٩٦ لﺎﺳ ‐ مود مﺮﺗ ‐ (ﻊﯾﺎﻨﺻ ﺳﺪﻨﻬﻣ ﻪﺘﺷر نﺎﯾﻮﺠﺸﻧاد یاﺮﺑ) ﻄﺧ ﺮﺒﺟ ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد ( ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد) یﺮﻫﻮﺟ ﻦﯿﺴﺣ :ﻂﺳﻮﺗ ﺲﯾرﺪﺗ (ﮓﻧﺮﺘﺳا تﺮﺒﻠﯿﮔ) نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و ﻄﺧ ﺮﺒﺟ :ﻊﺟﺮﻣ بﺎﺘﮐ
ﻢﻫدﺰﯿﺳ سرد ی ﻪﺻﻼﺧ
نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد یاﺮﺑ یﺮﺒﺟ لﻮﻣﺮﻓ ﯾ ١
ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ لوا ﺖﯿﺻﺎﺧ ﻪﺳ ﻊﻗاو رد .ﻢﯾدﺮﮐ ﻒﯿﺻﻮﺗ ﺖﯿﺻﺎﺧ یﺮﺳ ﯾ زا دﺎﻔﺘﺳا ﺮﺑ ار نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻞﺒﻗ سرد رد .دﻮﺑ ﻓﺎﮐ و مزﻻ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد det I = 1ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺖﺳا ﯾ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑI ﻧﺎﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد . ١ .دﻮﺷ ﻣ ضﻮﻋ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ﻢﯿﻨﮐ ضﻮﻋ ار ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﻄﺳ ود یﺎﺟ ﺮﮔا . ٢ .ﺖﺳا ﻄﺧ (نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ ﺮﻫ ﻊﻗاو رد) لوا ﺮﻄﺳ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد . ٣
a+a′ b+b′ c+c′
d e f
g h i
=
a b c d e f g h i +
a′ b′ c′ d e f g h i
یرﻮﺌﺗ ظﺎﺤﻟ زا ﺮﺘﺸﯿﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﻫد ﻣ ﻪﺋاراdet Aیاﺮﺑ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ یﺮﺒﺟ لﻮﻣﺮﻓ ﯾ ،ﺖﯿﺻﺎﺧ ﻪﺳ ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻞ ﺷ ﻦﯾﺪﺑ ار نآ مﻮﺳ ﺖﯿﺻﺎﺧ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ .ﻢﯿﻨﮐ عوﺮﺷ ود رد ود ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺎﺑ ﺪﯾراﺬ ﺑ .ﺖﺳا ﺖﯿﻤﻫا ﺰﯾﺎﺣ
.ﺪﻧﻮﺷ ﻣ فﺬﺣ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺮﻔﺻ نﻮﺘﺳ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﻣﺮﺗ .ﻢﯿﻫد ﻂﺴﺑ a b
c d =
a 0 c d
+ 0 b
c d =
a 0 c 0
+ a 0
0 d +
0 b c 0
+ 0 b
0 d =
a 0 0 d
+ 0 b
c 0 ﺖﺳﺪﺑ ﺪﻧراد ﺮﻔﺻ نﻮﺘﺳ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﻣﺮﺗ فﺬﺣ زا ﺪﻌﺑ ،3ﺪﻌﺑ یاﺮﺑ .داد ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﺗﻻﺎﺑ یﺎﻫﺪﻌﺑ ﻪﺑ ار هﺪﯾا ﻦﯿﻤﻫ ناﻮﺗ ﻣ
:ﺪﯾآ ﻣ
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33 =
a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33
+
a11 0 0 0 0 a23 0 a32 0
+
0 a12 0 a21 0 0 0 0 a33
+
0 a12 0 0 0 a23
a31 0 0 +
0 0 a13 a21 0 0
0 a32 0 +
0 0 a13 0 a22 0 a31 0 0
.ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺪﻨﻧاﻮﺗ ﻣ ﺮﻔﺻﺮﯿﻏ ﺮﺼﻨﻋ ﯾ ﺎﻬﻨﺗ نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ ﺮﻫ رد ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻣ ﻗﺎﺑ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﺪﯿﻨﮐ ﻣ ﻪﻈﺣﻼﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ،زﺎﯿﻧ درﻮﻣ یﺎﻬﯿﯾﺎﺠﺑﺎﺟ داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑ .ﻢﯿﻨﮐ یﺮﻄﻗ ار ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺎﻫﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ،ﻦﯾا زا ﻪﺘﺷﺬﮔ
.ﺖﺳا ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺖﻣﻼﻋ ﻊﻗاو رد ﻦﯾا .دﻮﺷ ﻣ−1ﺎﯾ+1رد بﺮﺿ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= (+1)a11a22a33+ (−1)a11a23a32+ ١
(−1)a12a21a33+ (+1)a12a23a31+ (+1)a13a21a32+ (−1)a13a22a31
.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ﺖﺸ ﯾﺎﺟn!عﻮﻤﺠﻣ رد نﻮﭼn×nﺖﻟﺎﺣ یاﺮﺑ
det A=∑
n!
