On the finite p-groups whose non-normal cyclic subgruops have small index in their normalizers

(1)

1 هدکشناد مولع

یشزومآ هوگر هادبرراک و تایضایر

ذؽرا یعبٌؽربو ِخرد تفبیرد یازث ِهبً ىبیبپ لحه یمبیر ِتؽر رد

ی‌هرابرد - P

‌یرود‌یاههورگریز‌سیدنا‌هک‌یهانتم‌یاه‌هورگ تسا‌کچوک‌اهنآزاس‌لامرن‌رد‌ناشلامرن‌ریغ

‌

زگؾٍّضپ :

هدازریظن هموصعم

بوٌّار دبتعا :

هداز لدبع نیسحرتکد

رٍبؾه دبتعا :

روپ نمهب لامکرتکد

ىبتغثبت 1396

(2)

2

َدؾًاد یگداًَبخ مبً ٍ مبً

:

ُداسزیظً ِهَقؼه

ِهبًٌبیبپ ىاٌَػ :

ی ُربثرد –𝑝

بّ ىآ سبغلبهزً رد ىبؾلبهزً زیغ یرٍد یبٍّْزگزیس ظیذًا ِو یّبٌته یبّ ٍُزگ

تعا هچَو بوٌّار دبتعا :

ُداس لذجػ يیغح زتود

رٍبؾه دبتعا :

رَپ يوْث لبوو زتود

یلیقحت غطمه :

دشرا یسانشراک

ِتؽر : لحه یمبیر

ؼیازگ : زجخ

ُبگؾًاد : یلیبدرا ققحم

ُذىؾًاد :

عبفد خیربتهَلػ :

27 / 6 / 96 تبحفف داذؼت :

56

ُذیىچ :

𝑝 هی هی ،ٍُزگ – 𝒩_𝑝^𝑚

- یاراد ىآ لبهزً زیغ یرٍد یبٍّْزگزیس مبوت ُبگزّ دَؽ یه ُذیهبً ٍُزگ

سا زتؾیث بً ظیذًا 𝑝^𝑚

ذؽبث ىبؽسبغلبهزً رد .

هیْجتزه ِو نیٌو یه تثبث ِهبً ىبیبپ يیا رد 𝒩_𝑝^𝑚

- ٍُزگ

ساذًاَت یوً ذٌیودد زیغ 𝑝(2𝑚 +1)(𝑚 +1)

ىآ رد ِو ذٌو سٍبدت 𝑝 > 2

. لهبو رَطث به يیٌچوّ

𝒩_𝑝² - یاسا ِث ار ذٌیودد زیغ یبّ ٍُزگ 𝑝 > 2

نیٌو یه یذٌث ُدر .

بّ ُصاٍ ذیلو :

،سبغلبهزً،ذٌیودذٍّزگ 𝒩_𝑝^𝑚

،ٍُزگ – –𝑝

ٍُزگ .

(3)

3

همدقم : ذٌؽبث یه یّبٌته ِهبًٌبیبپ يیا رد ثحث درَه یبٍّْزگ مبوت .

ذیٌو كزف هی𝐺

- 𝑝 ذؽبث ٍُزگ .

𝐻 زگا ی ُزع ٍُزگزیس هی ُبگًآ ذؽبث𝐺

یّزع ٍُزگزیس هی𝐻 𝑁_𝐺(𝐻)

دَث ذّاَخ .

زگید تربجؼث :

𝑁_𝐺(𝐻): 𝐻 ≥ 𝑝 ِؼلبطه يیازثبٌث

-𝑝 لبهزً زیغ ٍُزگزیس زّ یاسا ِث بًْآ رد ِو ییبّ ٍُزگ رد 𝐻

نیؽبث ِتؽاد𝐺

𝑁_𝐺(𝐻): 𝐻 = 𝑝 دَث ذّاَخ تلبخ

. ِلئغهرد چیَوزث طعَت ِلئغه يیا 116

، چیوکرب( )2008

رَطث

ِینل ،َئاص ٍ گًاص ِلیعَث ذیدزگ حزطه ـخؾه 3

- 5 ٍ 3 - 7 (

،َئاص ٍ گًاص 2010

) ذیدزگ لح .

رد چیَوزث

دزو حزطه ِلئغه يیا یازث یزگید لح ُار .

رد چیَوزث

یزت یلو تلبح

ُدر سا - 𝑝 لبهزً زیغ یرٍد یبٍّْزگزیس مبوت بًْآ رد ِو ییبّ ٍُزگ یاراد يىوه ِجتزه يیزتىچَو سا 𝐺

ظیذًا دزو یعرزث ار ذٌتغّ ىبؽسبغلبهزً رد 𝑝

. اذیپ ار یٌیٌچٌیا یبٍّْزگ سا یذٌث ُدر هی ٍا ظپع

دزو . رد چیَوزث

دزو دبٌْؾیپ ار زیس ِلئغه :

𝑝« - زتؾیث بً ظیذًا یاراد بًْآ لبهزً زیغ یرٍد یبٍّْزگزیس مبوت ِو ذیٌو یذٌث ُدر ار ییبّ ٍُزگ

𝑝²سا ذٌتغّ ىبؽسبغلبهزً رد .

»

دزو نیّاَخ یعرزث ار ِلئغه يیا به ِهبًٌبیبپ يیا رد .

مبوت به غلاٍ رد - 𝑝

نیّاَخ یعرزث ار ییبّ ٍُزگ

سا زتؾیث بً ظیذًا یاراد بًْآ لبهزً زیغ یرٍد یبٍّْزگزیس ِو دزو 𝑝^𝑚

ِو ذٌتغّ ىبؽسبغلبهزً رد 𝑚

تعا تجثه حیحف دذػ هی .

