روش ﻫﺎي ﻋﺪدي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﭘﺎره اي

(1)

Advanced Numerical Methods 81

يا هرﺎﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يدﺪﻋ يﺎﻫ شور

Partial differential equations (PDE)

(2)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

نﺎﺸﻧ ،ﯽﺋﺰﺟ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ



ﺖﺳا ﺮﯿﻐﺘﻣ يداﺪﻌﺗ ﺎﺑ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ هﺪﻨﻫد .

يﺪﻌﺑ ود سﻼﭘﻻ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

يﺪﻌﺑ ﮏﯾ جﻮﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ذﻮﻔﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ )

نژﻮﯿﻔﯾد (

يﺪﻌﺑ ﮏﯾ

تﻻدﺎﻌﻣ

،قﻮﻓ تﻻدﺎﻌﻣ

ﺎﺑ ود ﺮﯿﻐﺘﻣ ار

نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد . رد ﻪﮐ ﯽﺘﻟﺎﺣ داﺪﻌﺗ

ﺮﯿﻐﺘﻣ ﺎﻫ

ﺮﺘﺸﯿﺑ

،ﺪﺷﺎﺑ

ﯽﻣ ناﻮﺗ زا

يﺎﻫرﻮﺗاﺮﭘا يﺮﺒﺟ

رد نﺎﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ

ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد هدﺎﻔﺘﺳا

دﺮﮐ .

ﻪﻟدﺎﻌﻣ نژﻮﯿﻔﯾد

ﻪﺳ يﺪﻌﺑ ﺮﯿﻏ

ﺎﯾﺎﭘ

(3)

ﻪﻣﺪﻘﻣ :

يا هرﺎﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ يﺪﻨﺑ ﻪﺘﺳد

ﻪﺒﺗﺮﻣ  ﯽﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد دﻮﺟﻮﻣ ﻖﺘﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ ﻦﯾﺮﺗﻻﺎﺑ ﻪﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ

ﺪﻨﯾﻮﮔ .

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

ﻪﺒﺗﺮﻣ لوا

ﻪﺒﺗﺮﻣ مرﺎﻬﭼ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ  ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

ﯽﻄﺧ ار )

Linear (

ﺪﻨﯾﻮﮔ رد

ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ مﺎﻤﺗ

ﺐﯾاﺮﺿ

،تﺎﻘﺘﺸﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗ

زا ﺮﯾدﺎﻘﻣ

ﻪﺘﺴﺑاو ﺪﺷﺎﺒﻧ

Linear .

Non Linear

تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺤﻔﺻ

،ﻞﺒﻗ تﻻدﺎﻌﻣ

ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻦﮕﻤﻫ .

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ،قﻮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﺳا ﻦﮕﻤﻫﺮﯿﻏ يا

. نﻮﺳآﻮﭘ ﻪﻟدﺎﻌﻣ نﺎﻤﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا )

Poisson

( ﯽﻣ ﺪﺷﺎﺑ .

(4)

ﻪﻣﺪﻘﻣ :

يا هرﺎﭘ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺼﺨﺸﻣ

رد 

ﺖﻟﺎﺣ

،ﯽﻠﮐ ﮏﯾ

ﺎﺑ ود ﺮﯿﻐﺘﻣ ﻞﻘﺘﺴﻣ

ار ﯽﻣ ناﻮﺗ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز نﺎﺸﻧ داد

:

عﻮﻧ 

ﻪﺼﺨﺸﻣ ) (

ﺎﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺑ

ﺐﯾاﺮﺿ

، A

وB

ﻦﯿﯿﻌﺗ C

ﯽﻣ دﻮﺷ .

ﻦﯾا ﻪﻘﺒﻃ يﺪﻨﺑ

رﺎﯿﺴﺑ ﻪﺒﺷ

ﻪﺑ ﻪﻘﺒﻃ يﺪﻨﺑ

ﻊﻃﺎﻘﻣ ﯽﻃوﺮﺨﻣ

ﺖﺳا .