sign(α1, α2, . . . , αn)×(a1α1a2α2. . . anαn)
مزﻻ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ داﺪﻌﺗ ﺮﮔا ﺖﺳا+1ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺖﻣﻼﻋ .ﺖﺳا1,2, . . . , nزا ﺘﺸ ﯾﺎﺟα1, α2, . . . , αnﺎﺠﻨﯾا .ﺖﺳا−1ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺖﻣﻼﻋ ترﻮﺼﻨﯾا ﺮﯿﻏ رد ﺪﺷﺎﺑ جوز یدﺪﻋ ﻧﺎﻤﻫ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﻪﺑ ﻞﯾﺪﺒﺗ یاﺮﺑ
:لﺎﺜﻣ sign(1,3,2,4,5,7,6) = +1
sign(7,6,5,4,3,2,1) =−1
:لﺎﺜﻣ
0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 =
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 +
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
= (−1) + (+1) = 0
.ﺪﻨﺘﺴﯿﻧ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻫﺮﻄﺳ نﻮﭼ ﺪﺷ ﺮﻔﺻ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻢﯿﺘﺷاد ار شرﺎﻈﺘﻧا ﻪﮐ رﻮﻄﻧﺎﻤﻫ ﻻﺎﺑ لﺎﺜﻣ رد
زﺎﺴﻤﻫ و دﺎﻬﮐ ١ . ١
ﺖﺳﺪﺑ ،ﻢﯾﺮﯿ ﺑ رﻮﺘﮐﺎﻓa13وa12وa11 ﻨﻌﯾ لوا ﺮﻄﺳ یﺎﻫ ﻪﯾارد زا ﺮﮔا3×3ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ لﻮﻣﺮﻓ رد :ﺪﯾآ ﻣ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=a11(a22a33−a23a32) +a12(a23a31−a21a33) +a13(a21a32−a22a31)
=a11
a22 a23 a32 a33
−a12
a21 a23 a31 a33
+a13
a21 a22 a31 a33
.دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣ لوا نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ فﺬﺣ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﯾ2رد2ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻊﻗاو رد ﺰﺘﻧاﺮﭘ ﻦﯿﻟوا نورد ترﺎﺒﻋ ﻞﺻﺎﺣ ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ فﺬﺣ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺎﻫﺰﺘﻧاﺮﭘ ﺮ ﯾد نورد تارﺎﺒﻋ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ .ﺖﺳا هﺪﺷ سﻮﮑﻌﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ،مود ﺰﺘﻧاﺮﭘ درﻮﻣ رد ﻪﺘﺒﻟا .دﻮﺷ ﻣ و ماi ﺮﻄﺳ فﺬﺣ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ دﻮﺷ ﻣ هداد نﺎﺸﻧMij ﺎﺑ ﻪﮐaij ﻪﯾارد دﺎﻬﮐ :ﻒﯾﺮﻌﺗ
.دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ماjنﻮﺘﺳ Cij = (−1)i+jMij ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑaij ﻪﯾارد زﺎﺴﻤﻫ:ﻒﯾﺮﻌﺗ
ﻢﯾراد ﻻﺎﺑ تاﺪﻫﺎﺸﻣ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ det A=a11C11+a12C12+. . .+a1nC1n
٢
نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ٢
n! ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ زﺎﯿﻧ ﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ رد) دراﺪﻧ ﻠﻤﻋ ﻪﺒﻨﺟ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ یاﺮﺑ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ لﻮﻣﺮﻓ ﻪﮐ ﻢﯾﻮﺷ ﻣ روآدﺎﯾ .ﻢﯾروآ ﻣ رد ﺜﻠﺜﻣﻻﺎﺑ ﻞ ﺷ ﻪﺑ یﺮﻄﺳ تﺎﯿﻠﻤﻋ ﺎﺑ ار ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ،نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻊﯾﺮﺳ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ یاﺮﺑ .(دراد بﺮﻀﻠﺻﺎﺣ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ﻪﺘﺒﻟا) دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻠﺻا ﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد بﺮﻀﻠﺻﺎﺣ ﻪﮐ دراد دﻮﺟوP ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧAﺮﮔا .(دراد ﺎﻫﺮﻄﺳ
P A=LU
ﺲﭘ A=P−1LU
det(A) =det(P−1)det(L)det(U)
ﺲﭘ .det(L) = 1ﺖﺳا ﯾ ﻪﻤﻫ شا ﻠﺻا ﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد و ﺖﺳا ﺜﻠﺜﻣ ﻦﯿﯾﺎﭘLنﻮﭼ det(A) =det(P−1)det(U)
:لﺎﺜﻣ
1 4 −1 3 0 0 5 8 0 3 1 1 0 0 0 7 =?
