روش ﻫﺎي ﻋﺪدي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﭘﺎره اي

(1)

Advanced Numerical Methods 79

يا هرﺎﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يدﺪﻋ يﺎﻫ شور

Partial differential equations (PDE)

(2)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

نﺎﺸﻧ ،ﯽﺋﺰﺟ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ



ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ يداﺪﻌﺗ ﺎﺑ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ هﺪﻨﻫد .

يﺪﻌﺑ ود سﻼﭘﻻ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

يﺪﻌﺑ ﮏﯾ جﻮﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ذﻮﻔﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ )

نژﻮﯿﻔﯾد (

ﺪﻌﺑ ﮏﯾ ي

تﻻدﺎﻌﻣ

،قﻮﻓ تﻻدﺎﻌﻣ

ﺎﺑ ود ﺮﯿﻐﺘﻣ ار

نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد . رد ﻪﮐ ﯽﺘﻟﺎﺣ داﺪﻌﺗ

ﺮﯿﻐﺘﻣ ﺎﻫ

ﺮﺘﺸﯿﺑ ﺑ

،ﺪﺷﺎ .دﺮﮐ هدﺎﻔﺘﺳا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ نﺎﯿﺑ رد يﺮﺒﺟ يﺎﻫرﻮﺗاﺮﭘا زا ناﻮﺗﯽﻣ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ نژﻮﯿﻔﯾد

ﻪﺳ يﺪﻌﺑ ﺮﯿﻏ

ﯾﺎﭘ ﺎ

(3)

ﻪﻣﺪﻘﻣ :

يا هرﺎﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ يﺪﻨﺑ ﻪﺘﺳد

ﻪﺒﺗﺮﻣ  ﯽﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد دﻮﺟﻮﻣ ﻖﺘﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻦﯾﺮﺗﻻﺎﺑ ﻪﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ﺪﻨﯾﻮﮔ .

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

ﻪﺒﺗﺮﻣ لوا

ﻪﺒﺗﺮﻣ مرﺎﻬﭼ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ  ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

ار ﯽﻄﺧ )

Linear (

ﺪﻨﯾﻮﮔ رد

ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ مﺎﻤﺗ

ﺐﯾاﺮﺿ

،تﺎﻘﺘﺸﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗ

زا ﯾدﺎﻘﻣ

ﺮ .ﺪﺷﺎﺒﻧ ﻪﺘﺴﺑاو

Linear

Non Linear

تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺤﻔﺻ

،ﻞﺒﻗ تﻻدﺎﻌﻣ

ﻦﮕﻤﻫ ﺪﻨﺘﺴﻫ

.

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ،قﻮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﺳا ﻦﮕﻤﻫﺮﯿﻏ يا

. نﻮﺳآﻮﭘ ﻪﻟدﺎﻌﻣ نﺎﻤﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا )

Poisson (

ﯽﻣ ﺪﺷﺎﺑ .

(4)

ﻪﻣﺪﻘﻣ :

يا هرﺎﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺼﺨﺸﻣ

رد 

ﺖﻟﺎﺣ

،ﯽﻠﮐ ﮏﯾ

ﺎﺑ ود ﺮﯿﻐﺘﻣ ار

ﯽﻣ ناﻮﺗ ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

نﺎﺸﻧ داد

:

عﻮﻧ 

) ﻪﺼﺨﺸﻣ (

ﺎﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺑ

ﺐﯾاﺮﺿ

،A و B ﻦﯿﯿﻌﺗ C

ﯽﻣ دﻮﺷ .

ﻦﯾا ﻪﻘﺒﻃ يﺪﻨﺑ

رﺎﯿﺴﺑ ﻪﺒﺷ

ﻪﺑ ﻪﻘﺒﻃ يﺪﻨﺑ

ﻊﻃﺎﻘﻣ ﯽﻃوﺮﺨﻣ

ﺖﺳا .

AC B

²

− 4

=

∆

G Ff

Ef Df

Cf Bf

Af

_xx

+

_xy

+

_yy

+

_x

+

_y

+ =

2

0

2

+ Bxy + Cy + Dx + Ey + F =

Ax

(5)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻀﯿﺑ

ﺮﻫ o ﻪﻄﻘﻧ زا

ناﺪﯿﻣ ﺮﺛﺎﺘﻣ

زا ﺮﯾﺎﺳ طﺎﻘﻧ

هدﻮﺑ و ﺮﺑ طﺎﻘﻧ ﺮﮕﯾد

ﺮﯿﺛﺄﺗ ﯽﻣ

دراﺬﮔ .