AC B

²

 4





G Ff

Ef Df

Cf Bf

Af

_xx



_xy



_yy



_x



_y

 

2

0

2

 Bxy  Cy  Dx  Ey  F 

Ax

(5)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻀﯿﺑ

ﺮﻫ o ﻪﻄﻘﻧ زا

ناﺪﯿﻣ ﺮﺛﺎﺘﻣ

زا ﺮﯾﺎﺳ طﺎﻘﻧ

هدﻮﺑ و ﺮﺑ طﺎﻘﻧ ﺮﮕﯾد

ﺮﯿﺛﺄﺗ ﯽﻣ

دراﺬﮔ .

يﺎﻫزﺮﻣ o فاﺮﻃا

ﻢﻫ ﻦﯿﯾﺎﭘ ﺖﺳد

و ﻢﻫ

،ﺖﺳدﻻﺎﺑ رد

ناﺪﯿﻣ ﻞﺣ

ﺮﺛا دراد .

تﻻدﺎﻌﻣ o سﻼﭘﻻ

و ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﯾوﺎﻧ

- ﺲﮐﻮﺘﺳا يﺎﯾﺎﭘ

ﻢﮐﺎﺣ ﺮﺑ

لﺎﯿﺳ

،جﺰﻟ تﻻدﺎﻌﻣ

يﻮﻀﯿﺑ ﺪﻨﺘﺴﻫ

.

ﺪﻨﻧﺎﻣ o ﻪﻟدﺎﻌﻣ

لﺎﻘﺘﻧا تراﺮﺣ

ﻢﺋاد يﺪﻌﺑود

و ﻪﺳ يﺪﻌﺑ .

تﻻدﺎﻌﻣ o يﻮﻀﯿﺑ

ﯽﻨﺤﻨﻣ ﻪﺼﺨﺸﻣ

ﯽﻘﯿﻘﺣ ﺪﻧراﺪﻧ

.

ﻪﻨﻣاد o ﻞﺣ

ﮏﯾ ﻪﯿﺣﺎﻧ ﻪﺘﺴﺑ

ﺖﺳا .

يﻮﻀﯿﺑ ناﺪﯿﻣ

ناﺪﯿﻣ زﺮﻣ

فاﺮﻃا ﻂﯿﺤﻣ y

x

(6)

تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻤﻬﺳ

ﻞﺋﺎﺴﻣ o

ًﺎﺗﺪﻤﻋ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯿﻏ ﻢﺋاد ﺪﻨﺘﺴﻫ

.

رد o ﺖﻬﺟ نﺎﻣز

مﺎﮔ ﻪﺘﺷادﺮﺑ ﯽﻣ

دﻮﺷ و رد ﺮﻫ مﺎﮔ ﯽﻧﺎﻣز زا

يﺎﻫزﺮﻣ فاﺮﻃا

ﺮﺛﺄﺘﻣ ﺖﺳا

.

ﻪﺑ o ناﻮﻨﻋ لﺎﺜﻣ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﯿﻏ

ﻢﺋاد لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ زا

عﻮﻧ يﻮﻤﻬﺳ ﺖﺳا

.

ﻦﯾا o ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﮏﯾ

ﯽﻨﺤﻨﻣ ﻪﺼﺨﺸﻣ

ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻒﻋﺎﻀﻣ

دراد .

ﻪﻨﻣاد o ﻞﺣ

ﮏﯾ ﻪﯿﺣﺎﻧ زﺎﺑ

ﺖﺳا .

ﻪﻣﺪﻘﻣ

ﻪﯿﻟوا طﺮﺷ )

ﯽﻧﺎﻣز (

يزﺮﻣ طﺮﺷ ) ﯽﻧﺎﮑﻣ

( يزﺮﻣ طﺮﺷ

) ﯽﻧﺎﮑﻣ (

نﺎﻣز نﺎﻣز

ﻂﯿﺤﻣ فاﺮﻃا

(7)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

تﻻدﺎﻌﻣ ﯽﻟﻮﻟﺬﻫ

ﺖﺳا ﯽﺷﺎﻌﺗرا يﺎﻫ ﻢﺘﺴﯿﺳ و جاﻮﻣا ﺖﮐﺮﺣ ،تﻻدﺎﻌﻣ عﻮﻧ ﻦﯾا لواﺪﺘﻣ لﺎﺜﻣ o .