يیٌچ به - 𝑝

ًبحلاطفا ار بّ ٍُزگ 𝒩_𝑝^𝑚

- ذیهبً نیّاَخ ٍُزگ .

تثبث به

زگا ِو نیٌىیه 𝑝 > 2

هی ِجتزه ُبگًآ 𝒩_𝑝^𝑚

- دذػ ِلیعَث ذٌیودد زیغ ٍُزگ 𝑝(2𝑚 +1)(𝑚 +1)

سا

ُبگزّ ٍ دَؽ یه راذًازو لابث 𝑚 = 2

نیٌو یه یذٌث ُدر نغیفرَهٍشیا تحت ار بٍّْزگ يیا به ، .

(4)

4

تعا ُذؽ نیظٌت لقف ِع رد ِهبًٌبیبپ يیا .

ِیزظً یتبهذمه نیّبفه ٍ ِیلٍا فیربؼت لٍا لقف رد

تعا ُذؽ ِئارا یّبٌته یبٍّْزگ .

مٍد لقف رد 𝒩_𝑝^𝑚

- رد یدیبتً مَع لقف رد ٍ ُذؽ یعرزث بّ ٍُزگ

درَه 𝒩_𝑝² تعا ُذؽ ِئارا بٍّْزگ – .

تعا ُذؽ نیظٌت ٍ ِیْت زیس ِلبمه طبعا زث ِهبًٌبیبپ يیا :

X. Zhang and X. Guo, Finite p-groups whose non-normal cyclicsubgroups have small index in their normalizers, J. Group Theory 15(2012), 641-659.

(5)

5

لوا لصف

یتامدقم و یا هیاپ میهافم

(6)

6

رد ِو ذؽبث یهبّ ٍُزگ ِیزظً درَه رد یتبهذمه ٍ یا ِیبپ نیّبفه یخزث یرٍآدبی لقف يیا رد به فذّ

ذًزیگ یه رازل ُدبفتعا درَه یذؼث یبْلقف .

سبیً درَه مَْفه ذٌچ اذتثا بٍّْزگ ثحجه ِث ىذؽ دراٍ سا لجل

نیٌو یه یرٍآدبی ار داذػا ِیزظً سا .

–1 1 ) فیرعت : ذیٌو كزف ٍ 𝑎

ذٌؽبث حیحف دذػ ٍد 𝑏 .

نیئَگ سا یا ِیلػ مَغمه 𝑎

بی تعا 𝑏 دبػ 𝑎

ذٌو یه نیغیًَ یه ٍ ار 𝑏

ذًٌبه یحیحف دذػ ُبگزّ𝑎 𝑏

ِىیرَطث ذؽبث دَخَه 𝑘 𝑏 = 𝑘𝑎

. 𝑎 زگا دبػ

ذٌىً

نیغیًَ یه ار 𝑏 𝑎 ∤ 𝑏

. زگا يیٌچوّ

نیئَگ ُبگًآ ذؽبث تجثه حیحف دذػ هی 𝑚 تؾٌْوّ 𝑎

𝑏

ًِبویپ ِث تعا نیغیًَ یه ٍ 𝑚

:

𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚 )

ُبگزّ

𝑚 𝑏 − 𝑎 .

– 1 2 ) فیرعت : ذیٌو كزف ٍ𝑚

ذٌؽبث یتجثه حیحف داذػا𝑛 𝑛 .

ًِبویپ ِث غثزه ُذًبه هی ار 𝑚

ذًٌبه حیحف دذػ هی ُبگزّ نیهبٌیه 0 < 𝑥 < 𝑚

ِىیرَطث ذؽبث دَخَه :

𝑥² ≡ 𝑛 (mod 𝑚 ) 𝑛زگا

ًِبویپ ِث غثزه ُذًبه هی ُبگًآ ذؽبجً𝑚

ًِبویپ ِث غثزه ُذًبهبً هی ار 𝑛 نیهبً یه𝑚

. لبثه ىاٌَؼث

دذػ 4 ًِبویپ ِث غثزه ُذًبه هی 5

ٍ تعا 3

ًِبویپ ِث غثزه ُذًبهبً هی 5

تعا .

نیسادزپ یهبّ ٍُزگ ثحجه ِث لبح .

ذیٌو كزف ذؽبث ٍُزگ هی 𝐺

. ِػَوده زگا یّبٌته ِػَوده هی𝐺

ُبگًآ ذؽبث نیهبً یه یّبٌته ٍُزگ هی ار 𝐺

. 𝐻 زگا سا ِػَودهزیس هی ٍ ذؽبث𝐺

ذؽبث ٍُزگ هی دَخ𝐻 (

بث

(7)

7

ٍُزگ لوػ )𝐺

ُبگًآ سا ٍُزگزیس هی ار𝐻

نیغیًَ یه ٍ نیهبً یه𝐺 𝐻 ≤ 𝐺

𝐻 ≤ 𝐺 ٍ

𝐻 ≠ 𝐺 ُبگًآ

سا ُزع ٍُزگزیس هی ار𝐻 نیغیًَ یه ٍ نیهبً یه𝐺

𝐻 < 𝐺 .

–1 3 ) فیرعت : ذیٌو كزف

ٍ ٍُزگ هی𝐺 سا یْتبً ِػَودهزیس هی 𝑋

ذؽبث 𝐺 . ییبٍّْزگزیس مبوت نازتؽا

𝐺 سا لهبؽ ِو ار طعَت ُذؽ ذیلَت ٍُزگزیس ذٌتغّ 𝑋

دبوً بث ار ىآ ٍ نیهبٌیه𝑋

< 𝑋 >

نیّد یه ىبؾً

.