يﺎﻫزﺮﻣ o فاﺮﻃا

ﻢﻫ ﻦﯿﯾﺎﭘ ﺖﺳد

و ﻢﻫ

،ﺖﺳدﻻﺎﺑ رد

ناﺪﯿﻣ ﻞﺣ

ﺮﺛا دراد .

تﻻدﺎﻌﻣ o سﻼﭘﻻ

و ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﯾوﺎﻧ

- ﺲﮐﻮﺘﺳا ﻢﮐﺎﺣ

ﺮﺑ لﺎﯿﺳ

،جﺰﻟ تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻀﯿﺑ

ﺪﻨﺘﺴﻫ .

ﺪﻨﻧﺎﻣ o ﻪﻟدﺎﻌﻣ

لﺎﻘﺘﻧا تراﺮﺣ

ﻢﺋاد يﺪﻌﺑود و

ﻪﺳ يﺪﻌﺑ .

تﻻدﺎﻌﻣo يﻮﻀﯿﺑ

ﯽﻨﺤﻨﻣ ﻪﺼﺨﺸﻣ

ﯽﻘﯿﻘﺣ ﺪﻧراﺪﻧ

.

ﻮﻀﯿﺑ ناﺪﯿﻣ ي

ناﺪﯿﻣ زﺮﻣ فاﺮﻃا ﻂﯿﺤﻣ

y

x

(6)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

ﻪﯿﻟوا طﺮﺷ )

ﯽﻧﺎﻣز (

يزﺮﻣ طﺮﺷ ) ﯽﻧﺎﮑﻣ

( يزﺮﻣ طﺮﺷ

) ﯽﻧﺎﮑﻣ (

نﺎﻣز نﺎﻣز

ﻂﯿﺤﻣ فاﺮﻃا

تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻤﻬﺳ

ﻞﺋﺎﺴﻣ o

ًﺎﺗﺪﻤﻋ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯿﻏ ﻢﺋاد ﺪﻨﺘﺴﻫ .

رد o ﺖﻬﺟ نﺎﻣز

مﺎﮔ ﻪﺘﺷادﺮﺑ ﯽﻣ

دﻮﺷ و رد ﺮﻫ مﺎﮔ ﯽﻧﺎﻣز زا

يﺎﻫزﺮﻣ فاﺮﻃا

ﺮﺛﺄﺘﻣ ﺖﺳا

.

ﻪﺑ o ناﻮﻨﻋ لﺎﺜﻣ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﯿﻏ

ﻢﺋاد لﺎﻘﺘﻧا تراﺮﺣ

زا عﻮﻧ يﻮﻤﻬﺳ ﺖﺳا

.

ﻦﯾا o ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﮏﯾ

ﯽﻨﺤﻨﻣ ﻪﺼﺨﺸﻣ

ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻒﻋﺎﻀﻣ

دراد .

(7)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

تﻻدﺎﻌﻣ ﯽﻟﻮﻟﺬﻫ

ﺖﺳا ﯽﺷﺎﻌﺗرا يﺎﻫ ﻢﺘﺴﯿﺳ و جاﻮﻣا ﺖﮐﺮﺣ ،تﻻدﺎﻌﻣ عﻮﻧ ﻦﯾا لواﺪﺘﻣ لﺎﺜﻣ o .

ﯽﻣ ﺎﻫزﺮﻣ o ﯽﮔﮋﯾو لﺎﻘﺘﻧا و ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯿﺛﺄﺗ ﯽﺑ ﻮﺳ ﮏﯾ رد ﺪﻧاﻮﺗ

ﺷ ﺮﺠﻨﻣ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘﺎﻧ ﻪﻌﺳﻮﺗ ﻪﺑ ﺎﻫ دﻮ

.

دراد ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻪﺼﺨﺸﻣ ﯽﻨﺤﻨﻣ ود ،جﻮﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ o .