ﯽﻣ ﺎﻫزﺮﻣ o ﯽﮔﮋﯾو لﺎﻘﺘﻧا و ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯿﺛﺄﺗ ﯽﺑ ﻮﺳ ﮏﯾ رد ﺪﻧاﻮﺗ

دﻮﺷ ﺮﺠﻨﻣ ﯽﮕﺘﺳﻮﯿﭘﺎﻧ ﻪﻌﺳﻮﺗ ﻪﺑ ﺎﻫ .

دراد ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻪﺼﺨﺸﻣ ﯽﻨﺤﻨﻣ ود ،جﻮﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ o .

(8)

يﻮﻀﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ )

Elliptic (

ﺞﯾار 

ﻦﯾﺮﺗ ﻞﮑﺷ

تﻻدﺎﻌﻣ

،يﻮﻀﯿﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

سﻼﭘﻻ ﺖﺳا

. ﻦﯾا ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد

ﺖﯾاﺪﻫ ﻢﺋاد

و .دراد دﺮﺑرﺎﮐ ﻢﺋاد ﯽﻣﺮﺟ ذﻮﻔﻧ

ﺎﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺑ

نﻮﻧﺎﻗ ﺖﯾاﺪﻫ

ﯽﺗراﺮﺣ ﻪﯾرﻮﻓ

، ﻪﻟدﺎﻌﻣ لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﻢﺋاد

) و نوﺪﺑ ﺪﯿﻟﻮﺗ

يژﺮﻧا (

ﻪﺑ ﻞﮑﺷ

ﺮﯾز :ﺖﺳا

2

 0

 f

 0

 

 







 





 







 

 

 







z k T z

y k T y

x k T x

ﺎﺑ ضﺮﻓ ﺖﺑﺎﺛ

ندﻮﺑ ﺐﯾﺮﺿ

ﺖﯾاﺪﻫ

،ﯽﺗراﺮﺣ

، k ﻢﯾراد :

2

0









 T T T

T

_xx _yy _zz

ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ ﻦﯾا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد

يﺎﻀﻓ ود

يﺪﻌﺑ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز ﻪﺘﺷﻮﻧ دﻮﺷ ﯽﻣ

:

 0



_yy

xx

T

T B

²

 4 AC  0

²

 4    1 1   4  0

(9)

يﻮﻀﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ )

Elliptic (

ﯽﮑﯾ  ﺮﮕﯾد

زا تﻻدﺎﻌﻣ دﺮﺑرﺎﮐﺮﭘ

،يﻮﻀﯿﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

نﻮﺳآﻮﭘ ﺖﺳا

. لﺎﻘﺘﻧا تراﺮﺣ

ﺖﯾاﺪﻫ ﻢﺋاد

ﺎﺑ ﺪﯿﻟﻮﺗ

تراﺮﺣ

،ﯽﻠﺧاد ﻪﻧﻮﻤﻧ

يا زا ﻦﯾا عﻮﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﺳا

.

ﺎﺑ ضﺮﻓ

ﺖﺑﺎﺛ ندﻮﺑ

ﺐﯾﺮﺿ ﺖﯾاﺪﻫ

ﯽﺗراﺮﺣ :

k T Q

T T

T

_xx _yy _zz













²

 0

 



 







 





 







 

 

 







 Q

z k T z

y k T y

x k T x



(10)

يﻮﻤﻬﺳ تﻻدﺎﻌﻣ )

Parabolic (

ﻪﻟدﺎﻌﻣ 

ﺖﯾاﺪﻫ ﺮﯿﻏ

،ﻢﺋاد ﮏﯾ

عﻮﻧ زا تﻻدﺎﻌﻣ يﻮﻤﻬﺳ

ﺖﺳا .