𝑋 = { 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 } زگا یبخ ِث ُبگًآ

< 𝑋 >

نیغیٌَیه

< 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 >

زگا ؿبخ تلبح رد ٍ

𝑋 = { 𝑥 } یبخ ِث ُبگًآ

< { 𝑥 } >

نیغیًَ یه

< 𝑥 >

طعَت ُذؽ ذیلَت یرٍد ٍُزگزیس ار ىآ ٍ

نیهبً یه𝑥 .

𝐺 =< 𝑋 > زگا ِػَوده ُبگًآ

ٍُزگ ذلَه ِػَوده ار 𝑋 ذلَه ِػَوده زگا ؿبخ تلبح رد ٍ نیهبً یه𝐺

ُبگًآ ذؽبث یَنػ هت𝐺 نیهبً یه یرٍد ٍُزگ هی ار 𝐺

ٍ 𝐻 سا ٍُزگزیس ٍد 𝐾 ذٌؽبث 𝐺

طعَت ُذؽ ذیلَت ٍُزگزیس ُبگًآ 𝐻 ∪ 𝐾

دبوً بث ار

< 𝐻, 𝐾 >

.

–1 4 ) فیرعت : زگا ٍُزگ شوزه ُبگًآ ذؽبث ٍُزگ هی𝐺 بث ار 𝐺

فیزؼت زیس ترَقث ٍ ُداد ىبؾً𝑍(𝐺)

نیٌىیه :

𝑍 𝐺 = 𝑥 ∈ 𝐺 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 ; ∀𝑦 ∈ 𝐺 سا ٍُزگزیس هی ُراَوّ 𝑍(𝐺)

تعا𝐺 .

–1 5 ) فیرعت : ذیٌو كزف ٍ ذؽبث ٍُزگ هی 𝐺

𝑥 ∈ 𝐺 . سبعشوزه رد𝑥

دبوً بث ار𝐺 𝐶_𝐺(𝑥)

ُداد ىبؾً

نیٌو یه فیزؼت زیس ترَقث ٍ :

𝐶_𝐺 𝑥 = 𝑦 ∈ 𝐺 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 زگا یلو تلبح رد

𝐻 ⊆ 𝐺 سبعشوزه ُبگًآ

رد𝐻 نیٌو یه فیزؼت زیس ترَقث ار 𝐺 :

𝐶_𝐺 𝐻 = 𝑦 ∈ 𝐺 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 ; ∀𝑥 ∈ 𝐻

(8)

8

سا ٍُزگزیس هی ُراَوّ ِػَودهزیس هی سبعشوزه تعا 𝐺

.

–1 6 ) مل : زگا

ُبگًآ ذؽبث ٍُزگ هی 𝐺 :

𝑍 𝐺 = 𝐶_𝐺 𝐺 =∩_𝑥∈𝐺 𝐶_𝐺 𝑥 تبجثا

: ،یلبوخ ِث (

1391 ) ذیٌو ِؼخازه .

–1 7 ) فیرعت : ذیٌو كزف سا ُزع ٍُزگزیس هی𝑀

ذؽبث𝐺 . ترَقٌیا رد لبویشوبه ٍُزگزیس هی ار 𝑀

𝐺سا سا یٍّزگزیس چیّ ُبگزّ نیهبً یه ذًٌبه𝐺

ِىیرَطث ذؽبجً دَخَه 𝐻 𝑀 < 𝐻 < 𝐺

.

–1 8 ) فیرعت : زگا لبویشوبه یبٍّْزگزیس مبوت نازتؽا ُبگًآ ذؽبث ٍُزگ هی 𝐺 یٌیتازف ٍُزگزیس ار𝐺

دبوً بث ار ىآ ٍ ُذیهبً𝐺 نیّد یه ىبؾً Φ(𝐺)

.

–1 9 ) فیرعت : ذیٌو كزف 𝐻 ≤ 𝐺

𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ٍ .

نیٌو یه فیزؼت ترَقٌیا رد :

𝐻𝑏 = 𝑕𝑏 𝑕 ∈ 𝐻 𝑎𝐻 = 𝑎𝑕 𝑕 ∈ 𝐻 ٍ

پچ ِػَوده نّ بی ِتعذوّ هی ار 𝑎𝐻 رد 𝐻

ٍ𝐺 تعار ِػَوده نّ هی ار𝐻𝑏 رد 𝐻

نیهبً یه 𝐺 .

–1 10 ) مل : ذیٌو كزف 𝐻 ≤ 𝐺

𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ٍ .

ترَقٌیا رد :

فلا 𝑎𝐻) 𝐻𝑏 ٍ ،ذٌتغّ دذؼوّ

ة 𝑎𝐻 = 𝑏𝐻) زگا بٌْت ٍ زگا

𝑎⁻¹𝑏 ∈ 𝐻 ،

ج 𝑎𝐻 = 𝐻) زگا بٌْت ٍ زگا

𝑎 ∈ 𝐻 ،

د 𝐺 =∪_𝑥∈𝐺 𝑥𝐻) .

تبجثا : ،یلبوخ ِث (

(9)

9

–1 11 ) فیرعت : ذیٌو كزف ٍ ذؽبث یّبٌته ٍُزگ هی𝐺

𝐻 ≤ 𝐺 .

شیبوته پچ یبّ ِػَوده نّ داذؼت

رد𝐻 ظیذًا ار𝐺 رد 𝐻

دبوً بث ٍ ُذیهبً𝐺 𝐺: 𝐻

.

