کنترل سینماتیکی وضعیت آرایش سه جرم صفحه ای متصل به هم به وسیله تغییر طول اتصالات

(1)

لماک یشهوژپ هلاقم رد خیرات ی تفا 42 / 6 / 99

ذپ خیرات ی شز 8 / 99 / 99

هئارا رد اس ی ت 03 / 2 /

94 929-947 صص7 هرامش90 هرود ،9094زهم

لرتنک یکیتاونیس

تیعضو شیارآ

هس مرج هحفص

یا لصته هب

نه

هب هلیسو رییغت

لوط تلااصتا

یداه مراکم

، 1

نسح هیرلااس

2

، *

اضرملاغ یقوثو

، 3

ایرآ یتسلا

3

1 - ،هیًبىه یؾسٌْه سقضا یؾبٌقضبو یَدكًاز ىاطْت ،فیطق یتقٌن ُبگكًاز

2 - ىاطْت ،فیطق یتقٌن ُبگكًاز ،هیًبىه یؾسٌْه ضبیكًاز

3 - ىاطْت ،فیطق یتقٌن ُبگكًاز ،هیًبىه یؾسٌْه زبتؾا

* یتؿپ قٍسٌن ،ىاطْت 9567

- 11155 ، salarieh@sharif.ir

هدیکچ - ضز يیا

،ِلبمه لطتٌو توطح هی نتؿیؾ

ِحفن یا هیهًََلَّطیغ بث

ضبْچ

ِخضز یزاظآ زضَه

ِقلبغه ضاطل یه زطیگ . ضز نتؿیؾ زضَه

،یؾضطث

ِؾ طگلوف یلطتٌو

ِفیؽٍ

لطتٌو لىق نتؿیؾ اض طث

ُسْف سًضاز . يیٌچوّ

وطف مسف ضٍبتكگ یخضبذ

ٍ طفن ىزَث

ًِبىت

ِیٍاظ

،یا هی سیل

هیهًََلَّطیغ

ِث

ِلأؿه یه سیاعفا . استثا ىبكً

ُزاز یه زَق

ِو تلازبقه

ُزبؾ سق

ٓ توطح يیا نتؿیؾ

ِچطگا لثبل لیسجت

ِث تلازبقه نتؿیؾ

ٍ يطجًعیبّ

مطف

ُطیدًظ یا

،تؾا ـٍض یبّ

فضبقته لطتٌو

،بًْآ ضز زضَه يیا نتؿیؾ

َگرؾبپ یً

تؿ .

ُبگًآ یاطث يیا

،نتؿیؾ

ِث

ٍز ـٍض زَه

یقعغل

ٍ یحاطع

ِؾحل یا

،طیؿه يیًاَل یلطتٌو

ِتؿث ضاسه یحاطع

یه زَق

ِو ىآ اض ظا طّ

ططق

ِیلٍا

ِث طّ

تیقضٍ

لزبقت

ُاَرلز

ُسًبؾض نتؿیؾ

اض لَح ىآ ضاسیبپ سیبوً

. حیبتً

ِیجق یظبؾ

، یسهآضبو ـٍض یبّ

یزبٌْكیپ اض

ىبكً

یه سّز .

دیلک

‌ :ناگشاو

ُضاَّبه لىق طییغت ،لطتٌو ،هیهًََلَّطیغ ،سٌوو بث لهته یبّ

.

Kinematic attitude control of three pairwise connected in-plane masses by varying the lengths of the links

H. Makarem¹, H. Salarieh², G.R. Vossoughi³, A. Alasty³

1- MSc. Student, Mech. Eng., Sharif Univ. of Tech., Tehran, Iran 2- Asso. Prof., Mech. Eng., Sharif Univ. of Tech., Tehran, Iran 3- Prof., Mech. Eng., Sharif Univ. of Tech., Tehran, Iran

* P.O.B. 11155-9567 Tehran, Iran. salarieh@sharif.ir

Abstract- Motion control of a planar nonholonomic system with four DOM is addressed in this paper. Three actuators (are responsible for) shape control for this system. Furthermore, assuming no external forces and zero angular momentum imposes a nonholonomic constraint to the problem. First it is shown that although the simplified equations of motion for this system could be converted to Heisenberg and chained-form systems, the conventional control methods for these systems may not be applied to the considered problem. Then, using sliding modes and online path planning, two different closed-loop control laws are designed, bringing the system to and stabilizing around any desired equilibrium state started from any initial condition. Simulation results show the efficiency of the proposed methods.

Keywords: Tethered Satellites, Nonholonomic, Control, Shape Change.

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]

(2)

1 -

‌ همدقم

‌

ضز

ِّز یبّ

،طیذا یظبؾضاسیبپ نتؿیؾ

یبّ

،لبقفطیظ زضَه

ِخَت

یزبیظ ضاطل

ِتفطگ تؾا . زاسقت یزٍضٍ

یبّ

یلطتٌو ضز

نتؿیؾ یبّ

،لبقفطیظ ظا

زاسقت تبخضز یزاظآ بًْآ طتوو

ُزَث

ٍ

يیا

،ؿَضَه

ِلأؿه لطتٌو بًْآ اض

ُسیچیپ طت ظا نتؿیؾ یبّ

ًلاهبو

لبقف یه سیبوً

. هی

ًَِوً

نتؿیؾ لبقفطیظ ضز

ُضاَّبه ییبّ

تؾا

ِو یزاسقت ظا خطچ یبّ

ؽىف یلوقلا زَذ اض ظا تؾز

ُزاز سقبث

[ 1 ].

لٍسًبپ ؼَىقه طث یٍض هی

ُسًعغل عیً

ًَِوً

یطگیز ظا

نتؿیؾ یبّ

لبقفطیظ [ تؾا 2 ].

ِثطگ ضز لبح طَمؾ

ًَِوً

ضَْكه یطگیز ظا يیا

ًَِگ نتؿیؾ تؾبّ

ِو یگتؿیبپ

ًِبىت

یٍاظ

ِ یا

، هی سیل لاطگتًا طیصپبً

تفطؾ

ِث ىآ

ِویوض

ُزطو

ٍ ىآ

اض

ِث هی نتؿیؾ هیهًََلَّطیغ لیسجت

یه [ سٌو 3 ].

تبثض یبّ

خطچ ضاز عیً

ًَِوً

ییبّ

ظا نتؿیؾ یبّ

هیهًََلَّطیغ سٌتؿّ

.

ضز يیا نتؿیؾ بّ

طییغت لىق یبّ

یلذاز

ِث ىاٌَف یىی ظا

لهاَف یلطتٌو زضَه

ِخَت ضاطل یه زطیگ .