ﻪﻟدﺎﻌﻣ نژﻮﯿﻔﯾد

ﺮﯿﻏ

ﻢﺋاد :دﻮﺷﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﯽﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ رد

ﻪﻟدﺎﻌﻣ  لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﺖﯾاﺪﻫ

ﯽﺗراﺮﺣ رد

ﺖﻟﺎﺣ ﺮﯿﻏ

ﻢﺋاد ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز ﻪﺘﺷﻮﻧ ﯽﻣ

دﻮﺷ :

ﺎﺑ ضﺮﻓ ﺖﺑﺎﺛ

ندﻮﺑ صاﻮﺧ

،ﯽﺗراﺮﺣ ﻦﯾا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ار

ﯽﻣ ناﻮﺗ ﻪﺑ

ترﻮﺻ ﺮﯾز

ﺖﺷﻮﻧ :

ياﺮﺑ ﻦﯾا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻢﯾراد

:

f f

_t

  

²

 

 

 







 





 







 

 

 







 



z k T z

y k T y

x k T x

t

 CT

 T T T  T

T

_t

 

_xx



_yy



_zz

  

²

   0 0

4 0

4

²

2

 AC    

B

(11)

يﻮﻟﻮﻟﺬﻫ تﻻدﺎﻌﻣ )

Hyperbolic (

ﻪﻟدﺎﻌﻣ 

،جﻮﻣ ﺞﯾار

ﻦﯾﺮﺗ ﻦﯾا

ﻞﺋﺎﺴﻣ ﺖﺳا

ﻪﮐ رد ﮏﯿﻣﺎﻨﯾد

،ﺎﻫزﺎﮔ تﺎﺷﺎﻌﺗرا

و ...

دﺮﺑرﺎﮐ دراد

.

ﻪﻟدﺎﻌﻣ جﻮﻣ

ﯽﻄﺧ ﻪﺒﺗﺮﻣ

،لوا ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز ﻪﺘﺷﻮﻧ ﯽﻣ

دﻮﺷ :

ﻦﯾﺮﻤﺗ :

ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﻪﻟدﺎﻌﻣ جﻮﻣ

ﯽﻄﺧ ﻪﺒﺗﺮﻣ

،لوا ﻪﻟدﺎﻌﻣ

جﻮﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ

2 ار ﺖﺳد ﻪﺑ ﺪﯾروآ

.

f c

f

_tt



²



²

 0



 



x c u t

u

(12)

شور يﻮﻀﯿﺑ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يﺎﻫ

)

Elliptic

(

(13)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

Domain f(x,y)

Boundary Conditions

x y

فﺪﻫ

: ﻞﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ سﻼﭘﻻ

) ﺎﯾ نﻮﺳآﻮﭘ (

ﺎﺑ ﻂﯾاﺮﺷ يزﺮﻣ

ﺺﺨﺸﻣ ﺖﺳا

.

 x y 

F f

f

f f

yy xx

, 0









(14)

دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور )

Finite Difference (

رد  ﻦﯾا

،شور اﺪﺘﺑا

مزﻻ ﺖﺳا

ﻪﮐ ناﺪﯿﻣ ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ

ار ﻪﮑﺒﺷ يﺪﻨﺑ

ﻢﯿﻨﮐ .

x y

i i+1 i_max

i-1 j-1

j j+1 j_max

1 1

2 2

رد ﺎﺠﻨﯾا ضﺮﻓ

ﯽﻣ ﻢﯿﻨﮐ ناﺪﯿﻣ

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ ياراد

ﻪﮑﺒﺷ ﻢﻫ

هزاﺪﻧا رد

يﺎﺘﺳار و

x

ﺖﺳا

y

. هزاﺪﻧا

ﻪﮑﺒﺷ رد

ﺮﻫ

،ﺎﺘﺳار

و

Δx

ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ

Δy

.

دراﻮﻣ ﺮﯾز

ار ﻪﺑ ترﻮﺻ يدادراﺮﻗ

رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ :

 

j x i j

i

f

x f x

y x

f

,

, 



 



 x

_i

y

_j

 f

_i _j

f , 

_,

 

j xx i

j

i

y f f

x f

, 2 2

,  

 

(15)

Finite Difference (

رد  ﺖﻟﺎﺣ ﺐﯾﺮﻘﺗ ،ﯽﻠﮐ

ﻪﺒﺗﺮﻣ مود

يﺰﮐﺮﻣ ياﺮﺑ

ﻖﺘﺸﻣ مود

ﻊﺑﺎﺗ رد

ﻪﻄﻘﻧ ترﻮﺻ ﻪﺑ i,j

ﺮﯾز ﺖﺳا :

ياﺮﺑ ﻖﺘﺸﻣ

مود رد ﺖﻬﺟ ﻢﻫ y

ﯽﻣ ناﻮﺗ ﺖﺷﻮﻧ

:

2

, 1 ,

2 x

f f

f

_xx _i _j

f

ⁱ ^j ⁱ ^j ⁱ ^j







^



^

2

1 ,

, 1

, ,

2 y

f f

f

_yy _i _j

f

ⁱ ^j ⁱ ^j ⁱ ^j







^



^

(16)

Finite Difference (

ﻪﻟدﺎﻌﻣ سﻼﭘﻻ

ود يﺪﻌﺑ ار

رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ :

ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ

هﺪﺷ زا

ﺐﯾﺮﻘﺗ فﻼﺘﺧا

دوﺪﺤﻣ ياﺮﺑ

ﺮﻫ ﮏﯾ زا ﻪﻠﻤﺟ ﺎﻫ

ار رد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾﺰﮕﯾﺎﺟ

ﯽﻣ ﻢﯿﻨﮐ :

رد ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ تﻻدﺎﻌﻣ

ار ﺮﺑ ﺐﺴﺣ راﺪﻘﻣ

ﻊﺑﺎﺗ رد ﻪﻄﻘﻧ ﺐﺗﺮﻣ

i,j

،ﻢﯿﻨﮐ ﻢﯾراد

:

 0



_yy

xx

f

2 0 2

2

1 ,

, 1

, 2

, 1 ,

,

1







 







_ _ _



y

f f

f x

f f

f

_i _j _i _j _i _j _i _j _i _j _i _j

 1  0

2

² _,

1 2 ,

, 1 1

2 , ,

1



_



_



_

  

 j i j i j i j i j

i

f f f f

f   



²



^, ¹

, 2 1 1

2 , ,

1

,

2 1 







ⁱ^ ^j



ⁱ ^j^ ⁱ^ ^j ⁱ ^j^

j i

f f

f f f

y x



 



(17)

Finite Difference (

رد  ﺖﻟﺎﺣ ﯽﺻﺎﺧ

ﻪﮐ هزاﺪﻧا ﻪﮑﺒﺷ

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ رد

ود ﺖﻬﺟ ﺎﺑ

ﻢﻫ ﺮﺑاﺮﺑ ﺖﺳا

)

Δx=Δy

(:

ﻪﻄﺑار  قﻮﻓ

ﮏﯾ ﺮﯿﺴﻔﺗ

هدﺎﺳ دراد

و نﺎﺸﻧ ﯽﻣ

ﺪﻫد رد

ﻪﮐ ﯽﺘﻟﺎﺣ ﻪﮑﺒﺷ

ود ﺖﻬﺟ

ﺮﺑاﺮﺑ

،ﺖﺳا

،ﻪﻟﺎﺴﻣ باﻮﺟ

هدﺎﺳ يا

دراد . ﯽﻨﻌﯾ راﺪﻘﻣ

ﻊﺑﺎﺗ رد

ﻪﻄﻘﻧ ﺎﺑ

i,j

ﻂﺳﻮﺘﻣ ﯽﺿﺎﯾر

نآ رد

طﺎﻘﻧ .ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ ،فاﺮﻃا

رد  ﺖﯾﺎﻬﻧ ﺎﺑ

ﻞﺣ ﻪﻄﺑار

شور فﻼﺘﺧا

دوﺪﺤﻣ ﯽﻣ

ناﻮﺗ راﺪﻘﻣ

ﻊﺑﺎﺗ ار

رد طﺎﻘﻧ لﻮﻬﺠﻣ

ناﺪﯿﻣ

ﯽﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ

دروآ . ﻦﯾا رﺎﮐ مﺰﻠﺘﺴﻣ ﻞﺣ

هﺎﮕﺘﺳد تﻻدﺎﻌﻣ

ﺖﺳا . ياﺮﺑ ﻞﺣ

هﺎﮕﺘﺳد تﻻدﺎﻌﻣ

ﯽﻣ ناﻮﺗ زا

شور يﺎﻫ

ﻞﺣ ﻪﮐ رد لﻮﺼﻓ ﺶﯿﭘ

ﺢﯾﺮﺸﺗ

،ﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا

دﺮﮐ .

