ﺳﺎزي ﻣﻌﺎدﻻت ﻏﯿﺮ ﺧﻄﯽ ﺧﻄﯽ

(1)

Advanced Numerical Methods 103

ﯽﻄﺧ ﯽﻄﺧ ﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ

رد  ﯽﺧﺮﺑ دراﻮﻣ

ﯽﻣ ناﻮﺗ

ياﺮﺑﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ،ﺺﺨﺸﻣ ﯽﻌﯾزﻮﺗ ﺮﯿﯿﻐ ترﻮﺻ ﻪﺑ يا ﻪﻄﺑار ،ﺮﯿﻐﺘﻣ ﯽﻄﺧو دﻮﻤﻧ جاﺮﺨﺘﺳا ﺎﻫهداد ياﺮﺑ رد ار ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ ،ﺖﯾﺎﻬﻧ ياﺮﺑ .دﺮﮐ بﺎﺴﺣ ﺪﯾﺪﺟ يﺎﻫهداد

(2)

) ﯽﯾﺎﻤﻧ لﺪﻣ (

يزﺎﺳ ﯽﻄﺧ

(3)

) ﯽﻧاﻮﺗ لﺪﻣ (

(4)

(5)

ﺎﺑ 

هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﻞﯾﺪﺒﺗ ﯽﻧاﻮﺗ

ﮏﯾ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻧاﻮﺗ

ﺮﺑ يﺎﻫ هداد لوﺪﺟ

ﺮﯾز شزاﺮﺑ ﯿﻨﮐ

ﺪ.

ﺎﺑ 

شزاﺮﺑ ﯽﻄﺧ

ﺮﺑ يور يﺎﻫ هداد

ﻞﯾﺪﺒﺗ هﺪﺷ

ﻪﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻄﺧ

ﺮﯾز ﺳر ﯽﻣ ﻢﯿ

:

(6)

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ شزاﺮﺑ يا

: تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻞﻗاﺪﺣ شور

ﯽﻌﻗاو راﺪﻘﻣ هﺪﻧﺎﻣ ﯽﻗﺎﺑ ﺎﯾ ﺎﻄﺧ راﺪﻘﻣ

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ راﺪﻘﻣ

(7)

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ شزاﺮﺑ يا

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﺐﯾاﺮﺿ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾا ﻪﺑ ،لﻮﻬﺠﻣ ﻪﺳ و ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺳ ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ يا

ﺷ دﻮ .

ﯽﻣ ار شور ﻦﯾا ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻪﺑ ناﻮﺗ

يا ﻪﺒﺗﺮﻣ يﺎﻫ داد ﻂﺴﺑ ﻢﻫ m

.

Standard Error of Estimate:

(8)

لﺎﺜﻣ :

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻪﺟرد يا

2

ﮏﯾ 

ﺪﻨﭼ ﻪﻠﻤﺟ

يا ﻪﺟرد 2

ﺮﺑ يﺎﻫ هداد ﺮﯾز

شزاﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ

.

(9)

لﺎﺜﻣ :

2

(10)

لﺎﺜﻣ :

2

(11)

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ

Interpolating Polynomials يا

(12)

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ زا اﺮﭼ ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا يا

؟دﻮﺷ

-

؟دﻮﺷ ﺖﯾﺎﻋر ﺪﯾﺎﺑ ندﺮﮐ ﺐﯾﺮﻘﺗ رد ﯽﺗﺎﮑﻧ ﻪﭼ ﻪﺟرد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ

1 2 ﻪﺟرد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ 3 ﻪﺟرد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ

(13)

ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا

فﺪﻫ 

ﻦﯿﻤﺨﺗ راﺪﻘﻣ

ﻊﺑﺎﺗ رد

طﺎﻘﻧ ﯽﻧﺎﯿﻣ

)و ﯽﻫﺎﮔ جرﺎﺧ

زا ﻪﻠﺻﺎﻓ (

ﻦﯿﺑ طﺎﻘﻧ

هداد .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ هﺪﺷ

ﻦﯾﺮﺗ لﻮﻤﻌﻣ 

،شور هدﺎﻔﺘﺳا

زا ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺮﯾز

ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ :

ﻪﭼﺮﮔا 

ﻂﻘﻓ و

ﻂﻘﻓ ﮏﯾ

ﺪﻨﭼ يا ﻪﻠﻤﺟ

ﻪﺒﺗﺮﻣ ياﺮﺑ n

نﺪﻧارﺬﮔ زا

ﻪﻄﻘﻧ n+1

دﻮﺟو

،دراد ﺎﻣا

يﺎﻫ هار ﯽﺿﺎﯾر

ﯽﻋﻮﻨﺘﻣ ياﺮﺑ

نﺪﯿﺳر ﻪﺑ

نآ و ﻞﮑﺷ نﺎﯿﺑ

نآ .دراد دﻮﺟو

يﺎﻫ شور 

ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ :

شور 

نﻮﺗﻮﯿﻧ

شور 

ﮋﻧاﺮﮔﻻ

شور 

Spline

(14)

هﺪﺷ ﻢﯿﺴﻘﺗ فﻼﺘﺧا يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﯽﺑﺎﯿﻧورد )

Divided Difference (

نﻮﺗﻮﯿﻧ

ﯽﻄﺧ ﯽﺑﺎﯾ نورد  )

Linear Interpolation (

ﻂﺧ ﺐﯿﺷ

(15)

ﯽﻄﺧ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ

ﻢﺘﯾرﺎﮕﻟ  ﯽﻌﯿﺒﻃ

2 ار ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﯽﻄﺧ

ﻦﯿﻤﺨﺗ ﺪﯿﻧﺰﺑ

. رد اﺪﺘﺑا ﯾ نﺎﯿﻣ

ﯽﺑﺎ

ار ln2 ﻖﯿﻗد راﺪﻘﻣ .ﺪﯿﻫد مﺎﺠﻧا 4 و 1 طﺎﻘﻧ ﻦﯿﺑ مود ﻪﻠﺣﺮﻣ رد و 6 و 1 طﺎﻘﻧ ﻦﯿﺑ ﺮﺑاﺮﺑ

0.6931472 ﺖﺳا

.

(16)

ود ﻪﺟرد ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ )

Quadratic Interpolation (

ﺘﺴﻫ توﺎﻔﺘﻣ ﻢﻫ ﺎﺑ ﻪﻄﺑار ود ﻦﯾا ﺎﯾآ

؟ﺪﻨ

(17)

لﺎﺜﻣ :

ﯽﻄﺧ و ود ﻪﺟرد ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ

(18)

ود ﻪﺟرد ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ )

Quadratic Interpolation (

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار يﺰﯿﭼ ﻪﭼ ﯽﯾﺎﻬﻨﺗ ﻪﺑ لوا ﻪﻠﻤﺟ ود

؟ﺪﻫد

دوﺪﺤﻣ ﻞﺿﺎﻔﺗ ﺐﯾﺮﻘﺗ لوا ﻖﺘﺸﻣ

دوﺪﺤﻣ ﻞﺿﺎﻔﺗ ﺐﯾﺮﻘﺗ مود ﻖﺘﺸﻣ

(19)

] x , x ,..., x

, x [ f b

] x , x , x [ f b

] x , x [ f b

) x ( f b

) x

x )...(

x x

)(

x x

( b

...

) x x

)(

x x

( b )

x x

( b b

) x ( f

0 1

1 n n

n

0 1

2 2

0 1

1

0 0

1 n 1

0 n

1 0

2 0

1 0

n

−

=

−

− +

+

−

− +

=



ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﯽﻠﮐ مﺮﻓ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

)

Newton’s Interpolating Polynomials

(

ياﺮﺑ  ﻞﯿﮑﺸﺗ

ﮏﯾ ﺪﻨﭼ

يا ﻪﻠﻤﺟ ﻪﺒﺗﺮﻣ

ﻪﺑ n ﻪﻄﻘﻧ n+1

زﺎﯿﻧ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ

. ﻞﮑﺷ ﯽﻠﮐ

ﺪﻨﭼ :ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ يا ﻪﻠﻤﺟ

First Divided Difference

Second Divided Difference

nth Divided Difference

(20)

)

Newton’s Interpolating Polynomials

(

[ ]

i j

i

j

x x

x f x

f −

= ( ) − ( ) ,

[ ] [ ] [ ]

i k

i j j

k i

j

k

x x

f x

x x f

x x

f −

= , − ,

, ,

[ ] [ ] [ ]

0

0 2

1 1

1 0

1 1

,..., ,

,..., , ,

,...,

, x x

x x

x f x

x x

x f x x

x f

n

n n

n

−

=

⁻

−

⁻ ⁻

−

نﻮﺗﻮﯿﻧ دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا ﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ :

(21)

)