ﺲﭘ .دﻮﺷ ﻣ ﻞﯾﺪﺒﺗ ﺜﻠﺜﻣﻻﺎﺑ ﻪﺑ یﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﯾ ﺎﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ
1 4 −1 3 0 0 5 8 0 3 1 1 0 0 0 7 =−
1 4 −1 3 0 3 1 1 0 0 5 8 0 0 0 7
=−(1×3×5×7)
نوراو ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ و نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﻄﺑار ٣
.ﺖﺳاaij ﻪﯾارد زﺎﺴﻤﻫ نﺎﻤﻫCﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ماij ﻪﯾارد .ﻢﯿﻫد ﻣ نﺎﺸﻧCﺎﺑ ارAزﺎﺴﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ:ﻒﯾﺮﻌﺗ
C =
C11 C12 . . . C1n C21 C22 . . . C2n
... ...
Cn1 Cn2 . . . Cnn
هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟوA−1 ﺮﮔا:ﻪﯿﻀﻗ
A−1 = 1 det(A)CT
:لﺎﺜﻣ [a b
c d ]−1
= 1
ad−bc
[ d −b
−c a ]
٣
ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ بﺮﺿAرد ار ﻦﯿﻓﺮﻃ:تﺎﺒﺛا ACT =det(A)I
ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ...
an1 an2 . . . ann
C11 C21 . . . Cn1 C12 C22 . . . Cn2
... ...
C1n C2n . . . Cnn
=
det(A)
det(A)
0
0
...det(A)
.ﺖﺳاAنﺎﻨﯿﻣﺮﺗد نﺎﻤﻫ ﻊﻗاو ردCT لوا نﻮﺘﺳ ردAلوا ﺮﻄﺳ ﻠﺧاد بﺮﺿ
[a11 a12 . . . a1n]
C11
C12 ...
C1n
=a11C11+a12C12+. . .+a1nC1n=det(A)
.بﻮﺧ رﺎﯿﺴﺑ .ﺪﻨﺷﺎﺑdet(A)ﻪﻤﻫ ﺪﯾﺎﺑ ﭗﭼ ﺖﻤﺳ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻠﺻا ﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد ﻪﮐ داد نﺎﺸﻧ ناﻮﺗ ﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻪﯾارد ﻦﯾا .ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ﭗﭼ ﺖﻤﺳ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ مود نﻮﺘﺳ و لوا ﺮﻄﺳ ی ﻪﯾارد ؟ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﻔﺻ ﺮ ﯾد یﺎﻫ ﻪﯾارد اﺮﭼ .CT مود نﻮﺘﺳ ردAلوا ﺮﻄﺳ ﻠﺧاد بﺮﺿ ﺎﺑ ﺖﺳا
[a11 a12 . . . a1n]
C21 C22 ...
C2n
=a11C21+a12C22+. . .+a1nC2n
.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ مود ﺮﻄﺳ ردAلوا ﺮﻄﺳ ندﺮﮐ ﯽﭙﮐ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻊﻗاو رد ﻦﯾا
0 =
a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
... ...
an1 an2 . . . ann
=a11C21+a12C22+. . .+a1nC2n
ﻪﮐ ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻢﯿﻧاد ﻣ .ﻢﯾا هدﺮﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ مود ﺮﻄﺳ یﺎﻫزﺎﺴﻤﻫ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ار نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻻﺎﺑ رد ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﻢﯾدﻮﺑ ﺶﻟﺎﺒﻧد ﻪﮐ یﺰﯿﭼ ﺎﻘﯿﻗد .ﺖﺳا ﺮﻔﺻ دراد یراﺮﮑﺗ یﺮﻄﺳ
۴