ِث ىاٌَف

،لبثه ضز

ضَضح یگتؿیبپ

ًِبىت یٍاظ

ِ یا

، طییغت تْخ یطیگ نتؿیؾ عخ ظا

كیطع طییغت لىق یبّ

یلذاز ىبىها طیصپ ً [ تؿی 1 ].

ظا یَؾ

طگیز طث ؼبؾا

ِیضل تواطث [1

4 ]،

هی ىًَبل یلطتٌو ضاَوّ

ٍ

لمتؿه ظا

،ىبهظ یوً

سًاَت يیٌچ نتؿیؾ ییبّ

اض تضَن ِث

یجًبده ضاسیبپ سٌو . يیا

ِیضل

ِخَت ىبممحه اض

ِث توؾ يیًاَل

یلطتٌو بث تیقثبت حیطن ظا

،ىبهظ يیًاَل كتكه طیصپبً

ٍ بی

ِتؾَیپبً

تیاسّ

ُزطو [ تؾا 5 - 7 .]

ِث

ٍُلاف

ُبگسیز یؾسٌّ

،عیً

یبّضاعثا یسٌوتضسل یاطث

لسه یظبؾ

،

،لیلحت یحاطع طیؿه

ٍ لطتٌو يیا نتؿیؾ بّ

ضز ضبیتذا ضاطل

ُزاز تؾا [ 5

، 8

، 9 ].

ضز يیا

،ِلبمه هی نتؿیؾ 4

ِخضز یزاظآ بث

ِؾ طگلوف زضَه

یؾضطث ضاطل یه زطیگ . يیا نتؿیؾ ظا

ِؾ مطخ

ِحفن یا لیىكت

ُسق

ِو بث

ِؾ

ِلیه

ِث طگیسىی لهته

ُسق

ٍ هی فیاضآ یثلثه

زبدیا زطو

ُ سًا . يیا نتؿیؾ سلبف طّ

ًَِگ یٍطیً

ِوطحه

،تؾا

بها لَع

ِلیه بّ

لثبل نیؾٌت

ُزَث

ٍ توطح یًاضٍز

ٍ لىق

فیاضآ ظا يیا كیطع لثبل لطتٌو تؾا . یگتؿیبپ

ًِبىت

ِیٍاظ

،یا

يیا فیاضآ اض

ِث هی نتؿیؾ هیهًََلَّطیغ لیسجت

ُزطو تؾا .

زطثضبو يیا نتؿیؾ

ِث

ُػیٍ

ضز

ِقلبغه فیاضآ

ُضاَّبه یبّ

لهته

بث

2سٌوو تؾا . فیاضآ

ُضاَّبه بّ

لهبق یزاسقت

ُضاَّبه تؾا

ِو

لىق ینبذ اض ضز بضف زبدیا زطو

ُ سًا

ٍ لبهتا سٌوو ىبیه

،بًْآ

1. Brockett

2. Tethered Satellite Formation

لىق فیاضآ اض ىٍسث ظبیً

ِث یٍطیً

،ىاطكیپ تثبث

ِگً

یه زضاز

[ 10

، 11 ].

ظا زطثضبو یبّ

یلنا يیا نتؿیؾ

،بّ

طیَهت

،یضازطث

سیلَت یغطًا

ٍ زبدیا

ِثشبخ یفٌَهه ضز

بضف اض یه ىاَت مبً

زطث

[ 12 - 14 ].

ُزبؾ يیطت

ٍ یىی ظا نْه يیطت فیاضآ یبّ

لهته بث

،سٌوو فیاضآ یثلثه

ُضاَّبه بّ

تؾا

ِو ظا

ِؾ

ُضاَّبه لهته

ِث

طگیسىی لیىكت

ُسق

ٍ هیهبٌیز

ٍ لطتٌو ىآ ضز تلابمه زسقته

زضَه

ِقلبغه ضاطل

ِتفطگ تؾا [ 11

، 15 - 17 ].

لسه

ٍ ـٍض

یلطتٌو

ِئاضا

ُسق ضز

ِلبمه

،طضبح یه سًاَت ضز قلبغه

ِ یا ي

نتؿیؾ

ٍ نتؿیؾ یبّ

ِثبكه زضَه

ُزبفتؾا ضاطل زطیگ .

فسّ

يیا

،ِلبمه لطتٌو نّ

ىبهظ لىق

ٍ تْخ یطیگ يیا

فیاضآ

ٍ تیاسّ

ىآ ظا طّ

تیقضٍ

ِیلٍا

ِث طّ

تیقضٍ

ةَلغه

تؾا يیسث . ضَؾٌه یاطث يیا نتؿیؾ استثا هی لسه یىیتبوٌیؾ

ِئاضا

ُسق

ٍ

ِلزبقه یگتؿیبپ

ًِبىت

ِیٍاظ یا طث یبٌجه ىآ

جاطرتؾا یه

زَق .

ُبگًآ بث ؿیبمه

ِ یا ي نتؿیؾ بث زضاَه

ِثبكه

،طگیز

ُسّبكه یه زَق

ِو بث

ِخَت

ِث تیزٍسحه

ُظبث فیطقت

یبّطیغته

،تلبح طثوا ـٍض یبّ

یلطتٌو زبٌْكیپ

،ُسق یاطث

يیا نتؿیؾ لثبل

ُزبفتؾا تؾا . ؽپ ظا ىآ

ِث

ٍز ـٍض فلتره

یاطث يیا نتؿیؾ ىًَبل یلطتٌو یحاطع

ٍ حیبتً

ِیجق یظبؾ ىآ

ِئاضا یه زَق

ٍ بث

ِؿیبمه

،بًْآ طبمً

تَل طّ

ماسو زضَه یؾضطث

ضاطل یه زطیگ .

2 -

‌ لدم

‌ یزاس

نتؿیؾ زضَه

ِقلبغه لىكته ظا

ِؾ مطخ

ِغمً

یا ضز طؾً

ِتفطگ

ُسق

ِو بث

ِلیه یبّ

ىٍسث مطخ

ِث طگیسىی لهته

ُسق سًا . وطف

طث يیا تؾا

ِو

ِلیه بّ

یاضاز لَع طیغته

ٍ لثبل لطتٌو سٌتؿّ

ٍ لَع بًْآ بٌْت لهاَف یلطتٌو نتؿیؾ تؾا . بث يیا تیوطت ظا

یزٍضٍ

،بّ

ًِبىت یبّ

یغذ

ٍ

ِیٍاظ یا لطتٌو طیصپ سٌتؿیً

.

يیاطثبٌث

ًلاٍا توطح یلبمتًا عوطه مطخ ظا طیبؾ توطح یبّ

ىآ

هیىفت

ُسق

ٍ طث توطح ضز

ُبگتؾز عوطه مطخ عوطوت یه زَق .