(8)

يﻮﻀﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ )

Elliptic (

ﺞﯾار 

ﻦﯾﺮﺗ ﻞﮑﺷ

تﻻدﺎﻌﻣ

،يﻮﻀﯿﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

سﻼﭘﻻ ﺖﺳا

. ﻦﯾا ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد

ﺖﯾاﺪﻫ ﻢﺋاد

و .دراد دﺮﺑرﺎﮐ ﻢﺋاد ﯽﻣﺮﺟ ذﻮﻔﻧ

ﺎﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺑ

نﻮﻧﺎﻗ ﺖﯾاﺪﻫ

ﯽﺗراﺮﺣ ﻪﯾرﻮﻓ

، ﻪﻟدﺎﻌﻣ لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﻢﺋاد

)و نوﺪﺑ ﺪﯿﻟﻮﺗ

يژﺮﻧا (

ﻪﺑ ﻞﮑﺷ

ﺮﯾز :ﺖﺳا

2

= 0

∇ f

= 0

 

 





∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂ + ∂

 

 





∂

z k T z y

k T y x

k T x

ﺎﺑ ضﺮﻓ ﺖﺑﺎﺛ

ندﻮﺑ ﺐﯾﺮﺿ

ﺖﯾاﺪﻫ

،ﯽﺗراﺮﺣ

،k ﻢﯾراد :

2

= 0

∇

= +

+ T T T

T

_xx _yy _zz

ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ ﻦﯾا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد

يﺎﻀﻓ ود

يﺪﻌﺑ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز ﻪﺘﺷﻮﻧ دﻮﺷ ﯽﻣ

:

= 0 +

_yy

xx

T

T B

²

− 4 AC = 0

²

− 4 ( )( ) 1 1 = − 4 〈 0

(9)

يﻮﻀﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ )

Elliptic (

ﯽﮑﯾ  ﺮﮕﯾد

زا تﻻدﺎﻌﻣ دﺮﺑرﺎﮐﺮﭘ

،يﻮﻀﯿﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

نﻮﺳآﻮﭘ ﺖﺳا

. لﺎﻘﺘﻧا تراﺮﺣ

ﺖﯾاﺪﻫ ﻢﺋاد

ﺑﺎ ﺪﯿﻟﻮﺗ

تراﺮﺣ

،ﯽﻠﺧاد ﻪﻧﻮﻤﻧ

يا زا ﻦﯾا عﻮﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﺳا

.

ﺎﺑ  ضﺮﻓ ﺖﺑﺎﺛ

ندﻮﺑ ﺐﯾﺮﺿ

ﺖﯾاﺪﻫ ﯽﺗراﺮﺣ

:

k T Q

T T

T

_xx _yy _zz



−

=

∇

= +

+

²

= 0

 +



 





∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂ Q

z k T z y

k T y x

k T x



(10)

يﻮﻤﻬﺳ تﻻدﺎﻌﻣ )

Parabolic (

ﻪﻟدﺎﻌﻣ 

ﺖﯾاﺪﻫ ﺮﯿﻏ

،ﻢﺋاد ﮏﯾ

عﻮﻧ زا تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻤﻬﺳ

ﺖﺳا . ﻪﻟدﺎﻌﻣ نژﻮﯿﻔﯾد

ﺮﯿﻏ د

ﻢﺋا :دﻮﺷﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﯽﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ رد

ﻪﻟدﺎﻌﻣ  لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﺖﯾاﺪﻫ

ﯽﺗراﺮﺣ رد

ﺖﻟﺎﺣ ﺮﯿﻏ

ﻢﺋاد ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﻪﺘﺷﻮﻧ ﯽﻣ

دﻮﺷ :

ﺎﺑ ضﺮﻓ ﺖﺑﺎﺛ

ندﻮﺑ صاﻮﺧ

،ﯽﺗراﺮﺣ ﻦﯾا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ار

ﯽﻣ ناﻮﺗ ﻪﺑ ترﻮﺻ ﺮﯾز

ﺖﺷﻮﻧ :

ياﺮﺑ ﻦﯾا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻢﯾراد

:

f f

_t

= α ∇

²

( )

 

 





∂

∂ + ∂

 

 





∂

∂ + ∂

 

 