Newton’s Interpolating Polynomials

(

ﯽﻟوﺪﺟ ﻞﮑﺷ

Finite Divided Difference

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻞﮑﺷ ﻦﯾا

؟دراد يزرﺎﺑ ﯽﮔﮋﯾو ﻪﭼ يا

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ رد ﺮﯿﺴﻣ ﺎﯾآ

؟دراد ﺮﯿﺛﺎﺗ ﯽﯾﺎﻬﻧ يا

نﺎﺸﻧ  ﺪﯿﻫد

[ ] [ ] xj xi f xi xj :

f , = ,

[ xk xj xi] [ f xi xj xk ] [ f xk xi xj ] [ f xj xk xi ]

f , , = , , = , , = , ,

(22)

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

: لﺎﺜﻣ

ﻢﺘﯾرﺎﮕﻟ  ﯽﻌﯿﺒﻃ

2 ار ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا

ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﺪﻨﭼ

يا ﻪﻠﻤﺟ نﻮﺗﻮﯿﻧ

ﻦﯿﻤﺨﺗ ﺪﯿﻧﺰﺑ

.

زا ﻪﺟ رد يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﮏﯾ ندروآ ﺖﺳد ﻪﺑ ياﺮﺑ x₃=5 و x₂=6 ،x₁=4 ،x₀=1 طﺎﻘﻧ

3 .ﺪﯿﻨﮐ هدﺎﻔﺘﺳا

(23)

: لﺎﺜﻣ ﻪﻣادا

x_i

1 4 6

F(x_i)

5

0.0

1.386294 1.791759 ۱�۶۰۹۴۳۸

First Second Third

0.4620981 0.2027326 0.1823216

-0.05187311 -0.02041100

0.007865529

(24)

: لﺎﺜﻣ ﻪﻣادا

ln2=0.6931472 (ﻖﯿﻗد راﺪﻘﻣ )

f₁(2)=0.4620981 f₂(2)=0.5658444 f₃(2)=0.6287686

ﻖﻠﻄﻣ يﺎﻄﺧ ﺪﺻرد ﺮﺑاﺮﺑ 9,3

%

(25)

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ يﺎﻄﺧ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

هﺪﻫﺎﺸﻣ ﯽﻣ

دﻮﺷ ﻪﮐ

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ يا

ﻦﺗﻮﯿﻧ رﺎﯿﺴﺑ

ﻪﯿﺒﺷ ﻂﺴﺑ

رﻮﻠﯿﺗ ﺖﺳا

. راﺪﻘﻣ يﺎﻄﺧ

ﻊﻄﻗ

رد :دﻮﺷﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ رﻮﻠﯿﺗ ﻂﺴﺑ

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ياﺮﺑ ار يژﻮﻟﺎﻧآ ﻦﯾا ﻪﺑﺎﺸﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ يا

ﯽﻣ لﺎﻤﻋا ،ﻦﺗﻮﯿﻧ n ﻢﯿﻨﮐ

:

ﻊﺑﺎﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا مزﻻ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ياﺮﺑ ﺪﺷﺎﺑ مﻮﻠﻌﻣ f

. ﻦﯾا ﻞﺋﺎﺴﻣ زا يرﺎﯿﺴﺑ رد ﺎﻣا

ﺖﺴﯿﻧ ﺺﺨﺸﻣ ﻊﺑﺎﺗ .

؟دﺮﮐ ﺪﯾﺎﺑ ﻪﭼ لﺎﺣ

(26)

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ يﺎﻄﺧ ﻦﺗﻮﯿﻧ يا

ﻪﻠﻤﺟ ﻊﻗاو رد ﻪﻠﻤﺟ ﻦﯾا )

n+1 (

ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ ما ﺖﺳا يا

. ﯽﮑﻤﮐ ﻪﻄﻘﻧ ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ رد ﺲﭘ

n+1 نﺎﮑﻣا ﺎﻄﺧ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ سﺮﺘﺳد رد

ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭘ .

ﺮﺑ ﻦﯾا سﺎﺳا ﯽﻣ

ناﻮﺗ ﻪﺠﯿﺘﻧ

ﺖﻓﺮﮔ ﻪﮐ

يﺎﻄﺧ ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ

ﻦﺗﻮﯿﻧ ﻪﺒﺗﺮﻣ

رد n ﻊﻗاو فﻼﺘﺧا

ﻦﯿﺑ راﺪﻘﻣ ﺶﯿﭘ

ﯽﻨﯿﺑ هﺪﺷ

ﯽﺑﺎﯾ نﺎﯿﻣ ﻪﺒﺗﺮﻣ

n+1 و

ﻪﺒﺗﺮﻣ ﺖﺳا n

.