػا صا داَه
ٖتٗصَپهبو
ِٗلا
،ٕا دَرٍ
ِٗلا
ٕصشه سد فاشطا صشه
ُصبػ
ٕبّ
ٖتٗصَپهبو تػا
ِو سد يٗا
ٖحاًَ
ىاذ٘ه ؾٌت
ِث سَط
ٖلو
ِػ
ٕذعث
ُدَث
ٍ سبتفس سب٘ؼث
ُذ٘چ٘پ
ٕا صا دَخ ىبـً
ٖه ذّد .
تبعلبطه مبزًا
ُذؿ ىبـً
ُذٌّد يٗا ت٘علاٍ
تػا
ِو
ٕسَئت
ٕبّ
ُدبػ ش٘ظً
ٕسَئت ه٘ػلاو
ِٗلا
ٕا سدبل
ِث
ؾ٘پ
ٌٖ٘ث ت٘عضٍ
ُذ٘چ٘پ ؾٌت سد يٗا
ٖحاًَ
ذٌتؼً٘
ٍ ل٘لحت
ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا سد
ِٗلا
ٕصشه ذٌهصبً٘
ٕسَئت
ٕبّ
لهبو
ٕشت تػا .
ي٘تؼخً
لح
ٖجٗشمت
ٕاشث ؾٌت بّ
ٕ ي٘ث
ِٗلا
ٕا طػَت
ٖؿبٗبّ
ٍ
ٕاشث
ِجػبحه ؾٌت
بّ
ٕ
ٖؿشث ي٘ث
ِٗلا
ٕا سد
قسٍ
ٕبّ
ِػ
ِٗلا
ٕا ذهبعته ىسبمته تحت ؾـو
ٖلَط
ِئاسا
،ذؿ
ِو سد ىآ شّ
ِٗلا
ِث تسَص هٗ
ىبولا قسٍ
ضشف
ُذؿ
تػا
= 1 .<
غپػ لح
ٖجٗشمت
ٕاشث قسٍ
ٕبّ
ٖتٗصَپهبو
ِو
ضشع دٍذحه ذًساد طػَت ىَؼًٍا
ٍ
َپبپ
ِئاسا ذؿ . سد يٗا
،ك٘محت صا ضشف
ٕبّ
ُدبػ
ُذٌٌو ذًٌبه شفص ىدَث ؾٌت ي٘ث
ِٗلا
ٕا لبهشً
ضً٘
ُدبفتػا
ُذؿ
= تػا 2
<
. غپٗبپ
ٍ
ًَبگبپ ؽٍس
ل٘لحت
ِػ
ٕذعث اس
ِث سَظٌه دسٍآشث
ٓصَح ؾٌت
ِؿَگ
ٕبّ
داصآ
سد
ًَِوً
ٕبّ
ىسبمته تحت ؾـو
ٕسَحه اس ؽشتؼگ ذًداد
= 3
، 4
<
.
ٌٖتٍٗ
ٍ
،ىبػ
ٕسَئت تبحفص ؽشتؼگ
ٔتفبٗ
دٍذحهبً
اس
ٕاشث تجح ؾٌت بّ
ٕ ي٘ث
ِٗلا
ٕا
ِث سبو
ُدشث ذًا
= 5
<،
سد
ٖلبح
ِو
گًبت
ٍ
َٕل
ٕسَئت
ٔٗلا
ٕصشه اس
ٕاشث لح ذًذٗضگشث . سد تٗبًْ
ًَبگبپ ؽشتؼگ
ِتفبٗ
ٕسَئت
ٌٖتٍٗ
ٍ ىبػ اس بث
ٖىٗ
ىدشو
ٕبّش٘غته
ٖلصا
ِث سبو دشث
= 6 .<
گًاٍ
ٍ يوػاشو ؽٍس
ىبولا
دٍذحه
ِػ
ٕذعث اس
ٕاشث جحث شث
ٍٕس لٗبؼه
ِؿَگ
ٕبّ
داصآ
ؽشتؼگ ذًداد
ِو هٗ
ىاذ٘ه ك٘لد
ِػ
ٕذعث ؾٌت سد هٗ
ًَٔوً
ِٗلا
ٖٗا بث
ِث
ٕش٘گسبو ؾه
ٕذٌث
ُذؿضٗس
ٍ لٗبوته
ِث
ِؿَگ داصآ
ِث تػد ذهآ
= 7
<
َؼّ.