–1 12 ) هیضق : زگا

ٍ ذؽبث یّبٌته ٍُزگ هی𝐺 𝐻 ≤ 𝐺

ُبگًآ :

𝐺: 𝐻 = 𝐺 𝐻 تبجثا

: یلبوخ ِث (

–1 13 ) هجیتن : ذٌو یه دبػ ار ٍُزگ ِجتزه ٍُزگزیس زّ ِجتزه ،یّبٌته یبٍّْزگ رد .

–1 14 ) فیرعت : ذیٌو كزف 𝐻 ≤ 𝐺𝐻

سا لبهزً ٍُزگزیس هی ار زّ یاسا ِث ُبگزّ نیهبً یه𝐺

𝑥 ∈ 𝐺

نیؽبث ِتؽاد 𝑥𝐻 = 𝐻𝑥

. 𝐻 زگا لبهزً ٍُزگزیس نیغیًَ یه ذؽبث 𝐺

𝐻 ⊴ 𝐺 .

–1 15 ) فیرعت : ذیٌو كزف 𝑁 ⊴ 𝐺

. نیّد یه رازل :

𝐺 𝑁 = 𝑥𝑁 𝑥 ∈ 𝐺

ِػَوده ترَقٌیا رد ییبتٍد لوػ بث𝐺 𝑁

𝑥𝑁 𝑦𝑁 = 𝑥𝑦 𝑁 دَث ذّاَخ ٍُزگ هی

𝐺 𝑁 . ار

یتوغل جربخ ٍُزگ ِلیعَث 𝐺

نیهبً یه 𝑁 .

–1 16 ) فیرعت : زگا 𝐻 ≤ 𝐺 سبغلبهزً ُبگًآ

رد 𝐻 نیٌو یه فیزؼت زیس ترَقث ار 𝐺 :

𝑁_𝐺(𝐻) = 𝑥 ∈ 𝐺 𝑥𝐻 = 𝐻𝑥 –1

17 ) هیضق : ذیٌو كزف 𝐻 ≤ 𝐺

. ترَقٌیا رد :

فلا 𝑁_𝐺(𝐻) ≤ 𝐺)

،

ة 𝐻 ⊴ 𝑁_𝐺(𝐻)) ،

(10)

10

ج 𝐻 ⊴ 𝐺) زگا بٌْت ٍ زگا

𝑁_𝐺 𝐻 = 𝐺 ،

د ) 𝐾 ≤ 𝐺 زگا 𝐻 ⊴ 𝐾ٍ

ُبگًآ 𝐾 ≤ 𝑁_𝐺 𝐻 ،

ُ 𝐶_𝐺 𝐻 ⊴ 𝑁_𝐺(𝐻)) .

تبجثا : یلبوخ ِث (

–1 18 ) فیرعت ذیٌو كزف :

ٍ ذؽبث ٍُزگ هی𝐺 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺

. زگبدثبخ ٍ 𝑥

دبوً بث ار 𝑦 𝑥, 𝑦

ىبؾً

نیٌو یه فیزؼت زیس ترَقث ٍ ُداد :

𝑥, 𝑦 = 𝑥⁻¹𝑦⁻¹𝑥𝑦 𝐻, 𝐾 ≤ 𝐺 زگا

نیٌو یه فیزؼت ُبگًآ :

𝐻, 𝐾 = 𝑥, 𝑦 𝑥 ∈ 𝐻 , 𝑦 ∈ 𝐾

،ؿبخ تلبح رد 𝐺, 𝐺

كتؾه ٍُزگزیس ار دبوً بث ٍ ُذیهبً 𝐺

𝐺^′ اذل نیّد یه ىبؾً

:

𝐺^′ = 𝐺, 𝐺 = 𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 –1

19 ) هیضق : 𝐺زگا

ُبگًآ ذؽبث ٍُزگ هی :

فلا 𝐺^′ ⊴ 𝐺)

،

ة 𝐺 𝐺^′) ،تعا یلثآ

ج ) 𝐻 ⊴ 𝐺 زگا 𝐺 𝐻ٍ

ُبگًآ ذؽبث یلثآ 𝐺^′ ≤ 𝐻

.

(11)

11

–1 20 ) فیرعت : ذیٌو كزف ٍ ذؽبث ٍُزگ هی𝐺

𝑥 ∈ 𝐺 . 𝑛 زگا ِوذؽبث یتجثه حیحف دذػ يیزتىچَو

𝑥^𝑛 = 1 ُبگًآ

زقٌػ ِجتزه ار𝑛 دبوً بث ار ىآ ٍ ُذیهبً𝑥

یتجثه حیحف دذػ زگا ،نیّد یه ىبؾً𝑜(𝑥)

ذًٌبه ِوذؽبجً دَخَهn 𝑥^𝑛 = 1

نییَگ نیغیًَ یه ٍ تعا یّبٌتهبً ِجتزه سا 𝑥

𝑜 𝑥 = ∞ .

–1 21 ) هیضق : ذیٌو كزف ٍ ذؽبث ٍُزگ هی𝐺

𝑥 ∈ 𝐺 . ترَقٌیارد :

فلا 𝑜 𝑥 = 𝑜(𝑥⁻¹)) ،

ة ) 𝑜 𝑥 = 𝑛 زگا 𝑘 ∈ ℤ ٍ

ُبگًآ 𝑜 𝑥^𝑘 = ^𝑛

𝑘,𝑛

،

ج ) 𝑜 𝑥 = 𝑛زگا 𝑥^𝑚 = 1 ٍ

ُبگًآ ، 𝑛 𝑚

د 𝑜 𝑥 = < 𝑥 > ) .

تبجثا :

ِث (

،یلبوخ

1391 )

ذیٌو ِؼخازه .