يیٌچوّ

وطف طث يیا تؾا

ِو چیّ

ًَِگ ضٍبتكگ یخضبذ طث

نتؿیؾ لبوفا

ُسكً

ٍ

ًِبىت

ِیٍاظ یا لو نتؿیؾ

ُضاَوّ

طثاطث

طفن یلبث یه سًبه .

ِث

ٍُلاف ظا بدًآ

ِو

ِحفن یطیگضاطل يیا

فیاضآ

،یثلثه بث لطتٌو لَع تلابهتا طییغت یوً

،سٌو توطح ِث

یلو ضَع ىٍضز

ِحفن

ِقلبغه یه زَق . يیٌچوّ

استثا تلازبقه

توطح یاطث تیوطت

ُاَرلز مطخ مبؿخا

ُسق جاطرتؾا

ٍ ؽپؾ

لبذ تلبح یاطث مطخ

یبّ

ىبؿىی ضاطل یؾضطث زضَه یه

زطیگ .

(3)

یبوً

هیتبوق نتؿیؾ

ضز لىق 1 ىبكً

ُزاز

ُسق تؾا . يیا

نتؿیؾ ضز توطح

ِحفن یا ضز

ُبگتؾز عوطه

،مطخ یاضاز ضبْچ

ِخضز یزاظآ تؾا

؛ ضز یلبح

ِو بٌْت

ِؾ یزٍضٍ

ِث نتؿیؾ زضاٍ

یه زَق .

ٍُلاف طث يیا طفن ىزَث

ًِبىت یٍاظ

ِ یا

،

ِلزبقه یا ىبیه

تفطؾ بّ

ضاطلطث یه سٌو

ِو

ِث ىاٌَف هی سیل طیغ هیهًََلَّ

یاطث نتؿیؾ

ِث ضبوق یه زٍض .

ضز يیا توؿل فسّ

ةبرتًا

ُبگتؾز یتبهتره تؾا

ِو

تلازبقه توطح ضز ىآ ىبیث

ُزبؾ یا اسیپ سیبوً

.

ِچًبٌچ X1

، X2

، X3

ضازطث ىبىه مطخ یبّ

ِغمً

یا ضز

بگتؾز

ُ یا یؾطٌ

عوطه مطخ سقبث یه ، تقًَ ىاَت :

1X1 2X2 3X = 03

m m m )1(

بث فیطقت هی ثلثه

ِیبپ بث یبّضازطث ؼَئض

تثبث X1

، X2

، X3

ِث

یضَع

ِو :

1 1x 2x2 3x = 03

m m m )2(

ضازطث ىبىه مطخ بّ

یه سًاَت

ِث تضَن

ِغثاض ( 3 )

ِتقًَ

زَق :

X = A( ) x ,_i t _i i = 1, 2,3 )3(

ِو ضز ىآ هی A ؽیطتبه یقثطه

ٍز ضز

ٍز

ُزَث

ٍ

ِیاضز یبّ

ىآ

یه سًاَت

ِث ىاٌَف تبهتره نیوقت

ِتفبی ضز طؾً

ِتفطگ زَق .

ؽیطتبه یه اضA

تضَن ِث ىاَت یجغل

:زَوً ِیعدت

AQS )4(

ِو ضز ىآ ىضبمتهS

ٍ سهبقتهQ

ُػیٍ

تؾا . ىبكً

یه ُزاز زَق

ِو ؽیطتبه بٌْتS

ـثبت لَع

ِلیه تؾبّ

. ضز يیا تضَن یه ىاَت

اض S ؽیطتبه طییغت لىق

ٍ اض Q ؽیطتبه ىاضٍز تؿًاز

ٍ ث

ِ

یا ي تیتطت توطح لَح عوطه مطخ اض

ِث

ٍز فرث طییغت لىق

ٍ

ىاضٍز

ِیعدت زَوً

. یاطث يیا ضَؾٌه ظا فیطقت لَع

ِلیه یبّ

l1

، l2

ٍ l3

ُزبفتؾا یه زَق .

ِث ِخَت بث لاَذ

ؽیطتبه یٍبؿت Q

Q^TQ=I ضاطلطث ُضاَوّ

تؾا

ٍ يیاطثبٌث یاطث تكگیبخ طّ

(i, j, k) ظا (1,2,3) یه ىاَت

( ِغثاض 5 اض ) تقًَ

.

‌لکش 1 بوً

ی تبوق ی ه ؾ ی نتؿ

ِقلبغه زضَه

‖ ‖ }

( ) ( ) )5(

( ِغثاض 5 ظا ِو تؾا لمتؿه ِلزبقه ِؾ لهبق ) بًْآ

ؽیطتبه S

ِث ىاٌَف یقثبت ظا l1

، l2

ٍ l3

ِث تؾز یه سیآ . يیاطثبٌث

ًلاقف

تبهتره نیوقت

ِتفبی اض

ِث تضَن l1

، l2

ٍ l3

ٍ

ِیٍاظ ىاضٍز 𝜃

ىاضٍز ؽیطتبه طیؾً

ضزQ طؾً

یه ِتفطگ زَق

.

ِیٍاظ

ُسٌیبوً 𝜃

تْخ یطیگ یلو فیاضآ ضز

ِحفن

ُزَث

ٍ ضز تضَن تثبث ىسًبه

لَع

ِلیه

،بّ

تاطییغت ىآ

ث طگًبی ىاعیه ىاضٍز تلن نتؿیؾ

تؾا . ِث يیا تیتطت بث فیطقت u1

، u2

ٍ u3

ِث ىاٌَف یزٍضٍ

یبّ

،نتؿیؾ تلازبقه یلطتٌو ىآ ظا ِؾ :ِغثاض

( 6 )

ٍ

ِلزبقه یگتؿیبپ

ًِبىت

ِیٍاظ

،یا لیىكت یه زَق .