ٍ چٍَٗواشّ
قسٍ
ِٗلاذٌچ
ٕا
اس
ِث
ٍد
ِ٘حبً
ٖلخاد
ٍ
ِٗلا
ٕصشه ن٘ؼمت ذًدشو
ٍ بث
ُدبفتػا صا
ؽٍس تبؿبـتغا
ِجتشه
،شفص شحا
ِجل داصآ سد قسٍ
ٕبّ
ٍِٗاص ساد ىسبمته
اس
ٖػسشث ذًدشو
= 8
<
.
سد تبم٘محت
ٕشگٗد ضً٘
گًاٍ
ٍ
َٕچ بث
ُدبفتػا صا
ِت٘ؼ٘تػلاا دشگًبؼوّبً
ذٌتؼًاَت
ِجتشه
ٖگٌ٘ىت اس سد
ِجل
ٕبّ
داصآ قسٍ
ٕبّ
ٖتٗصَپهبو
ِجػبحه ذٌٗبوً
.
= 9 .<
َلغَپبػبو
ٍ
غ٘گلا شث
ِٗبپ لصا
ٕطشًا نوته للاذح
ٍ ؽٍس ىصاَت
ٍٖٗشً٘
ٖؿٍس
ٕاشث
ٖػسشث
ٕسازگسبث
ٕبّ
ٕسَحه سد قسٍ
ٕبّ
ىسبمته
ِئاسا ذًداد
= 10 .<
سد
ِهادا صس
ٍ چٍَٗواشّ
ؽٍس
ِث سبو
ِتفشگ
ُذؿ طػَت يٗا ىبممحه اس بث ىدٍضفا
ٖتاسبجع
ِث ىاذ٘ه ؾٌت
دَجْث ذًداد
= 11 .<
ي٘ٗ
شث عبػا عثاَت ؾٌت
،ٖىؼتٌ٘خل ؽٍس
ُدبػ
ٍ
ٕذهآسبو اس
ٕاشث
ِجػبحه ؾٌت بّ
ٕ
ِجل
ٕا سد قسٍ
ٕبّ
ذٌلث بث
ِٗلا
ٌٖ٘چ ىسبمته ىصاَته ذهبعته بٗ
ٍِٗاص
ٕا تحت سبث
ٖتساشح بٗ
ٖىً٘بىه
ِئاسا
= دشو 12
<
. شىث هٗ
ٕسَئت
ِجتشه
ٕلابث
ذٗذر
ِث سَظٌه ي٘وخت ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا دبٌْـ٘پ دشو .
ٍا
ِفلؤه
ٖٗبزثبر سد
تْر
ٕبٌْپ
ِحفص اس
ٖعثبت
ٖػٌَ٘ؼو
ٍ
ٖٗبزثبر سد
تْر تهبخض اس
ٖعثبت
ٖػٌَ٘ػ سد
شظً
تفشگ
= 13
<
. ي٘ل
ٖؿٍس اس
ِو
َلغَپبػبو
ٕاشث قسٍ
ٕبّ
ىسبمته
ِث سبو
ُدشث
،دَث ؽشتؼگ داد
ٍ بث
ُدبفتػا صا ىآ
ِث ل٘لحت ؾٌت بّ
ٕ
ي٘ث
ِٗلا
ٕا سد قسٍ
ٕبّ
ىسبمتهبً
تخادشپ . ذٗبتً
يٗا ك٘محت
ىبـً
ٖه ذّد
ِو ىاذ٘ه ؾٌت سد قسٍ
ٕبّ
ىسبمتهبً
ِث تتاشه صا
قسٍ
ٕبّ
ىسبمته
ُذ٘چ٘پ شت تػا
= 14 ضٌ٘ثٍس .<
ٍ
ٕدس هٗ
لذه
ٖلو -
ٖعضَه
ٕاشث
ِجػبحه ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا دبٌْـ٘پ
ذًداد . سد يٗا
،لذه
ِث سَظٌه ؾّبو نزح تبجػبحه صا
هٗ
ىاذ٘ه
ٖٗبزثبر شث
ٕبٌجه
ٕبْٗسَئت هت
ِٗلا لدبعه
ٕاشث
ٖحاًَ
ًٍٖسد
ِحفص
ٍ صا هٗ
ىاذ٘ه
ٖٗبزثبر
ِٗلا
ٕا
ٕاشث
ٖحاًَ
ٕصشه
ُدبفتػا ذًدَوً
= 15
<
.