ﺶﻘﻧ ﻪﮑﺒﺷ

يﺎﻄﺧ شور

؟ﺖﺴﯿﭼ



₁_, _, ₁ ₁_, _, ₁



,

, 1

, ,

1 1

, ,

1

4 1

0 4















j i j

i j

i

j i j

i j

i

f f

f

f f

f

(18)

Finite Difference (

لﺎﺜﻣ : ﻪﻟﺎﺴﻣ لﺎﻘﺘﻧا

تراﺮﺣ ﯽﺘﯾاﺪﻫ

رد ﻢﺴﺟ ﺪﻣﺎﺟ

ار رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ

. هﺪﺷ ﺮﮐذ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑﻪﺤﻔﺻ رد ﺎﻣد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ فﺪﻫ ﺖﺳا

.

؟ﺖﺴﯿﭼ ﻞﺣ ﻞﺣاﺮﻣ

 0



_yy

xx

T

(19)

Finite Difference

(

(20)

Finite Difference (

؟ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻦﯾا ياﺮﺑ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ طﺮﺷ ﺎﯾآ

(21)

Advanced Numerical Methods 101

يزﺮﻣ طﺮﺷ لﺎﻤﻋا

Dirichlet Boundary Condition:

Neumann Boundary Condition:

Mixed Boundary Condition:

؟ﺖﺴﯿﭼ ﯽﺗراﺮﺣ ﺖﯾاﺪﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﻦﯾا زا ﮏﯾ ﺮﻫ ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ ﺮﯿﺴﻔﺗ ﻊﺑﺎﺗ راﺪﻘﻣ ﺖﻟﺎﺣ ماﺪﮐ رد )

يژﺮﻧا ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﺎﻣد ﻼﺜﻣ (

؟ﺖﺳا لﻮﻬﺠﻣ زﺮﻣ رد

ضﺮﻓ  ﺪﯿﻨﮐ

رد لﺎﺜﻣ

،ﻞﺒﻗ ﻪﺤﻔﺻ

ﺖﻤﺳ

،ﺖﺳار ﻖﯾﺎﻋ

ﺪﺷﺎﺑ . رد ﻦﯾا ترﻮﺻ ﻖﺘﺸﻣ

رد ﺖﻬﺟ رد x

طﺎﻘﻧ يور

ﻪﺤﻔﺻ ﺖﻤﺳ

،ﺖﺳار ﺮﻔﺻ

ﺖﺳا .

ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻠﮐ

ترﻮﺻ ﻪﺑ FDE ﺮﯾز

ﺖﺳا :

ﯽﻣ ار ﺖﺳا زﺮﻣ ﻞﺧاد طﺎﻘﻧ مﺎﻤﺗ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا ﺎﯾآ

؟ﻢﯿﻨﮐ لﺎﻤﻋا ﻢﻫ يزﺮﻣ طﺎﻘﻧ ياﺮﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ

 1  0

2

² _,

1 2 ,

, 1 1

2 , ,

1



_



_



_

  

i

f f f f

f   

(22)

يزﺮﻣ طﺮﺷ لﺎﻤﻋا

ﻖﺘﺸﻣ ﯽﺋﺰﺟ

رد يﺎﺘﺳار رد x

هﺮﮔ يزﺮﻣ

ار ﯽﻣ ناﻮﺗ ﻪﺑ

:دروآ ﺖﺳد ﻪﺑ FDE شور زا ﺮﯾز ترﻮﺻ

ﻪﻟدﺎﻌﻣ حﻼﺻا

هﺪﺷ رد

زﺮﻣ ﺎﺑ ﺐﯿﮐﺮﺗ تﻻدﺎﻌﻣ

قﻮﻓ ﺖﺳد ﻪﺑ

ﯽﻣ ﺪﯾآ :

 

²

, 1 ,

1

,

2 O x

x f

f

_x _i _j

f

ⁱ ^j ⁱ ^j

 





^



^

 1  0

2

² _,

1 2 ,

, 1 1

2 , ,

1



_



_



_

  

i

f f f f

f   

x f

f

_i_₁_, _j



_i_₁_, _j

 2

_x _i_, _j



  f f x

f f

f

_i_, _j_₁



_i_₁_, _j



² _i_, _j_₁

 

² _i_, _j

 

_x _i_, _j



2

2  2 1  2