ًِبىت

ِیٍاظ یا

ظا ( ِغثاض 7

ِث ) تؾز یه سیآ :

3

=1

H = _iX_i X_i

i

m 



⁾⁷⁽

بث ِغثاض ظا یطیگ كتكه 0

( 3 ) طث ضاز X_i

ِجؾبحه یه زَق :

X = QSx X = Q( JS S)x ,

0 1

J = 1 0

i i  i   i

  

 

  )8(

ِغثاض ضز یضازطث ةطض (

7 ) ( ِغثاض لىق ِث 9

یه یؿیًَظبث ) زَق

:

X_i X = (Sx ) (( JS S)x )_i _i    _i )9( ةطض یخضبذ

ٍز ضازطث

ِحفن یا ٍ a یضازطث b زَوف طث

ِحفن

تؾا

ِو

ِفلؤه مَؾ ىآ ظا ِغثاض (a×b)3=-a^TJb تؾز ِث

یه سیآ . يیاطثبٌث ضازطث

ًِبىت

ِیٍاظ یا یضازطث زَوف طث

ِحفن

توطح تؾا

ِو بٌْت

ِفلؤه ىآ

ِث لىق طیظ

∑

( ) ((𝜃̇ ̇) )

∑

(𝜃̇ ̇)

∑

( 𝜃̇ ̇ )

( 10 ) طگا لىق

ِیبپ ىبٌچ ةبرتًا زَق

ِو نیقبث ِتقاز

3

=1 x x = I

2

T

i i i

i

m m



ِو ضز ىآ ؽیطتبه I یًبوّ

̅ ٍ

مطخ ظؾَته

ِؾ نؿخ

،تؾا ( ِغثاض 10 یه اض ) تضَن ِث ىاَت

(4)

( ِغثاض 11 ) یؿیًَظبث زطو

:

̅ ̅𝜃̇ ^̇ ̅

̇ ̇ )11(

ؽپؾ بث H=0وطف یه تقًَ ىاَت :

̅𝜃̇ ^̇ )12(

يیا

ِلزبقه

ِغثاض اض 𝜃̇

بث ٍ̇ مركه یه

سٌو . ىٌَوا سیبث

Īتیطض طث تؿح لَع

ِلیه بّ

ِجؾبحه زَق . ظا يیا ؽپ مطخ بّ

طثاطث وطف

ُسق یه ُزبؾ طیظ تضَن ِث ِیبپ لىق فیطقت ٍ :زَق

∑

)13(

یاطث تكگیبخ جٍظ

(i,j,k) ظا (1,2,3) یبّضازطث dk

ٍ Dk

فیطقت طیظ لىق ِث یه

زَق :

d = x x

D = X X

k j i



 )14(

ِغثاض ِث ِخَت بث يیاطثبٌث (

3 ) یه :تقًَ ىاَت

( 15 )

توؾ پچ

ِلزبقه قَف

ِث هوو ظثاٍض طیظ

( 16 ) ( ) { } { }

ثب فیطقت

، ؽیطتبه S² ِغثاض ظا ( 15 ) :نیضاز

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3

2 1

S = ( φ φ φ ) ( )I

3 l l l 3 l l l )17(

ٍ يیاطثبٌث تیطض Ī ِغثاض ضز 0 ( 11 ) یه ِجؾبحه زَق

:

2 2 2 2

1 2 3

1 1

= tr(S ) = ( )

2 3

I l l l )18(

یزسف تیوو يیٌچوّ

ِغثاض ضز ̇

( 11 ) یقثبت تضَن ِث

ِلیه لَع ظا بّ

سٌچ طّ ،تؾا ىبیث لثبل بًْآ لَع طییغت خطً ٍ

ُسیچیپ ضبو يیا

ِجؾبحه سٌیآطف ظا طت Ī

ِجؾبحه معلتؿه ٍ ُزَث

ؽیطتبه

ِلیه لَع تؿح طث S ِغثاض ظا بّ

( 17 ) ؽپؾ ٍ

ِجؾبحه كتكه بث ̇

.تؾا ىبهظ ِث تجؿً ىآ ظا یطیگ

یه ُسّبكه لحاطه يیا مبدًا بث تیطض ِچطگا ِو زَق

Ī ِث

ظا یقثبت ىاٌَف l1

، l2

ٍ

l3

ُزبؾ تضَن ِث

،تؾا ُسق ىبیث یا

ِغثاض

ِلیه لَع تؿح طث ̇

لىق بًْآ لَع طییغت خطً ٍ بّ

ُسیچیپ یه زَذ ِث یا

ِلزبقه اصل ٍ زطیگ (

12 ) زَذ ُزبؾ لىق

تبهتره ِو تؾا تؾبٌه يیاطثبٌث .زاز سّاَذ تؾز ظا اض تضَن ِث يیا ظا فیپ ِو ِتفبی نیوقت (l1,l2,13, 𝜃)

فیطقت

ِلزبقه ِو زَق فیطقت ظبث ىبٌچ ُسق (

12 ) ِث اض زَذ ُزبؾ ىبیث

.زضٍآ تؾز لٍسخ ضز ِتفبی نیوقت تبهتره طییغت سٌیآطف

1

.تؾا ُسق ُزاز ىبكً

‌لودج 1 طییغت یبّطیغته یلاَته

فیطقت

بّطیغته بّطیغتهطییغتحیبتً

√ √

̅

̇ √

̇ ̇ 𝜃̇ √

̇ ̇

√

√ √ √

𝜃̇ ̇

(5)

تیوو یبخ ِث ؼبؾا يیا طث یبّ

l1

، l2

ٍ l3

طیغته ِؾ

سیسخ ،ρ μ ٍ ث بًْآ ظا ماسو طّ ِو ُسق یفطقه ِث طیظ لىق ِ

ِلیه لَع ظا یقثبت تضَن :تؾا ىبیث لثبل بّ

√

)19(

لَع ؿلاضا طث ρ تؿح ، μ ٍ ظا اض ظثاٍض طیظ :نیضاز

 

2 2

1 2 3

= 1 2 1 cos( )

3

2 2

= , = , = 0

3 3

i i

l     

 

  

   

    )20(

ةبرتًا بث تضَن يیا ضز 𝜃

ِث نیوقت تبهتره ىاٌَف

( ِغثاض ،ِتفبی 12

) یه ُزبؾ طیظ تضَن ِث :زَق

= 2

   )21(

بث يیٌچوّ

كتكه ظثاٍض ظا یطیگ (

20 ) ىبهظ ِث تجؿً

فیطقت ٍ

1

w d

dt  ، 

2

w d

dt

ٍ 

3

w d

dt  یزٍضٍ ، 

یلطتٌو یبّ

u1

u2،

ٍ u3

تؿح طث w1

w2 ، ٍ w3

لثه

ِغثاض ( 22 ) یه زَق :

 

3 2 2 1

2

1 2 cos

3 1

1 sin

3

i

i i

l

u d l w

dt l w

l w



   



    

 

   



    )22(

یفطقه بث ؽپؾ w1

، w2

ٍ w3

یزٍضٍ ىاٌَف ِث یبّ

یه اض توطح تلازبقه ،یلطتٌو نتؿیؾ ِث يیعگیبخ ىاَت

ِث

تضَن ( ِغثاض 23 ) یؿیًَظبث زطو

:

̇ ̇ ̇ 𝜃̇ )23( ظثاٍض ضز يیا ظا فیپ ِو یلطتٌو تلازبقه ،تیتطت يیسث (

6 ) ٍ

( 12 ) یه ،تؾا ُسق یفطقه لازبقه ِث ِخَت بث سًاَت

( ت 19 )