∂

= ∂

∂

z k T z y

k T y x

k T x t

ρ CT

( T T T ) T

T

_t

= α

_xx

+

_yy

+

_zz

= α ∇

²

( )( ) 0 0 4

0

4

²

2

− AC = − α =

B

(11)

يﻮﻟﻮﻟﺬﻫ تﻻدﺎﻌﻣ )

Hyperbolic (

ﻪﻟدﺎﻌﻣ 

،جﻮﻣ ﺞﯾار

ﻦﯾﺮﺗ ﻦﯾا

ﻞﺋﺎﺴﻣ ﺖﺳا

ﻪﮐ رد ﮏﯿﻣﺎﻨﯾد

،ﺎﻫزﺎﮔ تﺎﺷﺎﻌﺗرا

و ...

دﺮﺑرﺎﮐ دراد

.

ﻪﻟدﺎﻌﻣ جﻮﻣ

ﯽﻄﺧ ﻪﺒﺗﺮﻣ

،لوا ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﻪﺘﺷﻮﻧ ﯽﻣ

دﻮﺷ :

ﻦﯾﺮﻤﺗ :

ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ جﻮﻣ

ﯽﻄﺧ ﻪﺒﺗﺮﻣ

،لوا ﻪﻟدﺎﻌﻣ جﻮﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ 2

ار ﺖﺳد ﻪﺑ ﺪﯾروآ

.

f c

f

_tt

=

²

∇

²

= 0

∂ + ∂

∂

x c u t

u

(12)

شور يﻮﻀﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يﺎﻫ

)

Elliptic

(

(13)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

Domain f(x,y)

Boundary Conditions

x y

فﺪﻫ

: ﻞﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ سﻼﭘﻻ

) ﺎﯾ نﻮﺳآﻮﭘ (

ﺎﺑ ﻂﯾاﺮﺷ يزﺮﻣ

ﺺﺨﺸﻣ ﺖﺳا

.

( x y )

F f

f

f f

yy xx

, 0

= +

=

+

(14)

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور )

Finite Difference (

رد  ﻦﯾا

،شور اﺪﺘﺑا

مزﻻ ﺖﺳا ﻪﮐ

ناﺪﯿﻣ ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ

ار ﻪﮑﺒﺷ يﺪﻨﺑ

ﻢﯿﻨﮐ .

x y

i i+1 i_max

i-1 j-1

j j+1 j_max

1 1

2 2

رد ﺎﺠﻨﯾا ضﺮﻓ

ﯽﻣ ﻢﯿﻨﮐ ناﺪﯿﻣ

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ د

يارا .ﺖﺳا

y

و

x

يﺎﺘﺳار رد هزاﺪﻧا ﻢﻫ ﻪﮑﺒﺷ هزاﺪﻧا

ﻪﮑﺒﺷ رد

ﺮﻫ

،ﺎﺘﺳار

Δx Δy

و

ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ .

دراﻮﻣ ﺮﯾز

ار ﻪﺑ ترﻮﺻ يدادراﺮﻗ

رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ

( )

:

j

x i

j i j

i

f

x f x

y x f

, ,

, =

∂

= ∂

∂

( x

_i

y

_j

) f

_i _j

f , =

_,

( )

j

xx i

j i j

i

f

x f x

y x f

, ,

2 2 2

2

,

∂ =

= ∂

∂

(15)

Finite Difference (

رد  ﺖﻟﺎﺣ

،ﯽﻠﮐ ﺐﯾﺮﻘﺗ

ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

يﺰﮐﺮﻣ ياﺮﺑ

ﻖﺘﺸﻣ مود

ﻊﺑﺎﺗ رد ﻪﻄﻘﻧ i,j

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﺖﺳا :

ياﺮﺑ ﻖﺘﺸﻣ

مود رد ﺖﻬﺟ ﻢﻫ y

ﯽﻣ ناﻮﺗ ﺖﺷﻮﻧ :

2

, 1 ,

2 x

f f

f

_xx _i _j

f

ⁱ ^j ⁱ ^j ⁱ ^j

∆

+

=

⁺

−

⁻

2

1 , ,

2 y

f f

f

_yy _i _j

f

ⁱ ^j ⁱ ^j ⁱ ^j

∆

+

=

⁺

−

⁻

(16)

Finite Difference (

ﻪﻟدﺎﻌﻣ سﻼﭘﻻ

ود يﺪﻌﺑ ار

رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ :

ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

هﺪﺷ زا

ﺐﯾﺮﻘﺗ فﻼﺘﺧا

دوﺪﺤﻣ ياﺮﺑ

ﺮﻫ ﮏﯾ زا ﻪﻠﻤﺟ ﺎﻫ

ار رد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ

ﯽﻣ ﻨﮐ ﻢﯿ :

رد ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ تﻻدﺎﻌﻣ

ار ﺮﺑ ﺐﺴﺣ راﺪﻘﻣ

ﻊﺑﺎﺗ رد

i , j

ﻪﻄﻘﻧ ﺐﺗﺮﻣ

،ﻢﯿﻨﮐ ﻢﯾراد

:

= 0 +

_yy

xx

f

2 0 2

2

1 , ,

1 , 2

, 1 ,

,

1

=

∆

+ + −

∆

+

−

₋ ₊ ₋

+

y

f f

f x

f f

f

_i _j _i _j _i _j _i _j _i _j _i _j

( 1 ) 0

2

² _,

1 2 ,

, 1 1

2 , ,

1

+

₊

+

₋

+

₋

− + =

+ j i j i j i j i j

i

f f f f

f β β β

(

²

)

^, ¹

, 2 1 1

2 , ,

1

,

2 1 β

β β

+

+ +

=

ⁱ⁺ ^j

+

ⁱ ^j⁺ ⁱ⁻ ^j ⁱ ^j⁻

j i

f f

f f f

y x

∆

= ∆

β

(17)

Finite Difference (

رد  ﺖﻟﺎﺣ ﯽﺻﺎﺧ

ﻪﮐ هزاﺪﻧا ﻪﮑﺒﺷ

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ رد

ود ﺖﻬﺟ ﺎﺑ

ﻢﻫ ﺮﺑاﺮﺑ ﺖﺳا

Δx=Δy

) (:

ﻪﻄﺑار  قﻮﻓ

ﮏﯾ ﺮﯿﺴﻔﺗ هدﺎﺳ

دراد و نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد رد

ﻪﮐ ﯽﺘﻟﺎﺣ ﻪﮑﺒﺷ

ود ﺟ

ﺖﻬ رد نآ ﯽﺿﺎﯾر ﻂﺳﻮﺘﻣ ﺎﺑ

i,j

ﻪﻄﻘﻧ رد ﻊﺑﺎﺗ راﺪﻘﻣ ﯽﻨﻌﯾ .دراد ياهدﺎﺳ باﻮﺟ ،ﻪﻟﺎﺴﻣ ،ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ

طﺎﻘﻧ .ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ ،فاﺮﻃا

رد  ﺖﯾﺎﻬﻧ ﺎﺑ

ﻞﺣ ﻪﻄﺑار شور

فﻼﺘﺧا دوﺪﺤﻣ

ﯽﻣ ناﻮﺗ راﺪﻘﻣ

ﻊﺑﺎﺗ ار رد طﺎﻘﻧ لﻮﻬﺠﻣ

ناﺪﯿﻣ

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ

دروآ . ﻦﯾا رﺎﮐ مﺰﻠﺘﺴﻣ ﻞﺣ

هﺎﮕﺘﺳد تﻻدﺎﻌﻣ

ﺖﺳا . ياﺮﺑ ﻞﺣ

هﺎﮕﺘﺳد ﻌﻣ

تﻻدﺎ .دﺮﮐ هدﺎﻔﺘﺳا ،ﺪﺷ ﺢﯾﺮﺸﺗ ﺶﯿﭘ لﻮﺼﻓ رد ﻪﮐ ﻞﺣ يﺎﻫشور زا ناﻮﺗﯽﻣ ﺶﻘﻧ ﻪﮑﺒﺷ

يﺎﻄﺧ شور

؟ﺖﺴﯿﭼ

(

₁_, _, ₁ ₁_, _, ₁

)

,

, 1

, ,

1 1

, ,

1

4 1

0 4

−

− +

+

−

− +

+

+ +

+

=

− +

+ +

j i j

i j

i

j i j

i j

i

f f

f

f f

f

(18)

Finite Difference (

لﺎﺜﻣ : ﻪﻟﺎﺴﻣ لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﯽﺘﯾاﺪﻫ

رد ﻢﺴﺟ ﺪﻣﺎﺟ

ار رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ

. هﺪﺷ ﺮﮐذ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ﻪﺤﻔﺻ رد ﺎﻣد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ فﺪﻫ ﺖﺳا

.