–1 22 ) هجیتن : 𝐺زگا سا َنػ زّ ِجتزه ُبگًآ ذؽبث یّبٌته ٍُزگ هی ٍُزگ ِجتزه 𝐺

ذٌو یه دبػ ار 𝐺 .

–1 23 ) فیرعت : ذیٌو كزف ذؽبث یّبٌته ٍُزگ هی𝐺

. ِجتزه نزتؾه ةزنه يیزت هچَو ترَقٌیا رد

زفبٌػ مبوت ٍُزگ یبوً ار𝐺

دبوً بث ٍ نیهبً یه𝐺 exp⁡(𝐺)

.

–1 24 ) هجیتن : exp 𝐺 = 𝑛زگا زّ یاسا ِث ُبگًآ

𝑥 ∈ 𝐺 𝑥^𝑛 = 1 ،

.

– 1 25 ) فیرعت : ذیٌو كزف ٍ𝐺

ذٌؽبث ٍُزگ𝐻 .

غثبت 𝑓: 𝐺 → 𝐻 یتخیزوّ بی نغیفرَهَوّ هی ار

زّ یاسا ِث ُبگزّ نیهبٌیه 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺

نیؽبث ِتؽاد :

𝑓 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓(𝑦) نیهبٌیه نغیفرَهٍشیا هی ار بؽَپ ٍ هی ِث هی نغیفرَهَوّ زّ

. یبّ ٍُزگ

ٍ 𝐺 نیهبً یوفرَهٍشیا ار 𝐻

سا نغیفرَهٍشیا هی ُبگزّ

ِث𝐺 ذؽبث دَخَه𝐻 .

𝐺 زگا بث نیغیًَ یه ذؽبث فرَهٍشیا 𝐻 :

𝐺 ≅ 𝐻

(12)

12

–1 26 ) فیرعت : ذیٌو كزف ذؽبث ٍُزگ هی 𝐺

. ذًٌبه نغیفرَهٍشیا زّ

𝑓: 𝐺 → 𝐺 بی نغیفرَهَتا ار

یتخیزًٍرد نیهبً یه𝐺

. یٍر بْوغیفرَهَتا ِوّ ِػَوده دبوً بث ار 𝐺

𝐴𝑢𝑡(𝐺) نیّد یه ىبؾً

. يیا

یبْوغیفرَهَتا ٍُزگ ار ىآ ِو تعا ٍُزگ هی غثاَت تیوزت لوػ بث ِػَوده نیهبً یه𝐺

. 𝑥 ∈ زگا

تؽبگً ِو دزو یعرزث ىاَت یه یتحازث ُبگًآ ذؽبث تثبث ٍ ُاَخلد𝐺 𝜑_𝑥: 𝐺 → 𝐺

ِطثبم بث ، 𝜑_𝑥 𝑔 =

𝑥⁻¹𝑔𝑥 یٍر یلخاد نغیفرَهَتا هی ًبحلاطفا ار ىآ ِو تعا نغیفرَهَتا هی

ِلیعَث ِىویهبً یه𝐺

زقٌػ دَؽ یه بملا𝑥

. یلخاد یبْوغیفرَهَتا مبوت ِػَوده دبوً بث ار 𝐺

𝐼𝑛𝑛(𝐺) نیّد یه ىبؾً

.

–1 27 ) فیرعت : ذیٌو كزف ذؽبث لٍا دذػ هی𝑝

. ٍُزگ هی ار 𝐺

- 𝑝 زّ ِجتزه ُبگزّ نیهبً یه ٍُزگ

َنػ دذػ سا یًاَت 𝐺

ذؽبث 𝑝 .

–1 28 ) هجیتن : زگا هی𝐺 - 𝑝

ُبگًآ ذؽبث یّبٌته ٍُزگ 𝐺 = 𝑝^𝑛

ىآ رد ِو

n _

.

–1 29 ) فیرعت : 𝐻 ≤ 𝐺زگا 𝑝هی

- ُبگًآ ذؽبث ٍُزگ هی ار𝐻

- 𝑝 سا ٍُزگزیس نیهبً یه 𝐺

.

–1 30 ) هیضق : ذیٌو كزف هی 𝐺

- 𝑝 ذؽبث ٍُزگ .

ترَقٌیا رد :

فلا 𝑍(𝐺) ≠ 1)

،

ة ) 𝐻 < 𝐺 زگا

ُبگًآ 𝐻 < 𝑁_𝐺(𝐻) .

– 1 31 ) فیرعت : ٍُزگ ذیزیگث زظً رد ار 𝐺

.

ٍُزگ سا لبهزً زیشیزع هی سا یا ِلبجًد سا تعا تربجػ 𝐺

یبٍّْزگزیس ذًٌبه𝐺

𝐻_𝑛, … , 𝐻₁, 𝐻₀ زیس ترَف ِث

:

1 = 𝐻₀ ⊴ 𝐻₁ ⊴ ⋯ ⊴ 𝐻_𝑛 = 𝐺

(13)

13

𝐻_𝑖زّ

یتوغل جربخ یبٍّْزگ ٍ یزع سا ِلوخ هی ار 𝐻_𝑖 𝐻_𝑖−1

نیهبً یه یزع یبْلهبػ ار .

يیٌچوّ

𝑛 دذػ نیهبً یه یزع يیا لَط ار .

زگا ٍ نیهبً یه یلثآ لبهزً زیس یزع هی ار یزع ُبگًآ ذٌؽبث یلثآ بْلهبػ مبوت لبهزً زیس یزع هی رد زگا لبهزً ٍُزگزیس ،یزع تلاوخ مبوت نیهبً یه لبهزً یزع هی ار یزع ُبگًآ ذٌؽبث 𝐺

.