ٍ

( 22 ) ( ظثاٍض بث ، 23

.زَق يیعگیبخ ) بث

ِخَت

ِث ( ِغثاض 20 μ )،

یاضاز سقث ـثطه لَع

ُزَث

ٍ یگضعث

ٍ یىچَو فیاضآ یثلثه اض

ىبكً

یه

؛سّز يیٌچوّ

ىاعیه ρ فاطحًا ظا لىق یٍبؿته

ؿلاضلاا اض ىبیث یه سٌو

ِث یضَع ρ = 0 ِو

ىبكً

ُسٌّز فیاضآ

یٍبؿته ؿلاضلاا ρ = √ ٍ

طگًبیث فیاضآ یغذ تؾا . يیا

ضز یلبح تؾا ϕ ِو طیجقت یؾسٌّ

ُزبؾ یا

ِتقاسً

ٍ یه ىاَت ىآ

اض

ِث ىاٌَف فیطقت یضبیض لىق( تفطیصپ 2

.)

‌لکش 2 ρ فمً

ϕ ٍ یثلثه فیاضآ لىق ضز

ِتىً

تلبخ

ِخَت ضز تلازبقه (

23 )

ُزٍسحه ظبده طییغت

بّطیغته تؾا . بث

ِخَت

ِث لٍسخ 1

ُزٍسحه ظبده تاطییغت ρ

[0,√ ⁄ ] ُظبث تؾا

. ضز یلبح

ِو یبّطیغته 𝜃ٍ

یه سًاَت

طّ

ضاسمه

،ُاَرلز μٍ

طّ

ضاسمه یتجثه

ِث زَذ .زطیگث

. 3 -

‌ لیکشت

‌ نوناق

‌ یلرتنک

‌

نتؿیؾ زضَه

ِقلبغه ضز يیا

،ِلبمه

ِو ضاسیبپ یظبؾ ىآ لَح

هی

ِغمً

لزبقت

،تؾا ِخَت زضَه هی

نتؿیؾ لبقفطیظ تؾا

ٍ

طثبٌث

ِیضل تواطث [1

4 ] هی ىًَبل یلطتٌو ظبؾضاسیبپ یجًبده

یاطث

،ىآ یوً

سًاَت ىبهعوّ

یقثبت ضاَوّ

ٍ لمتؿه ظا ىبهظ سقبث .

ِلزبقه ىاضٍز يیا نتؿیؾ

ِث یلىق

ِو ضز فیزض مٍز لٍسخ 1

ِتقًَ

،ُسق بث طییغت طیغته

،ُزبؾ

ِث

ِلزبقه یلطتٌو فٍطقه

ِث

لاطگتًا طیگ هیهًََلَّطیغ لیسجت2

یه زَق .

يیٌچوّ

تلازبقه ( 23 ) تّبجق یزبیظ

ِث مطف

ُطیدًظ

3یا

سًضاز

ٍ

ِث یگزبؾ

ِث ىآ لیسجت یه سًَق .

ٍز نتؿیؾ ضَوصه

ٍ

مطف یبّ

نیوقت

ِتفبی [ بًْآ 18

،]

ضبیؿث زضَه

ِخَت ىبممحه

ُزَث

ٍ ـٍض یبّ

یلطتٌو یفٌَته یاطث ىآ زبٌْكیپ تؾا ُسق .

یاطث

يیٌچ نتؿیؾ ییبّ

یظبؾضاسیبپ

ٍ لبجًز ىزطو طیؿه

ٍز

ِلأؿه

ًلاهبو تٍبفته تؾا . یحاطع يیًاَل یلطتٌو طیغته بث

،ىبهظ

1. Brockett

2. Nonholonomic Integrator 3. Chained Form

(6)

یحاطع هی طیؿه ةَلغه

ٍ لبجًز ىزطو ىآ عیً ٍ

ُزبفتؾا ظا

يیًاَل یلطتٌو

ِتؾَیپبً

( سًٌبه زَه یقعغل )،

ظا ـٍض یبّ

زضَه

ِخَت ضز لطتٌو يیا نتؿیؾ بّ

ِث ضبوق یه [ زٍض 6

، 19

، 20 .]

لاطگتًا گ ی ط غ ی هًََلَّط ی ه دًظ مطف ٍ ی

ُط ا ی بپ ِجتطه یی ي ِث

لسه ضز ُسوف ضَع ظبؾ

ی نطحته بّ

ی

ِحفن ا ی توطح سًٌبه(

ٍض طث خطچ ی

ز )ِحفن ی

ُس ه ی زَق زاظآ تبخضز ِچًبٌچ ٍ ی

ای ي ؾ ًَِگ ی نتؿ بّ

غت ِث یی ط حبً ضز ی

ِ نبذ ی ،سقبث ُسق زٍسحه

ل ی بّس ی توطح ی ا ضز ِچًآ بث بًْآ ی

ي ؾ ی نتؿ ز ی

ُس ه ی زَق

.تؾا تٍبفته ظا

يیا

ٍض طثوا ـٍض یبّ

فضبقته ضز لطتٌو ىآ

نتؿیؾ

،بّ

طث يیا

ِلأؿه لثبل لبوفا

ُزَجً

ٍ مظلا تؾا ىًَبل

یلطتٌو یجؾبٌه یاطث ىآ یحاطع زَق .

ضز يیا

ِلبمه

ِث

ٍز ـٍض یاطث يیا نتؿیؾ ىًَبل یلطتٌو

یحاطع یه زَق . ـٍض لٍا بث

ُزبفتؾا ظا لطتٌو زَه

،یقعغل

یبّطیغته تلبح

اض ظا طّ

ضاسمه

ِیلٍا

ُاَرلز

ِث ضاسمه ییبًْ

ُاَرلز تیاسّ

ُزطو

ٍ ضز ـٍض مٍز یاطث يیا فسّ

هی ىًَبل

یلطتٌو

ِتؾَیپ

ِئاضا یه زَق .

ىًَبل یلطتٌو ضز طّ

ٍز ـٍض طث یبٌجه تلازبقه ( 23 )

یحاطع یه زَق

ِث یضَع

ِو یٍبؿهبً

ρ²<

اض ضز لَع

طیؿه

،توطح يیوضت سیبوً

.