؟ﺖﺴﯿﭼ ﻞﺣ ﻞﺣاﺮﻣ

= 0 +

_yy

xx

T

(19)

Finite Difference

(

(20)

Finite Difference (

؟ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻦﯾا ياﺮﺑ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ طﺮﺷ ﺎﯾآ

(21)

يزﺮﻣ طﺮﺷ لﺎﻤﻋا

Dirichlet Boundary Condition: Neumann Boundary Condition: Mixed Boundary Condition:

؟ﺖﺴﯿﭼ ﯽﺗراﺮﺣ ﺖﯾاﺪﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﻦﯾا زا ﮏﯾ ﺮﻫ ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ ﺮﯿﺴﻔﺗ ﻊﺑﺎﺗ راﺪﻘﻣ ﺖﻟﺎﺣ ماﺪﮐ رد )

يژﺮﻧا ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﺎﻣد ﻼﺜﻣ (

؟ﺖﺳا لﻮﻬﺠﻣ زﺮﻣ رد

ضﺮﻓ  ﺪﯿﻨﮐ

رد لﺎﺜﻣ

،ﻞﺒﻗ ﻪﺤﻔﺻ

ﺖﻤﺳ

،ﺖﺳار ﻖﯾﺎﻋ

ﺪﺷﺎﺑ . رد ﻦﯾا ترﻮﺻ ﻖﺘﺸﻣ

رد ﺖﻬﺟ رد x

طﺎﻘﻧ يور

ﻪﺤﻔﺻ ﺖﻤﺳ

،ﺖﺳار ﺮﻔﺻ

ﺖﺳا . ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻠﮐ

ترﻮﺻ ﻪﺑ FDE ﺮﯾز

ﺖﺳا :

ﯽﻣ ار ﺖﺳا زﺮﻣ ﻞﺧاد طﺎﻘﻧ مﺎﻤﺗ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا ﺎﯾآ ﮐ لﺎﻤﻋا ﻢﻫ يزﺮﻣ طﺎﻘﻧ ياﺮﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ

؟ﻢﯿﻨ

( 1 ) 0

2

² _,

1 2 ,

, 1 1

2 , ,

1

+

₊

+

₋

+

₋

− + =

+ j i j i j i j i j

i

f f f f

f β β β

(22)

Advanced Numerical Methods 100

يزﺮﻣ طﺮﺷ لﺎﻤﻋا

ﻖﺘﺸﻣ ﯽﺋﺰﺟ

رد يﺎﺘﺳار رد x

هﺮﮔ يزﺮﻣ ار

ﯽﻣ ناﻮﺗ

ﻪﺑ :دروآ ﺖﺳد ﻪﺑ FDE شور زا ﺮﯾز ترﻮﺻ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ حﻼﺻا

هﺪﺷ رد

زﺮﻣ ﺎﺑ ﺐﯿﮐﺮﺗ تﻻدﺎﻌﻣ

قﻮﻓ ﺖﺳد ﻪﺑ ﯽﻣ

ﺪﯾآ :

( )

²

, 1 ,

1

,

2 O x

x f

f

_x _i _j

f

ⁱ ^j ⁱ ^j

+ ∆

∆

=

⁺

−

⁻

( 1 ) 0

2

² _,

1 2 ,

, 1 1

2 , ,

1

+

₊

+

₋

+

₋

− + =

+ j i j i j i j i j

i

f f f f

f β β β

x f

f

_i₊₁_, _j

=

_i₋₁_, _j

+ 2

_x _i_, _j

∆

( ) f f x

f f

f

_i_, _j₊₁

+

_i₋₁_, _j

+

² _i_, _j₋₁

− +

² _i_, _j

= −

_x _i_, _j

∆

2

2 β 2 1 β 2

β

(23)

يﻮﻤﻬﺳ تﻻدﺎﻌﻣ

Parabolic Equations

(24)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

ﻞﮑﺷ  وﺮﺑور

ﮏﯾ عﻮﻧ

ﻪﻟﺎﺴﻣ لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﺖﯾاﺪﻫ

ﺮﯿﻏ ﻢﺋاد ار نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد .

ﻪﯿﻟوا طﺮﺷ يزﺮﻣ طوﺮﺷ

xx

t

T

T = α

(25)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

ﻞﺣ o ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ

ﻪﻟﺎﺴﻣ ﺎﺑ

شور يزﺎﺳاﺰﺠﻣ

ﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ

ﯽﻣ ﺪﯾآ .

ﺎﺑ o هدﺎﻔﺘﺳا زا

نآ ﯽﻣ ناﻮﺗ ﻊﯾزﻮﺗ

ﺎﻣد ار

در .دروآ ﺖﺳد ﻪﺑ ﻪﻈﺤﻟ ﺮﻫ

(26)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

يﻮﻤﻬﺳ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻠﮐ ﻞﮑﺷ

(27)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

ﻞﺋﺎﺴﻣ  يدﺎﯾز

رد ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ ﺎﺑ

تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻤﻬﺳ

دﻮﺟو دراد

. ود عﻮﻧ ﺞﯾار ﺎﻫ نآ

Diffusion

Equations و

Advection-Diffusion Equations ﺪﻨﺘﺴﻫ

.

رد  ﻦﯾا ﻞﺋﺎﺴﻣ زﺎﯿﻧ

ﻪﺑ ﮏﯾ طﺮﺷ ﻪﯿﻟوا

ﺖﺳا .

ﻦﯾا  ﻞﺋﺎﺴﻣ ﻪﺑ

initial-boundary value problem فوﺮﻌﻣ

ﺪﻨﺘﺴﻫ .

xx x

t

xx t

f uf

f

f f

α α

= +

=

(28)

ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ لﻮﺻا

رد  ﻞﺣ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

تﺎﻘﺘﺸﻣ ﯽﺋﺰﺟ

يﻮﻤﻬﺳ رﻮﻃ نﺎﻤﻫ

ﻪﮐ رد ﻞﮑﺷ هﺪﻫﺎﺸﻣ

ﯽﻣ دﻮﺷ ﻟﺎﺴﻣ

ﻪ

زا.دﻮﺷﯽﻣ مﺎﺠﻧا ﯽﻧﺎﻣز ﺖﻬﺟ رد ﻦﺘﺷادﺮﺑ مﺎﮔ ﺎﺑ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ﻊﻗاو رد .ﺖﺳا زﺎﺑ (نﺎﻣز ﺎﺠﻨﯾا رد) ﺖﻤﺳ ﮏﯾ ﻞﺣ  ﻪﻄﻘﻧ رد P

مﺎﮔ ﯽﻣ n+1

ﺪﻧاﻮﺗ ﻪﺘﺴﺑاو

ﻪﺑ ﺮﯾﺎﺳ طﺎﻘﻧ

فاﺮﻃا رد

مﺎﮔ ﺎﯾ n+1

ﺪﺷﺎﺑ n . ﺮﺑ

ﻦﯾا :دراد دﻮﺟو دﺮﮑﯾور ود سﺎﺳا

1 - Implicit )

ﯽﻨﻤﺿ

((ﺢﯾﺮﺻ) Explicit -2

(29)

ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ لﻮﺻا

Explicit

Implicit

شور ﺢﯾﺮﺻ

رﻮﻃ ﻪﺑ ﯽﻠﮐ

ﺮﺗ ﻊﯾﺮﺳ زا

ر

شوﮕﺘﺳد ﻞﺣ ﻪﺑ زﺎﯿﻧ اﺮﯾز .ﺖﺳا ﯽﻨﻤﺿ هﺎ ﺎﻫشور ﻦﯾا ﺎﻣا .دراﺪﻧ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﮑﺸﻣ.ﺪﻧراد لﺎﺒﻧد ﻪﺑ ار يدﺪﻋ يﺎﻄﺧ رﺎﺸﺘﻧا

(30)

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور

ﻞﮑﺷ  ﺮﯾز

ﻪﯿﺣﺎﻧ ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ

ار ياﺮﺑ ﮏﯾ

ﻪﻟﺎﺴﻣ يﻮﻤﻬﺳ

نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد . دراﻮﻣ ﺮﯾز

ار ترﻮﺻ ﻪﺑ

يدادراﺮﻗ ضﺮﻓ

ﺪﯿﻨﮐ :