–1 32 ) فیرعت : لبهزً یزع :

1 = 𝐻₀ ⊴ 𝐻₁ ⊴ ⋯ ⊴ 𝐻_𝑛 = 𝐺 زّ یاسا ِث ُبگزّ نیهبً یه یشوزه یزع هی ار

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 نیؽبث ِتؽاد

:

𝐻_𝑖 𝐻_𝑖−1 ≤ 𝑍(𝐺 𝐻_𝑖−1) –1

33 ) فیرعت : ٍُزگ

ُبگزّ نیهبً یه زیذپلح ار𝐺 ذؽبث یلثآ لبهزً زیس یزع هی یاراد 𝐺

.

–1 34 ) فیرعت : ٍُزگ

ُبگزّ نیهبً یه ىاَتچَپ ار𝐺 ذؽبث یشوزه یزع هی یاراد𝐺

.

–1 35 ) هیضق : 𝑝زّ

- تعا ىاَتچَپ ،یّبٌته ٍُزگ .

– 1 36 ) فیرعت :

ٍُزگ رد یبٍّْزگزیس𝐺

Γ_𝑛(𝐺) ٍ Z_𝑛(𝐺) فیزؼت زیس ترَقث ٍ یتؾگسبث طثاٍر بث ار

نیٌىیه : ذیّد رازل Γ₁ 𝐺 = 𝐺

Z₀ 𝐺 = 1ٍ .

حیحف دذػ زّ یاسا ِث 𝑛 > 1

نیٌو یه فیزؼت :

Γ_𝑛 𝐺 = Γ_𝑛−1 𝐺 , 𝐺 حیحف دذػ زّ یاسا ِث ٍ

𝑛 > 0 نیٌو یه فیزؼت :

𝑍_𝑛 𝐺 𝑍_𝑛−1 𝐺 = 𝑍(𝐺 𝑍_𝑛−1(𝐺))

(14)

14

یبْیزع ترَقٌیا رد

𝐺 = Γ₁ 𝐺 ≥ Γ₂ 𝐺 ≥ Γ₃ 𝐺 ≥ ⋯

ٍ

1 = Z₀ 𝐺 ≤ Z₁ 𝐺 ≤ Z₂ 𝐺 ≤ ⋯ یئلابث ٍ یٌیئبپ یشوزه یبْیزع تیتزت ِث ار

نیهبً یه𝐺 .

–1 37 ) هیضق : ذٌلدبؼه زیس یبّ ُراشگ :

فلا 𝐺)

،تعا ىاَتچَپ ة Γ_𝑛 𝐺 = 1) حیحف دذػ یخزث یاسا ِث ،

، 𝑛

ج Z_𝑛 𝐺 = 𝐺) حیحف دذػ یخزث یاسا ِث ،

. 𝑛

–1 38 ) هیضق : ذیٌو كزف ذؽبث ىاَتچَپ ٍُزگ هی𝐺

. سا یشوزه یزع زّ یاسا ِث ترَقٌیا رد ذًٌبه𝐺

1 = 𝐻₀ ⊴ 𝐻₁ ⊴ ⋯ ⊴ 𝐻_𝑛 = 𝐺 نیراد

:

Γ_{𝑟−𝑖+1} 𝐺 ≤ H_𝑖 ≤ Z_𝑖 𝐺 حیحف دذػ يیزت هچَو ،يیا زث ٍُلاػ

ِىیرَطث𝑐 Γ_𝑐+1 𝐺 = 1

حیحف دذػ يیزتىچَو بث تعا زثازث 𝑐

ِىیرَطث Z_𝑐 𝐺 = 𝐺

.

(15)

15

– 1 39 ) فیرعت : زگا ،قَف ِینل كثبطه

ِو ذؽبث یحیحف دذػ يیزتىچَو 𝑐 Γ_𝑐+1 𝐺 =

1Z_𝑐 𝐺 = 𝐺 ُبگًآ

ٍُزگ یًاَتچَپ ُدر ار 𝑐 دبوً بث ٍ نیهبً یه𝐺

نیّد یه ىبؾً 𝑐(𝐺) .

–1 40 ) فیرعت : ٍُزگ

ٍُزگزیس زّ ُبگزّ نیهبً یه ذٌیودد ٍُزگ هی ار G رد G

ذؽبث لبهزً G .

–1 41 ) فیرعت : ذیٌو كزف هی G

- p ذؽبث ٍُزگ G.

هی ار 𝒩_p^m - زّ یاسا ِث ُبگزّ نیهبً یه ٍُزگ

لبهزً زیغ یرٍد ٍُزگزیس سا H

نیؽبث ِتؽاد G N_G(H): H ≤ p^m

.

1 - 42 ) فیرعت : ذیٌو كزف هی G

- p ترَقٌیا رد ذؽبث ٍُزگ :

Ω_k G = < 𝑔 ∈ 𝐺 g^p^k = 1 >

- p ترَقٌیا رد ذؽبث ٍُزگ :

℧_𝑛 𝐺 = < x^pⁿ x ∈ 𝐺 >

1 - 44 ) هیضق : ذیٌو كزف هی G

–p

ٍ ذؽبث یْیذث زیغ یّبٌته یلثآ ٍُزگ . 𝑎 ∈ 𝐺

زگا ترَقٌیا رد

ِجتزه َنػ زّ ِجتزه سا 𝑎

ُبگًآ ذؽبث زتوو بً G ذًٌبه یٍّزگ زیسG

ِىیرَطث دراد H :

𝐺 =< 𝑎 >× H .

هجیتن : G زگا p هی ُبگًآ ذؽبث یْیذث زیغ یّبٌته یلثآ ٍُزگ – زیس سا یداذؼت نیمتغه ةزنلفبح ِث G

بّ ٍُزگ ی دَؽ یه ِیشدت ػا یْیذث زیغ یرٍد .