ِتىً

طگیز

ِو يیا

ِلزبقه یلطتٌو طَثطه μ ِث ضز ِغثاض

( 23 ) لمتؿه ظا تلازبقه طگیز

ُزَث

ٍ

،اصل

ِلأؿه یحاطع طلطتٌو

طث

ِؾ

ِلزبقه یلبث

ُسًبه عوطوته یه .زَق

ِتىً

طگیز

ِو يیا

ِلزبقه یلطتٌو طَثطه μ ِث ضز ِغثاض

( 23 ) لمتؿه ظا تلازبقه طگیز

ُزَث

ٍ

،اصل

ِلأؿه یحاطع طلطتٌو

طث

ِؾ

ِلزبقه یلبث

ُسًبه عوطوته یه .زَق

3 - 1 -

‌ یحارط

‌ لوا

‌:

‌ دوم

‌ یشسغل

نتؿیؾ یلطتٌو

ِث تضَن :تؾا وٍطفه طیظ ̇ ̇

𝜃̇ )24(

،فسّ

یحاطع هی ىًَبل یلطتٌو یاطث ىآ تؾا

ِث یَحً

ِو نتؿیؾ اض ظا طّ

ططق (ρ0, 0,𝜃 ) یلٍا

ِث تیقضٍ

ییبًْ

(ρf, f, 𝜃 ) سًبؾطث

. طیَهت یؾسٌّ

ظا تلازبقه

،قَف یه سًاَت

ضز یحاطع ىًَبل

،تؾبٌه زضَه

ُزبفتؾا ضاطل زطیگ .

ُبگتؾز

تبهتره ρ یجغل

ضز لىق 3 ُسیكو طیَهت ِث یثَذ ِث

ُسق تؾا .

‌لکش 3 یجغل تبهتره ρ

،لىق ِث ِخَت بث

ِلزبقه مَؾ ظا

ِغثاض ( 24 ) ث

ِ یا ي تضَن

ىبیث یه زَق طییغت

ِیٍاظ

ٍز𝜃 طثاطث یتحبؿه تؾا

ِو ضز يیح

توطح ىٍضز

ِحفن لَح أسجه ةٍضبخ یه زَق . یٍبؿهبً

یًبیبپ

عیً

ظطه ظبده توطح اض

ُطیاز ρ=√ ⁄ یفطقه

یه سٌو .

أسجه ِچًبٌچ

ُبگتؾز ره

ِتفبی نیوقت تبهت (ρ, , 𝜃)

ِث

فسّ ِغمً

(ρf, f, 𝜃 ) یلطتٌو ىًَبل یحاطع زَق لمتٌه

ُزبؾ .زَث سّاَذ طت یجغل تبهتره أسجه لبمتًا بث ِثρ

(ρf, ) ؼبؾا طث

لىق 4 سیسخ ُبگتؾز ضز ِغمً طّ تیقلَه ، بث ِو

(ρ  )

یه ُزاز فیبوً

زَق

ُبگتؾز ضز ىآ تیقلَه بث ρ

طبجتضا ضز

تؾا :

cos( ) = cos cos

sin( ) = sin sin

f f f

      

  

   )25(

‌لکش 4 تلبح یبّطییغته یؾسٌّ طیَهت

dϕ

𝑑𝐴 𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃

𝜌_𝑚𝑎𝑥 ^√

o ϕ

ρ

o ρ ρf ϕ

A ρ̃

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ] P

(7)

بث فیطقت ه ق تلازب یلطتٌو سیسخ ُبگتؾز ضز

ِث

لىق طیظ ىبیث یه زَق : ̃̇ ̃̇ 𝜃̃̇ ̃

̃ ̃ ̃ )26(

يیٌچوّ

ططق

ِیلٍا 𝜃̃0

ظا

ِغثاض طیظ

0 0

= sin

f 2

a 

   

( 27 )

ٍ طبجتضا vi

ٍ wi

بث كتكه یطیگ ظا ظثاٍض ( 25 )

ِث تؾز یه سیآ .

ث س ی ي تیتطت ضز تبهتره

،سیسخ فسّ

ِث طفن ىسًبؾض

ٍρρ 𝜃̃

تؾا . ضز

ِؿیبمه بث

ُبگتؾز تبهتره

 یلٍا ρ-

،

ُبگتؾز سیسخ

ىضبمت زَذ اض ظا تؾز

ُزاز تؾا

ٍ يیا ؿَضَه ضز یٍبؿهبً

طغؾ طذآ مَلقه تؾا . ضز ـلاٍ

أسجه

ُبگتؾز

ِو

ًلاجل ضز عوطه

ُطیاز ρ=√ ⁄ ضاطل

ِتقاز ىٌَوا

ِث

ِغمً

فسّ

لمتٌه

ُسق

ِو یه سًاَت طّ

ِغمً

یا ىٍضز

ُطیاز سقبث .

،لثبمه ضز يیا

طییغت

تبهتره تیعه

یگضعث عیً

زضاز

ِو ضز

ِلأؿه لطتٌو ىآ

ِتفًْ

تؾا . ضز

ُبگتؾز -

تیقضٍ ρ ةَلغه یهبگٌّ

تؾا

ِو طّ

ِؾ طیغته

، ρ

ٍ 

ِث𝜃 طیزبمه یهركه اطگوّ

؛سًَق ضز یلبح

ِو ضز

ُبگتؾز ρ 

فسّ

ىسیؾض

ِث تیقضٍ

̃

ٍ

𝜃̃

تؾا

ٍ ضاسمه ییبًْ

یتیوّا  زضاسً

.

،فسّ

أسجه

ُبگتؾز تؾا

ٍ

ِیٍاظ

ًبفطن 

ِیٍاظ ییاطگوّ

ِث توؾ أسجه اض

ىبكً

یه سّز . يیاطث

،ؼبؾا

ُزبؾ طت ىآ تؾا

ِو يیًاَل یلطتٌو

ضاسه

ِتؿث ضز

ُبگتؾز ρ  یحاطع زَق .

ِتجلا تلز ضز ؼفح

ُزٍسحه ظبده تاطییغت ضبیؿث ρ

عئبح تیوّا تؾا لىق(

5 .)

نْه يیطت فرث یحاطع لطتٌو زَه یقعغل یاطث يیا

نتؿیؾ ةبرتًا حغؾ ـعغل یاطث ىآ تؾا .

ُبگتؾز تبهتره

ًِاَتؾا (ρ , , 𝜃̃) یا

ضز لىق 6 ىبكً

ُزاز

ُسق تؾا . فسّ

يیا تؾا

ِو بث ؿٍطق ظا طّ

ِغمً

ىٍضز ًِاَتؾا ρ=√ ⁄

ٍ

توطح طث ؼبؾا تلازبقه ( تلبح

26 ) یبّطیغته نتؿیؾ

ِث

أسجه تبهتره اطگوّ

زَق . یاطث يیا ضَؾٌه حغؾ ـعغل سٌچ

یگػیٍ

سیبث

ِتقاز سقبث .