(31)

ياﺮﺑ  يزﺎﺳ ﻪﺘﺴﺴﮔ

ﻖﺘﺸﻣ ﯽﻧﺎﻣز

زا ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻪﺒﺗﺮﻣ

لوا ﯽﻧﺎﻣز ور

ﻪﺑ ﻮﻠﺟ هدﺎﻔﺘﺳا ﻣ

دﻮﺷ ﯽ :

ﯽﻣ ناﻮﺗ ﺎﺑ

ﺐﯾﺮﻘﺗ فﻼﺘﺧا

،دوﺪﺤﻣ ﻖﺘﺸﻣ

ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

ﯽﻧﺎﮑﻣ رد

ﻪﻄﻘﻧ ار i

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﺐﯾﺮﻘﺗ دز

. .دﻮﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ n ﯽﻧﺎﻣز مﺎﮔ زا ﺎﻫ ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﺮﺑ ضﺮﻓ

ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ

ﺖﺳد ﻪﺑ هﺪﻣآ

ار رد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻠﺻا

ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ ﯽﻣ

ﻢﯿﻨﮐ :

t f f f

in in

ni

t

∆

=

⁺¹

−

2

1

2

x

f f

in in

in ni

xx

∆

+

=

⁺

−

⁻

(32)

دﺪﻋ ذﻮﻔﻧ ) Diffusion Number (

ﻦﯾا ﺐﯾﺮﻘﺗ ﺎﺑ

ناﻮﻨﻋ ﺮﯾز

ﻪﺘﺧﺎﻨﺷ ﯽﻣ

دﻮﺷ

Forward Time Central Space (FTCS). لﻮﻣﺮﻓ عﻮﻧ ﻪﭼ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار يﺪﻨﺑ

؟ﺪﻫد Explicit

(33)

ﻪﻟﺎﺴﻣ  ﻞﺒﻗ

ار رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ .

ﻦﯾا ﻪﻟﺎﺴﻣ ار

ﺎﺑ ضﺮﻓ توﺎﻔﺘﻣ d

) مﺎﮔ ﯽﻧﺎﻣز ﻒﻠﺘﺨﻣ

( ﻞﺣ ﯽﻣ ﻢﯿﻨﮐ

. .ﺪﯾآﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺮﯾز يﺎﻫ باﻮﺟ ،ﺖﻟﺎﺣ ود ﻦﯾا رد

طﺮﺷ يراﺪﯾﺎﭘ

:

(34)

ﻊﯾزﻮﺗ تﺎﻋﻼﻃا

يدﺪﻋ )

Numerical Information Propagation (

رد شور ترﻮﺻ ﻪﺑ FTCS

ﺮﯾز :ﺖﺳا

ﻪﻄﺑار قﻮﻓ

نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد ﻪﮐ ﻊﯾزﻮﺗ تﺎﻋﻼﻃا

شور يدﺪﻋ

ﻪﺘﺴﺑاو ﻪﺑ

دﺪﻋ ذﻮﻔﻧ ﺖﺳا .

راﺪﻘﻣ ﺎﻄﺧ

رد ﻦﯾا شور زا

O(Δt) و

O(Δx2) ﺖﺳا

. ) ﺖﺳا راﺪﯾﺎﭘ ﯽﻄﯾاﺮﺷ ﺖﺤﺗ شور ﻦﯾا Conditionally Stable

(.

ﯿﯿﻐﺗ ﻪﻧﻮﮕﭼ ﯽﻧﺎﻣز مﺎﮔ ،يراﺪﯾﺎﭘ طﺮﺷ يراﺮﻗﺮﺑ ياﺮﺑ ﻪﮑﺒﺷ هزاﺪﻧا نﺪﺷ ﮏﭼﻮﮐ ﺎﺑ ﯽﻣ ﺮ

؟ﺪﻨﮐ

ياﺮﺑ اﺮﭼ ﺎﻤﺷ ﺮﻈﻧ ﻪﺑ ،شور نﻮﯿﺳﻻﻮﻣﺮﻓ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ d<=0.5

؟ﺖﺳا راﺪﯾﺎﭘ شور ﻦﯾا