َچ
ٍ ن٘و بث
ُدبفتػا صا هٗ
ؽٍس ساشىت
ُذًَؿ شث عبػا
عثاَت ؾٌت
ٖىؼتٌ٘خل
ٍ يٌ٘چوّ
لصا سبو
ٕصبزه
ٍ ؽٍس
ن٘وعت
ِتفبٗ
چٍٍٗشتًبو
ِث
ٖػسشث ؾٌت لبهشً
ي٘ث
ِٗلا
ٕا سد
تسٍبزه
ِجل
ٕبّ
داصآ هٗ
قسٍ
ٖتٗصَپهبو ىسبمته
ذهبعته تحت
ٕسازگسبث
ٖىً٘بىه
ٍ بٗ
ٖتساشح تخاٌَىٗ
ذٌتخادشپ
= 16
<
.
ًٖبْط
ٍ ش٘خً
سد
ِعَوزه
،ٖتبم٘محت بث
ُدبفتػا صا
ٕسَئت
ِٗلا ىَگ
ٕدس
ِث ل٘لحت ىاذ٘ه ؾٌت سد
ٖىٗدضً
ِجل
ٕبّ
قسٍ
ٕبّ
توشه
ِتخادشپ ذًا . يٗا
ٖػسشث لهبؿ قسٍ
ٕبّ
ذهبعته
مبع تحت
ٕسازگسبث
ٕسَحه
،تخاٌَىٗ
عٗصَت
ٖٗبهد
ٍ يٌ٘چوّ
ٕسازگسبث
ٖجًبر
ٖه دَؿ
= . 17 - 19 .<
ش٘خً
ٍ
ٖهاشْث سد
ٖػسشث
ؾٌت بّ
ٕ ي٘ث
ِٗلا
ٕا قسٍ
ٕبّ
ٍِٗاص ساد ىسبمتهدبپ تحت
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
لیلحت شنت یبه هبل دازآ رد کی قرو یتیزوپمبک بب
. . . ینادسی یبتجم
ربکمه و نا
ٕسازگسبث
ٕسَحه
ٍ بٗ
،ٖـچ٘پ
ٕسَئت ش٘٘غت لىؿ
ٖؿشث
ِجتشه
لٍا
ٍ ؽٍس
ِٗلا ىَگ
ٕدس اس
ِث سبو ذًدشث
= . 20 .<
ؽٍس سد ٖٗبّ
ىبهص ٍ تلاور داذعت ،تػا ُذؿ ِئاسا ٕدذع لح ؽٍس ِث ِو .تػا ُدَث دبٗص ذٗبتً ٖٗاشگوّ
ىبهص لح ىدَث شث ٕدذع ٕبّ
ةاَر ٖٗاشگوّ ٕاشث دبٗص تلاور داذعت ٍ ُذؿ ِئاسا ةبزٗا ،بّ
ٖه ؽٍس صا ِو ذٌو
ٖه ل٘لمت اس لح ىبهص تذه ِو ٖٗبّ
ذٌّد
،
ُدبفتػا دَؿ . ؽٍس ِث لح سد سد سبث ي٘تؼخً ٕاشث ِو ٖثبتشپ
ٖه ِئاسا ِلبمه يٗا
َؿ داذعت ٍ لابث سب٘ؼث ٖٗاشگوّ تعشػ د
ٖه دٍذحه صبً٘ دسَه تلاور .ذؿبث
2 - لومرف یدنب یروئت
ِث سَظٌه طؼث هٗ
ِٗشظً
ِٗلا
ٕا
ِو سدبل
ِث ي٘٘عت
ًبتجؼً
ك٘لد
ٖهبوت ه ؤ
ِفل
ٕبّ
ؾٌت
،ذؿبث مصلا تػا ىاذ٘ه
ٖٗبزثبر ف٘صَت
ٖتػسد صا ه ؤ
ِفل
ٕبّ
ؾًشو اس نّاشف دسٍآ .
ِث
ٖتسبجع سد لو
،تهبخض ؾًشو
ٕبّ
ىٍسد
ِحفص
ٕا
ِتػَ٘پ
ٍ ؾًشو
ٕبّ
ٖضشع
ِتػَ٘پبً
ذؿبث .
سد لذه
ٕصبػ شحا
ِ٘حبً
،ٕصشه سد شظً
يتفشگ ؾًشو
ٕدَوع
ٖضشع
ِث
ٍد ل٘لد نْه تػا : تؼخً
يٗا
ِو ؾٌت
ٕدَوع
ٖضشع سد يٗا
ِ٘حبً
صا ت٘وّا
ٖصبخ سادسَخشث
،تػا اشٗص
ه ؤ
ِفل
ٕا صا ىاذ٘ه ؾٌت تػ
ِو
ًبو٘متؼه شث
فزح
ِٗلا
ٕذٌث شحا
دساد . مٍد يٗا
ِو لذه
ٖٗبّ
ِو ؾًشو
ٕدَوع
ٖضشع اس سد شظً
ٖوً
ذًش٘گ سدبل
ِث
ٕبضسا طشؿ
ٕصشه حطػ داصآ
ٕاشث ه ؤ
ِفل
ٕبّ
ؾٌت
ٖؿشث
ٖضشع ذٌتؼً٘
.