ٍُلاف طث

ِىٌیا ظا أسجه تبهتره ضَجف

یه

،سٌو سیبث ىبٌچ ىٍضز

ًِاَتؾا ضاطل زطیگث

ِو يیوضت سٌو

چیّ

طیؿه یلطتٌو ظا

ًِاَتؾا جضبذ زَكً

.

،اصل ضبؾتًا یه زٍض

طیَهت حغؾ ـعغل طث یٍض ِحفن ρ

 - یحطع

ِیجق لىق 5

زبدیا سٌو . 𝜃̃ ضز طیَهت ىآ أسجه تبهتره تؾا

ٍ بث

فیاعفا یٌحٌه𝜃̃

طیَهت يضعث طت

ُسق بت ضز يیطتگضعث طیزبمه

، 𝜃̃

𝜃̃ یٌقی

ِث ظطه

ُزٍسحه ظبده هیزعً ̃ زَق .

‌لکش 5

ِحفن یٍض طث ـعغل حغؾ طیَهت ̃ ̃

‌لکش 6

ًِاَتؾا تبهتره ̃ ̃ 𝜃̃ یا

طگا ظطه لثبل ρ لَجل ُطیاز √ ⁄ وطف

يیا ،زَق

ُطیاز ضز تبهتره



ِثρ  تضَن طیظ ىبیث یه زَق :

2 2 2

= cosa R a sin

    )28(

يیاطثبٌث حغؾ ـعغل ىبٌچ ضز طؾً

ِو طیَهت ىآ

ِث یاظا يیطتگضعث ضاسمه

|𝜃̃|

طث

ُطیاز كجغٌه ρ=R

ُسق

ٍ بث

فّبو |𝜃̃|

، طیَهت ىآ هچَو طت

ُسق ضز أسجه عوطوته زَق :

( 29 ) 𝜃̃ ̃

𝜃̃ 𝜃

̃ ( ̃ √ ̃)

(8)

قَف ِغثاض ضز يیطتگضعث𝜃

ضاسمه لوتحه

|𝜃̃| یاطث تؾا .

يیاطثبٌث یزَقن ـثبت فیطقت بث |𝜃̃|

بث ططق ٍز f (0)=0

ٍ

f (𝜃 )=1 یه اض ـعغل حغؾ

طیظ تضَن ِث ىاَت زاز لیىكت

:

( 30 ) ̃ ( ̃ √ ̃)

(|𝜃̃|)

یاطث يیا ضَؾٌه |𝜃̃| ـثبت

ِث تضَن طیظ فیطقت یه زَق : (𝜃̃) |𝜃̃

𝜃 |

⁄

)31(

طگا ططق

ِیلٍا

ِث𝜃̃

ِلنبف زٍسحه

زَق

، یه ىاَت

يئوغه زَث

ِو تلبح ضز

ُسیا لآ ضاسمه ىآ ضز یع توطح ظا يیا

ِلنبف جضبذ یوً

؛زَق بث يیا لبح يىوه تؾا تلالاتذا بی

ملاًَ

لسه یظبؾ

، تخَه زَق 𝜃ِ̃و ظا یبّظطه يیا

ِلنبف

ضَجف

ُزطو

ٍ ضز ىًَبل یلطتٌو یگتؾَیپبً

زبدیا سیبوً

. یاطث

ىبٌیوعا ظا

يیا

،لئبؿه طتگضعث𝜃

ظا

ًلاثه ٍ طثاطث 4 ضز طؾً

گ یه ِتفط زَق .

ٍُلاف ِث ىاَت

ِچطگ یه سًاَت طّ

ضاسمه

یمیمح یتجثه زطیگث زَذ ِث

، لیلز زٍسحه ىزطو ىآ

ِث

ضز

ِهازا یه مركه زَق

.

بث يیا فیطقت یاطث حغؾ ـعغل یه تقًَ ىاَت :

̃

̇ ̃̇ ( ̃ 𝜃̃ ) ̃̇

( ̃ √ ̃) ( ̃ √ ̃)

( 32 )

طث يیا ؼبؾا یٍض حغؾ ـعغل

ِغثاض طیظ ىبیه یزٍضٍ

یبّ

یلطتٌو ضاطلطث تؾا : ̃̇ ( ̃

𝜃̃ ) ̃̇ )33(

يیاطثبٌث ىًَبل یلطتٌو اض یه ىاَت

ِث تضَن طیظ ضز طؾً

تفطگ :

̃̇ ̃̇ ̃̇ ̃̇

̃̇ ( ̃

𝜃̃ ) ̃̇

( 34 ) یحاطع

eq

سٌهظبیً

یتبؾحلاه تؾا

ِو ضز

ِهازا زضَه

ثحث ضاطل یه زطیگ . فیطقت قَف ̃̇یاطث ططق ىسیؾض

ِث حغؾ

ـعغل ضز ىبهظ یّبٌته اض يیوضت یه سٌو : ̇ ( ̃

𝜃̃ ) ̃̇ )35( ظا

یفطع یاطث یضاسیبپ أسجه یٍض حغؾ ـعغل مظلا تؾا 𝜃ِ̃و

بی(

ِث ضَع

،لزبقه ) ̃

ِث توؾ طفن اطگوّ

زَق . بها ِث ِخَت بث

یٍبؿت

= 2

   تؿیفبو

ِو sgn( )

 

عخ ضز أسجه

ُضاَوّ

یفٌه سقبث . يیٌچوّ

یاطث ىاطو یضاز یزٍضٍ

یبّ

،یىیعیف مظلا

تؾا ِ̃̇و

ٍ

ُضاَوّ

ىاطو ضاز یلبث سًبوث . يیا ؿَضَه

ِث

ُػیٍ

ضز ظیاطق 𝜃̃

تیوّا اسیپ یه سٌو . یاطث

ِىٌیا ̃̇

ُضاَوّ

ىاطو ضاز

،سًبوث بث

ِخَت

ِث

ِغثاض

| *|=f ^m وطف

یه

ِو زَق

ِغثاض  نیمتؿه

1بث f m^

ِتقاز سقبث :

1

2

* 2

*

= = sgn( )

= = | |sgn( )( )

= ( )

m eq

eq

f

h g

m h g

m

   

 

   

 

  



 



 )36(

يیاطثبٌث 𝜎طگا

ىبٌچ فیطقت زَق 𝜎 ِو 𝜎ٍ

ىاطو ضاز

،سقبث عیً ̃̇

ىاطو ضاز یلبث یه سًبه

ٍ ̃ 𝜎طگا ىاطو

ضاز

،سقبث يیا نىح ضز

زضَه عیً

قزبن سّاَذ زَث .