زگید تربجػ ِث ذًٌبه یْیذث زیغ ییبنػا G

𝑎_𝑛, … , 𝑎₁ دراد

ِىیرَطث 𝐺 = < 𝑎₁ >× … ×< 𝑎_𝑛 >:

–p

ٍ ذؽبث یْیذثزیغ یّبٌته یلثآ ٍُزگ

𝐺 =< 𝑎₁>× … ×< 𝑎_𝑟 >

(16)

16

زّ یاسا ِث ىآ رد ِو 1≤ 𝑖 ≤ 𝑟

𝑎_𝑖 ∈ 𝐺ٍ 𝑎_𝑖 = p^𝑒^𝑖ٍ

ٍ 𝑒₁ ≥ ⋯ ≥ 𝑒_𝑟 ≥ 1 ترَف يیا رد

داذػا p^𝑒^𝑟, … , p^𝑒¹ یبّبیبپ ار

نییَگ ٍ نیهبً یهG هی G

–p عًَ سا یلثآ ٍُزگ 𝑒₁،…،𝑒_{𝑟 )}

) تعا .

1 - 46 ) هیضق : نیٌو كزف 𝐺_𝑛, … , 𝐺₁

n ، ذٌؽبث ٍُزگ .

ِػَوده رد 𝐺₁ × … × 𝐺_𝑛

ار زیس ییبتٍد لوػ

نیٌو یه فیزؼت يیٌچ 𝑔₁𝑔^′₁, … , 𝑔_𝑛𝑔^′_𝑛 :

𝑔₁, … , 𝑔_𝑛 (𝑔^′₁, … , 𝑔^′_𝑛( =

ىآ رد ِو 𝑔_𝑖, 𝑔^′_𝑖

G رد ذًا . ِػَوده ِو دَؽ یه ِظحلاه یًبعآ ِث 𝐺₁ × … × 𝐺_𝑛

هی قَف لوػ بث

تعا ٍُزگ .

نیمتغه ةزنلفبح ار ٍُزگ يیا (

یخربخ ) بّ ٍُزگ 𝐺_𝑛, … , 𝐺₁ی

م ی ذٌهبً

ىبوّ بث ار ىآٍ

تهلاػ 𝐺₁ × … × 𝐺_𝑛

ذٌّد یه ىبؾً

.

1 - 47 ) فیرعت : G زگا p هی ُبگًآ ذؽبث ٍُزگ – ار G

–p زّ یازث ُبگ زّ نیهبً یه یلثآ ٍ𝑥

سا𝑦 ِتؽاد G

نیؽبث :

𝑥𝑦 ^𝑝 = 𝑥^𝑝𝑦^𝑝 1

- 48 ) فیرعت : ذیٌو كزف هی G

–p

ِجتزه سا ٍُزگ p^m

ذؽبث . نییَگ ُبگزّ تعا لبویشوبه ُدر سا G

𝑚 > 2 ُدر ٍ

( یًاَتچَپ G)

زثازث ذؽبث m-1

.

1 - 49 ) فیرعت :

ذیٌو كزف ٍ لٍا یدذػ 𝑝

𝑛₁ ، ...

𝑛_𝑘 ، ذٌؽبث یؼیجط داذػا .

یلثآ ٍُزگ

ℤ_𝑝𝑛 1 × ⋯ × ℤ_𝑝𝑛 𝑘

عًَ سا یلثآ ٍُزگ یگدبع یازث ار 𝑝^𝑛¹, ⋯ , 𝑝^𝑛^𝑘

نییَگ .

1 - 50 ) فیرعت : یبّ ِػَوده یتربود ةزنلفبح 𝑆_𝑛, … , 𝑆₁

مبوت ِػَوده تتزه یبْییبتn

𝑎₁،…،𝑎_{𝑛 )} )

ِو تعا 𝑎_𝑖 ∈ 𝑆_𝑖

. بث یتربود ةزم لفبح 𝑆₁ × 𝑆₂… × 𝑆_𝑛

𝑆ⁿ_𝑖= _𝑖بی دَؽ یه ُداد ىبؾً

.

1 - 51 ) هیضق : ℤ_𝑚 × ℤ_𝑛ٍُزگ ℤ_𝑚𝑛بث

زگا طمف ٍ زگا تعا تخیزىی یٌؼی ذٌؽبث لٍا نّ ِث تجغً m,n

نزتؾه ِیلػ مَغمه يیزتگرشث (

نوث m,n) یٍبغه 1 ذؽبث .

تبجثا : ِث دَؽ عَخر (

،یلازف 1383 )

(17)

17

هجیتن : ℤ_𝑚_𝑖 ٍُزگ

n𝑖=1

بجتخیزىیٍ یرٍد ℤ_𝑚₁_𝑚₂_…𝑚_𝑛

داذػا زگا طمفٍ زگبتعا m_𝑖

یاسا ِث

i = 1,2,….n نزتؾه ِیلػ مَغمه يیزتگرشث ِو ذٌؽبث ىبٌچ

( نوث ) بًْآ یٍد زّ

1 ذؽبث .