ِث ي٘وّ
تلع سد يٗا سبتؿًَ
صا
ِٗشظً
ِت٘ؼ٘تػلاا
ِػ
ٕذعث
ُدبفتػا
ٖه دَؿ فذّ . صا يٗا
ؾٍّظپ
ِجػبحه ؾٌت بّ
ٕ ي٘ث
ِٗلا
ٕا سد هٗ
ِحفص توشه
ٍ
بث ىبهذ٘چ ىسبمته
تحت
ٕسازگسبث
ٖجًبر تػا . لَط
ِحفص
دسَه شظً
،a
ٕبٌْپ ىآ
ٍ b تهبخض ىآ تػا h . ضشف شث يٗا
تػا
ٖٗبزثبر بّ
هچَو
ٍ سد
ٕبتػاس تهبخض
ِٗلاذٌچ
ِتػَ٘پ ذًا . يٌ٘چوّ
ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا سد لصف نشتـه
ِٗلا بّ
ٍ سد
ٕبتػاس تهبخض
ِتػَ٘پ ذًا ( لىؿ 1 .)
2 - 1 - طباور هیبپ
ِعػَت تلادبعه
ًٖاذ٘ه
ِت٘ؼ٘تػلاا بث
ه٘تبوٌ٘ػ
ِٗشظً
ش٘٘غت
لىؿ
ٕبّ
هچَو صبغآ
ٖه دَؿ . يٗا نّ٘بفه
ٖىٗض٘ف لهبؿ ؾؿ
ِطثاس ؾًشو - ىبىهش٘٘غت تػا
. طثاٍس ه٘تبوٌ٘ػ سد
نتؼ٘ػ
تبصتخه
ٖتسبود
ِث
ِطثاس لىؿ (
1
ٖه ) ذؿبث . لکش
1
ِػذٌّ
ِحفص توشه
ٍ
ُبگتػد تبصتخه علاٍ
شث ىآ
( 1 y )
w z v z
w
x w z u y
v
x v y u x
u
yz z
xz y
xy x
, , ,
ِو
، u
ٍv
ِث w ت٘تشت
ِفلؤه
ٕبّ
ٖٗبزثبر سد تبْر
، x
ٍy
ٖهz ذؿبث سبتفس.
ٖطخ داَه سد
ُدٍذحه ىبؼـو عبػاشث ىًَبل
نَّ
ن٘وعت
ِتفبٗ
ىب٘ث
ٖه ( ِطثاس( دَؿ 2
)) :
( 2
C )
ِطثاس ( 2 )
ٕاشث هت
ِٗلا ماk صا
ِٗلاذٌچ
ٖتٗصَپهبو سد
نتؼ٘ػ تبصتخه
ٖعضَه
ِث تسَص ( ِطثاس 3 ) فٗشعت
ٖه .دَؿ
11 12 13 14 15 16 1
1 12 22 23 24 25 26 2
2
13 23 33 34 35 36 3
3
12 14 24 34 44 45 46 12
13
15 25 35 45 55 56 13
23
16 26 36 46 56 66 23
k k
k C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
( 3 ) يٗاشثبٌث غٗشتبه
ٖتفػ لٗذجت
ِتفبٗ
سد نتؼ٘ػ تبصتخه
ٕشػاشػ شثاشث تػا ث ب ( ِطثاس 4 تػا )
= 23
<.
( 4
)
66 65
56 55 44 43 42 41
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
] [
Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q
ِچًبٌچ
ِٗلاذٌچ ذهبعته ذؿبث
ُبگًآ
ِطثاس ؾٌت ـ ؾًشو
ىآ صا ِٗلا شّ شث نوبح
ِث تسَص ( ِلدبعه 5 )
ُدبػ
ٖه دَؿ .
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
2 - 2 - لدبعت تلادبعم
تلادبعه اس لدبعت
ٖه ىاَت بث
ُدبفتػا صا هٗ
ؾخثشٗص
ُاَخلد
دٍذحه بٗ
هٗ
ِ٘حبً
ٖل٘ؼًاشفٗد فبخ
بث
ٕبّصشه كجطٌه شث
تبحفص
،تبصتخه ( ِطثاس(
6 )
ِث تػد دسٍآ .