یىی طگیز ظا تبفَضَه عئبح

،تیوّا ضبتفض نتؿیؾ یٍض

حغؾ ـعغل ضز یىیزعً

أسجه تؾا . بث

ِخَت

ِث

ِغثاض

= 2

  

طگا تفطؾ ییاطگوّ

ِث ̃ توؾ طفن لابث

،سقبث يىوه تؾا

تفطؾ ییاطگوّ

ِث𝜃̃

تسق تفا سٌو . يیاطثبٌث یضَع

یحاطع یه زَق

ِو یٍض حغؾ

،ـعغل خطً

طییغت ظا ̃

ِجتطه

يییبپ

ٍ

ِث تضَن لبذ ظا

ِجتطه سقبث√ ̃

. يیا ؿَضَه ضز ضبٌو

ِلأؿه یضاسًاطو

ِو فیپ ظا يیا حطغه

،سق

ٌِیعگ یبّ

یحاطع

ىًَبل یلطتٌو اض زٍسحه یه سٌو . تلز سیٌو

ِو یٍض حغؾ

ـعغل نیضاز

= f  h

ٍ بث هیزعً

ىسق

ِث أسجه طیزبمه

ٍf ̃

ِث طفن لیه

ُزطو

ٍ

ِجتطه یگضعث یًبؿىی سٌّاَذ تقاز .

ىٌَوا 𝜎طگا

ِث تضَن : 𝜎 √ ̃

( ( ̃ ) )

⁄ )37(

فیطقت زَق

، یه ىاَت یؾضطث زطو

ِو

ِث یاظا

،

ططق یبّ

ىاطو یضاز

ٍ ططق

ِجتطه ىبهعوّ ̃̇

ضاطلطث یه زَق .

يیطذآ

ِلحطه ظا

،یحاطع زٍسحه

ِگً

يتقاز ضز ̃

ِیحبً

ظبده تؾا یه . ىاَت اض ىبٌچ ةبرتًا زَوً

ِ̃و

ُبگچیّ

ظا h

طتگضعث زَكً

. یاطث يیا ضَؾٌه توطح یٍض یٌحٌه

= 0

h

ُضاَوّ

سیبث

ِث توؾ لذاز

؛سقبث :طگیز تضبجف ِث ̃̇ ̇

.

(9)

ىَچ یٍض يیا یٌحٌه

ٍ 𝜎 تؾا

.

يیاطثبٌث : ̃̇ ̇ ( ̃

𝜃̃) ̃̇ ̃̇

(

𝜃 (𝜃̃)) ( 𝜎 (𝜃̃))

𝜎 ( 𝜃

𝜃 )

( 38 ) (

(𝜃̃) 𝜃 )

تضبجف

ِث یاظا طیزبمه فلتره

ٍ m ظا f طتاطف یوً

زٍض

ٍ يیطتوو ضاسمه

ٍ h يیطتكیث

ضاسمه

|g h| یاطث طیزبمه فلتره ٍ 

ِثα تیتطت طثاطث طفن

ٍ

تؾا2R . يیاطثبٌث :

̃̇ ̇ (| | ) ( )

صل ا ةبرتًا یلبث

ىسًبه ضز ̃

ُزٍسحه ظبده اض

تًبوض یه سٌو .

بث طییغت یبّطتهاضبپ ،m

ٍ ضبتفض يیا نتؿیؾ یلطتٌو

طییغت یه سٌو . بث

ٍز طثاطث ىسق ىبهعوّ

ٍ تفطؾ دؾبپ

عیً

ٍز طثاطث

ُسق

ٍ

ٌِهاز یزٍضٍ

بّ

( بث فطن طؾً

ظا فمً

لزبقه ِ

ز ِغثاض ض ( 23 )

ٍز طثاطث یه زَق .

بث فّبو

ٍm هیزعً

ىسق ىآ

ِث زسف 2

، تبًبؾًَ

یزٍضٍ

فیاعفا

ِتفبی

ٍ تفطؾ ییاطگوّ

بت یزٍسح فیاعفا یه سثبی .

ِدیتً

ِیجق یظبؾ بّ

ضز فرث 4

، فیبوً

ُزاز یه زَق .

3 - 2 -

‌ یحارط

‌ مود

‌:

‌ یحارط

‌ ظحل ه‌

یا

‌ ریسم

یىی ظا ـٍض یبّ

لطتٌو نتؿیؾ یبّ

،هیهًََلَّطیغ یحاطع

طیؿه

ِؾحل یا

ٍ توطح ضز زاستها ىآ تؾا . طلطتٌو یاطث

طؾً زضَه نتؿیؾ بٌچ

ى ضز طؾً

ِو ضز طّ

،ِؾحل

یطیؿه

ِث لىق یًبوو ظا

ُطیاز ىبیه تیقلَه یًٌَو

ٍ

ِغمً

فسّ

ضز

 ِحفن زبدیا ρ 

؛سٌو

ِث یضَع

ِو طییغت ِیٍاظ 𝜃̃

زضَه ظبیً

اض عیً

يیهأت سٌو .

ِلزبقه یهَوف يیا طیؿه

ِث لىق

=Acos( *)

   تؾا

ِو

ٍز ضاسمه تثبث

ٍ A

*

طث

ؼبؾا ظیاطق

ِیلٍا

ٍ ییبًْ

يییقت یه زَق .

یاطث ؿٍطق ظا تیقلَه

ِؾحل یا

1 1 1

(  , , )

ٍ ىسیؾض

ِث

ظیاطق ییبًْ

f = 0

ٍ 

f = 0 سیبث  ( ِغثاض 40 .سقبث ضاطلطث )

̃ ( ̃ ) ( ̃ ) 𝜃̃ ∫ ̃_̃^̃ ̃

بث فیطقت

=sgn( )1

 

* ٍ

= 2 ( 1)

    يیهَؾ

ِغثاض

ِث

تضَن ( ِغثاض 41 ) یؿیًَظبث یه

زَق :

𝜃̃ ( ( ̃ ) ) ̃

( ̃ ) ( 41 ) يیٌچوّ

*

f  طث بٌث يیهٍز

ِغثاض ظا ( 40 )،

سیبث ةطضه

یزطف ظا

 2 سقبث .

وطف بث

*= 2

f    ( لزبقه

41 یاطث )

ُضاَوّ ξ

یاضاز ةاَخ :يیاطثبٌث .تؾا

( 42 )

1 2 1

2 | | sin = 1 cos



  

 

 



ضز لىق 7

ِغثاض تاطییغت ٍ تؿح طثξ

^|_̃^̃ ^| فیبوً

ُسق ُزاز .تؾا

‌

لکش تاطییغت7 ^|_̃^̃^| طث

تؿح

( 39 ( )

39 ) (

40 )