،یلازف 1383 )

1 - 52 ) هیضق : نیٌو كزف G_𝑖

n𝑖=1 ∈ 𝑎₁،…،𝑎_{𝑛 )} )

زّ یاسا ِث ُبگ زّ،

زقٌػ ، 𝑖 𝑎_𝑖

G_𝑖 رد ِجتزه سا

یّبٌته 𝑟_𝑖 ِجتزه ُبگًآذؽبث 𝑎₁،…،𝑎_{𝑛 )}

) G_𝑖 رد

n𝑖=1

مبوت نزتؾه ةزنه يیزتىچَو یٍبغه 𝑟_𝑖

تعبّ

. تبجثا : ِث دَؽ عَخر (

،یلازف 1383 )

1 - 53 ) هیضق : یّبٌته ذیلَت بث یلثآ ٍُزگ زّ

زیس لىؽ ِث یرٍد یبٍّْزگ نیمتغه ةزم لفبح بث G

تعا تخیزىی :

ℤ_𝑝₁𝑟1 × ℤ_𝑝₂𝑟2 × … × ℤ_𝑝_𝑛𝑟𝑛 × ℤ × ℤ × … × ℤ ىآ رد ِو

𝑝_𝑖

ٍ لٍا داذػابّ

𝑟_𝑖 ذٌتغّ تجثه حیحف داذػا بّ

. ؼیارآ سا زظً فزف نیمتغه ةزم لفبح

تعا دزف ِثزقحٌه ،لهاَػ يىوه دذده :

داذؼت یٌؼی (

یتث دذػ )G

لهاَػ یبًْاَت ٍ تعا دزف ِث زقحٌه ℤ

(𝑝_𝑖)^𝑟^𝑖 لٍا ذٌتغّ دزف ِث زقحٌه .

،یلازف 1383 )

(18)

18

ِجتزه یازث لابث ىازو هی لقف يیا رد 𝒩_𝑝^𝑚

- نیرٍآ یه تعذث ذٌیودد زیغ یبّ ٍُزگ .

ٍ فیربؼت اذتثا

نیٌو یه حزطه ار یتبهذمه حیبتً

.

2 - 1 ) مل : نیٌو كزف هی𝐺

–𝑝 ًِ ٍ تعا یرٍد ًِ ِو ذؽبث ٍُزگ 2

- لبویشوبوی ُدر سا ٍُزگ .

ُبگًآ

عًَ سا لبهزً یلثآ ٍُزگزیس هی لهبؽ𝐺 𝑝, 𝑝

تعا .

تبجثا : ِث

،چیوکرب( )2008

–2 2 ) مل : ذیٌو كزف هی 𝐺

- 𝑝

ٍ ذؽبث ٍُزگ 𝐺 = 𝑝^𝑛

. زگا لبویشوبه یلثآ لبهزً ٍُزگزیس هی 𝑁

ِجتزه سا 𝐺 𝑝^𝑎

ُبگًآ ذؽبث 2𝑛 ≤ 𝑎(𝑎 + 1)

.

تبجثا : ِث

م(

.

،ویک و ووژ

)2010

– 2 3 ) هیضق : ذیٌو كزف ٍ دزف لٍا دذػ هی𝑝

ِجتزه سا ٍُزگ هی𝐺 𝑝⁶

ذؽبث ذلَه ِع بث .

زگا

Φ 𝐺 = 𝑍 𝐺 = 𝐺^′ ≅ 𝐶_𝑝³ ُبگًآ

تعا فرَهٍشیا زیس یبٍّْزگ سا یىی بث𝐺 :

( 1

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 1, 𝑎, 𝑏 = 𝑐^𝑝, 𝑏, 𝑐 = 𝑏^𝑝, )

𝑐, 𝑎 = 𝑑, 𝑎^𝑝 = 𝑏^𝑟𝑝𝑑⁻¹ >

ىآ رد ِو 𝑟 = 1

𝑟 = 𝜈بی 𝜈ِو

ًِبویپ ِث غثزه ُذًبهبً هی تعا𝑝

.

( 2

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, 𝑎, 𝑏 = 𝑐^𝑝, 𝑏, 𝑐 = 𝑑, )

𝑐, 𝑎 = 𝑒, 𝑎^𝑝 = 𝑑^𝑟𝑒⁻¹ , 𝑏^𝑝 = 𝑑𝑒 >

داذػا سا دذػ ٍد للاذح ىآ رد ِو ٍ−𝑟

−(𝑟 + 1)

−(𝑟 + 1) 𝑟ٍ ًِبویپ ِث غثزه ُذًبه

ٍ تعا𝑝

1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 2 .

( 3

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, 𝑎, 𝑏 = 𝑑, 𝑏, 𝑐 = 𝑐^𝑝, )

(19)

19 Family name:Nazirzadehname:Masumeh

Title of thesis: On the finitep-groups whose non-normal cyclic subgruopshave small index in their normalizers

Supervisor:Dr.Hossein Abdolzadeh Advisor:Dr. Kamal Bahmanpour Graduate degree:M.Sc

Major:Pure Mathematics Specialty:Algebra

University: Mohaghegh Ardabili Faculty:Sciences Graduation date: 2017/09/18 Number of pages:56 Abstract:

A p-group is called an𝒩_𝑝^𝑚- group if all of its non-normal cyclic subgroups have index no more than𝑝^𝑚 in their normalizers. In this paper we prove that the order of a non- Dedekind 𝒩_𝑝^𝑚-group cannot exeeds 𝑝 2𝑚 +1 (𝑚 +1)when p>2. We also completelyclassify non-Dedekind𝒩_𝑝²-groups for p>2.

Keywords:Dedekind group, p-group, 𝒩_𝑝^𝑚– group,Normalizer.

(20)

20

University of Mohaghegh Ardabili

Faculty of Sciences

Department ofMathematics and Applications

Thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of M.Sc.in PureMathematics

Title:

On the finite p-groups whose non-normal cyclic subgruops have small index in their normalizers

Supervisor:

Dr.Hossein Abdolzadeh(Ph.D)

Advisor:

Dr.Kamal Bahmanpour(Ph.D)

By:

Masumeh Nazirzadeh

2017