11 12 13
12 22 23
13 23 33
44 55
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
k k k x
x y
y z z
xy xy
xz
xz yz
yz
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
Q Q
Q
( 5 )
( 6 ) 0
0 0
x yx zx
x
xy y zy
y
xz yz z
z
x y z F
x y z F
x y z F
2 - 3 - تلادبعم مکبح
سد يٗا توؼل تلادبعه
،ل٘ؼًاشفٗد نوبح
شث هٗ
ِٗلاذٌچ
ذهبعته
ِٗاسا
ٖه دَؿ . ؽٍس دسَه
ُدبفتػا سد ي٘٘عت
،تلادبعه
ُدبفتػا صا
ٖٗبزثبر بّ
ٍ ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا
ِث ىاٌَع
ٕبّش٘غته
ِ٘لٍا
ٖه ذؿبث . سد ؽٍس شور
ُذؿ
ِفلؤه
ٕبّ
ٖٗبزثبر
ٍ ؾٌت بّ
ٕ ىٍشث
ِحفص
ٕا بث
ُدبفتػا صا طثاٍس ( 1 ) بت ( 6 ) شث
تؼح تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ُسبپ
ٕا تجؼً
ِث
ِصتخه تهبخض
ىب٘ث
ٖه ذًَؿ . غپ صا مبزًا تبجػبحه طَثشه
ٍ
ُدبػ
،ىدشو
تلادبعه
ِ٘لٍا ( تلادبعه ِث 7
ٖه لٗذجت )
َؿ .ذً
2 - 4 - لح تلادبعم
ضشف تلادبعه لح ٕاشث
ٖه دَؿ طٗاشؿ
ِ٘ىت
ّٖبگ
ٕاشث
ٖهبوت
سبْچ
ِجل
ًٖبتحت لىؿ ذًٌبه 2
ِث تسَص
ِ٘ىت
ُبگ
ُدبػ
ُدَث
ٍ
حطػ
ًٖبلَف
ِٗلاذٌچ تحت
ٕسازگسبث
ٖضشع
ٖه ذؿبث .
لکش 2 طٗاشؿ
ِ٘ىت
ّٖبگ (
7 )
z xz yz
z
y z yz
x z xz
z yz xz
y F x
z y F Q Q
y v Q
Q Q Q
x Q v
y x
u Q
Q Q Q
z Q
x F Q
Q
y x
v Q
Q Q Q
y Q Q u
x u Q
Q Q Q
z
y Q v x Q u Q
z w
y w Q
Q Q z v
x w Q
Q Q z u
33 23
2 2
33 32 23 2 22
2 44
2
33 31 23 44 21 33 13
2
33 32 13 44 2 12
2 44
2 2
33 31 13 11
32 31
33 55 66
55 55 66
66
1
( 8 )
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
, , z cosm sin
a
, , z sinm cos
a
, , z sinm sin
a
, , z cosm sin
a
, , z sinm cos
a
mn m n
mn m n
mn m n
xz xz mn
m n
yz yz mn
m n
u x y z U x n y
b
v x y z V x n y
b
w x y z W x n y
b
x y z x n y
b
x y z x n y
b
1 1
, , z sinm sin
a 1,3,5,7,...
z z mn
m n
x y z x n y
b m, n
ٕاشث لح تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ِث تػد
،ُذهآ صا ؽٍس شٍٗبً
ُشْث
ِتفشگ
ٍ
ٖٗبزثبر بّ
ٍ ؾٌت
ٕبّ
ىٍشث
ِحفص
ٕا
ِث
ًَِگ
ٕا سد
شظً
ِتفشگ
ٖه ذًَؿ
ِو طٗاشؿ
ٕصشه اس بضسا .ذٌٗبوً
بث
ٕسازگٗبر طثاٍس
( 8 ) سد تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ُسبپ
ٕا ( 7 )،
هٗ
ُبگتػد تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ٖطخ
ِجتشه لٍا شث تؼح
ِصتخه تهبخض
ِث ( تلادبعه تسَص 9
) لصبح
ٖه
َؿ د .
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
لیلحت شنت یبه هبل دازآ رد کی قرو یتیزوپمبک بب
. . . ینادسی یبتجم
ربکمه و نا
66 66 55
55 66 55
31 33
32
2 13 31
11 33 2
44 12
1
mn
xzmn mn
mn
yzmn mn
mn
zmn mn
mn
xzmn
mn
dU z Q m
z W z
dz Q Q a
dV z Q n
z W z
dz Q Q b
dW z m
z Q U z
dz Q a
Q n V z
b
d z Q Q m
dz Q Q a
Q n U z Q
b
13 32 44
33 2
13 33
2 23 31
21 44
33 2 23 32
22 33 2
23 44
33
mn zmn x
yzmn
mn
mn zmn
Q Q Q Q Q
mn m
V z z F
ab Q a
d z Q Q mn
Q Q
dz Q ab
Q Q n
U z Q
Q b
Q
m n
Q V z z F
a Q b
y
zmn
xzmn yzmn z
d z m n
z z F
dz a b
( 9 ) ىبٌچ
ِچ
ُذّبـه ذؿ
ِث هوو ؽٍس
ِٗاسا
،ُذؿ تلادبعه
نوبح
ِو
ًبتار هٗ
ُبگتػد تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ُسبپ
ٕا
،تػا
ِث
هٗ
ُبگتػد تلادبعه ل٘ؼًاشفٗد
ٖطخ
ِجتشه لٍا لذجه تـگ .
تلادبعه ( 9 ) لهبؿ لٗبؼه ساذمه
ٕصشه
ٍد
ِطمً
ٕا
،ُدَث
ِو
ذٗبث
ٕاشث لح بًْآ صا ؽٍس
ٕبّ
مَػشه
ٕدذع هوو تفشگ . بها
بث
ِرَت
ِث طٗاشؿ
ٕصشه سد
ٕبتػاس
،تهبخض لح تلادبعه
ِطَثشه
ذٌهصبً٘
ُدبفتػا صا ؽٍس
ٖٗبّ
فبخ
ٖه ذؿبث . ث ا ِ يٗ
سَظٌه
ٕاشث
لح يٗا تلادبعه صا ؽٍس
ٖثبتشپ
ُشْث
ِتفشگ
ٖه دَؿ .
عبػا سبو يٗا ؽٍس شث يٗا لصا ساَتػا تػا
ِو ؼه أ
ِل صا
تلبح
ٕصشه دسبخ
ٍ
ِث تسَص
ِ٘لٍا سد
ٖه ذٗآ . غپػ خػبپ
ؼه أ
ِل بث
ُدبفتػا صا
ٖىٗ
ؽٍس
ٕبّ
،لَوعه ش٘ظً
گًاس - بتَو
ِث
تػد
ٖه ذٗآ . سد يٗا ؼه أ
ِل
ٕاشث تلادبعه ؾٌت
بّ
ٕ دسبخ صا
ِحفص سد
ٕبتػاس تهبخض ؾؿ طشؿ
ٕصشه دَرَه تػا ِو
ِطثاس ِث ِعراشه بث 8
حطػ سد ؾٌت ىٍذث حطػ صا ذٌتسبجع
ًٖبتحت ًٖبلَف حطػ سد ٕسبـف لبهشً ؾٌت طمف ٍ سد
ٖلبح
ِو
ٕاشث
ِػ
ِلدبعه
ٖٗبزثبر چّ٘
طشؿ
ٕصشه سد
ٕبتػاس تهبخض
ِئاسا ً ـ
ُذ تػا . ؽٍس
ٖثبتشپ ذٗبث
ِث
َٕحً
ُدبفتػا
َؿ د بت بث
ُشْث
ٕش٘گ صا ؾؿ طشؿ
ٕصشه
ٕاشث طمف
ِػ
ِلدبعه ؾٌت
، مبوت
تلادبعه
،لدبعت ؾٌت
ٍ ؾًشو بضسا دَؿ . يٗاشثبٌث لح ؼه أ
ِل بث
ضشف
ِػ ؾٌت دسبخ صا
ِحفص صا حطػ
ٖرسبخ
ِٗلا
ًٖبتحت
ِو
ذلبف ؾٌت تػا صبغآ
ُذؿ
ٍ مذل
ِث مذل
ِث صشه لابث نتخ
ٖه
؛دَؿ سد
ٖتسَص
ِو ذٗبتً
ِػ
ِلدبعه ؾٌت دسبخ صا
ِحفص بث
طٗاشؿ
ِ٘لٍا فلاتخا
ِتؿاد
،ذؿبث
ِلحشه
ٕذعث بث ح٘حصت ضشف
ِ٘لٍا
ٍ مبزًا مبوت لحاشه لجل
ِهادا
ٖه ذثبٗ
بت سد تٗبًْ
ؾٌت بّ
ٕ ث ِ تػد
ُذهآ صا
،لح
ِث ؾٌت بّ
ٕ دَرَه سد حطػ
ًٖبلَف
ِث
ُصاذًا دسَه شظً
هٗدضً
َؿ د .
2 - 5 - شنت به هحفص نورد ی یا
بث لح تلادبعه ؾخث لجل
،
ِفلؤه
ٕبّ
ٖٗبزثبر ي٘٘عت
ٖه
َؿ ذً
.
ِهادا سد بث
ُدبفتػا صا طثاٍس ؾًشو شث تؼح
ٖٗبزثبر
ٍ
يٌ٘چوّ
ؾٌت شث تؼح ؾًشو
ٖه ىاَت ؾٌت بّ
ٕ ىٍسد
ِحفص
ٕا اس ( طثاٍس تسَص ِث 10
) داشختػا دشو
.
3 - جیبتن یددع و جحب
سد يٗا ؾخث ذٗبتً
ٕدذع لصبح صا لح
،ٖل٘لحت
ٕاشث قسٍ
ىبـً
ُداد
ُذؿ سد لىؿ 1 ؾٗبوً
ُداد ذّاَخ ذؿ . ذٗبتً
ٖل٘لحت لصبح صا يٗا
ِلبمه سد
ٍد تلبح قسٍ
ىبؼوّ
دشگ
ٍ قسٍ
ىبؼوّبً
دشگ
ٖػسشث
ُذؿ
ٍ ذٗبتً
لصبح صا بًْآ بث عراشه
ِؼٗبمه
ُذؿ .تػا
ِتىً
ضئبح ت٘وّا سد يٗا توؼل
ِعلبطه
ٖٗاشگوّ
خػبپ بّ
ٖه ذؿبث . سد لبخه
ٖٗبّ
ِو
ِٗاسا
ٖه
،ذًَؿ
ِظحلاه
ٖه دَؿ
ِو
ٖٗاشگوّ
ةاَر بّ
ِث
ٕاصا داذعت
ٕدٍذحه صا
تلاور تسَص
ٖه
،دشٗزپ
ِو يٗا شها تللاد شث تلد
ٍ
ٖٗاسبو ؽٍس
ٕدذع دسَه
ُدبفتػا دساد .
3 - 1 - هلأسم 1
هٗ
قسٍ
يگوّ
ٍ ىبؼوّ
دشگ بث طٗاشؿ
ِ٘ىت
ّٖبگ ىبـً
ُداد
ُذؿ سد لىؿ 2
، تحت شحا
ٕسازگسبث تخاٌَىٗ
شث
ٍٕس حطػ
ًٖبلَف ساشل دساد . يٗا قسٍ
ٕاساد لٍذه ه٘تػلاا 1GPa
ٍE=
تجؼً
ىَػاَپ 2 / 0 بت 4 / 0 بث مبگ 1 / 0
ٖه ذؿبث .
ٖٗبزثبر
ٖضشع
لبهشً
ٍ ؾٌت
ٖؿشث
ٖضشع لبهشً
ٕاشث يٗا قسٍ
بث
ُدبفتػا صا
لح ؽٍس
ٖثبتشپ سد لٍذر 1 ؾٗبوً
ُداد
ُذؿ تػا
ٍ يٗا
ذٗبتً
بث لح
ِت٘ؼ٘تػلاا
َئاس
= 22
<
ٍ لح
ِوً٘
ٖل٘لحت تًبو
= 23
ِؼٗبمه <
ُذؿ تػا . يٌ٘چوّ
ٖٗاشگوّ
ةاَر بّ
ٕاشث يٗا
عٗصَت سبث بٌْت
ِث
ٕاصا 25
ِلور تسَص
ِتفشٗزپ تػا .
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
ت٘وو
ٕبّ
ُذؿ ذعث ٖث سد
يٗا لبخه
ِث تسَص ( ِطثاس 11 )
ٖه .ذٌؿبث
( 10 )
13 31 11
33
1 1
13 32 12
1 1 33
13 33
1 1
23 31 21
33
, ,
m m
z sin sin
a a
z
sinm sin
a
z sinm sin a , ,
x
mn
m n
mn
m n
zmn
m n
y
mn
x y z Q Q Q Q
U x n y
b
Q Q n
Q V
Q b
Q
x n y
b Q
x n y
b x y z Q Q Q
Q U
1 1
23 32 22
1 1 33
23 33
1 1
44 1 1
44
m m
z sin sin
a a
z sinm sin
a
z sinm sin a
, , z
cosm cos a
z m a
m n
mn
m n
zmn
m n
xy mn
m n
mn
x n y
b
Q Q Q V
Q
Q
n n
x y
b b Q
x n y
b x y z Q U n
b
x n y Q
b V
1 1
cosm cos
m n a
x n y
b
( 11 )
o
o p
hp
w wG xz xz
3 - 2 - سم أ هل 2
سد يٗا لبخه هٗ
ِٗلاذٌچ ذهبعته لىـته صا
ِػ
ِٗلا ىسبمته
( 0 / 90 / 0 ) بث طٗاشؿ
ِ٘ىت
ّٖبگ ىبـً
ُداد
ُذؿ سد لىؿ 3
ٍ بث
ٕسازگسبث
ٖػٌَ٘ػ
ٍد
ِفشط شث
ٍٕس حطػ
ًٖبلَف ش٘ظً
لىؿ 4
دسَه
ٖػسشث ساشل
ٖه دش٘گ . مبوت
ِٗلا بّ
ٕاساد تهبخض ىبؼىٗ
ُدَث
ٍ
ِث تسَص يگوّ
ٍ ىبؼوّبً
دشگ ضشف
ُذؿ تػا . سد يٗا
لبخه
ٖٗاشگوّ
خػبپ بّ
سب٘ؼث عٗشػ
ُدَث
ٍ بٌْت
ِث
ٕاصا هٗ
ِلور ذٗبتً
اشگوّ
ُذؿ ذًا . فاَخ
ٖىً٘بىه
ٍ ت٘وو
ٕبّ
لبهشً
ُذؿ
ِث حشؿ لٍذر 2 تػا
ٍ ذٗبتً
يٗا لبخه سد لٍذر 3
ٍ
يٌ٘چوّ
لىؿ ٕبّ
5 - بت فلا 5 - ث ىبـً
ُداد
ُذؿ تػا . لکش
3 لبخه سد ِٗلا ىبهذ٘چ 2
لکش 4
ًٖبلَف حطػ ٍٕس ٖػٌَ٘ػ ٕازگسبث
ذٗبتً
يٗا لبخه بث
ٕصبؼلذه تسَص
ِتفشگ سد مشً
ساضفا
غ٘ؼًا ضً٘
دسَه
ٖػسشث ساشل تفشگ
ٍ
ُاشوّ
بث شگٗد ذٗبتً
عراشه سد لبىؿا 5 - فلا بت 5 - ث
ِٗاسا
ُذؿ تػا . بث
ٖػسشث
يٗا لىؿ بّ
ٖه ىاَت تفبٗسد
ِو ذٗبتً
ٕدذع
ِٗاسا
ُذؿ
ِث
َحً
ٖثَلطه شث شگٗد ذٗبتً
كجطٌه ذٌتؼّ
.
3 - 3 - هلأسم 3
كجط ذٗبتً
ٍد لبخه
،لجل
ٖه ىاَت تجؼً
ِث تحص ذٗبتً
لصبح
صا ؽٍس
ٖثبتشپ ىبٌ٘وطا لصبح دشو . يٗا لبخه
ِث سَظٌه
ٖػسشث
هٗ
قسٍ
توشه
،نصبً
ِٗلا ذٌچ سد
شظً
ِتفشگ
ٖه دَؿ .
ِ٘لو
فاَخ
ٍ بّشتهاسبپ
ِثبـه لبخه 2
ٖه ذؿبث
ٍ بٌْت 10 ضشف s=
ٖه دَؿ . سبْچ
ِجل قسٍ
شث
ٍٕس
ِ٘ىت
ُبگ
ٕبّ
ُدبػ ساشل دساد
ٍ
ٕسازگسبث
ٖضشع
ٖػٌَ٘ػ
ِفشطٍد شث
ٍٕس حطػ
ًٖبلَف
ِٗلاذٌچ لبوعا
ٖه .ددشگ
لىؿ 6 عٗصَت ؾٌت ىٍشث
ِحفص
ٕا σz
اس سد
ٕبتػاس
تهبخض
ٍ
ِث
ٕاصا شٗدبمه فلتخه ىبـً y
ٖه ذّد . كثبطه بث
لىؿ 4 ىبوّ
سَط
ِو سبظتًا
ٖه دٍس عٗصَت σzؾٌت
سد
ِجل قسٍ
( )y=b شثاشث بث شفص
ُدَث
ٍ بث ؾ٘پ
ٍٕس
ِث ىٍسد
ِحفص ساذمه
يٗا ؾٌت سد
ٕبتػاس تهبخض صا شفص
ِث
ٌِ٘ـ٘ث دَخ
ٖه
،ذٗاشگ
ىبٌچ
ِچ سد طػٍ
ِحفص ( 5b / 0 ٍ y=
5a / 0 )x=
ساذمه يٗا
ؾٌت سد توؼل
ًٖبلَف
ِٗلا ذٌچ بث
ٌِ٘ـ٘ث عٗصَت سبث ىبـً
ُداد
ُذؿ سد لىؿ 4 شثاشث
ٖه دَؿ .
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
