Generalization of an iterative method for solving SPD linear system of equations

٥٤

مﻮﻠﻋ هﺪﮑﺸﻧاد

ﯽﺿﺎﯾر هوﺮﮔ

ناﻮﻨﻋ :

ﺗ شور ﮏﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ ياﺮﺑ يراﺮﮑ

ﯽﻄﺧ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ

ﺳا ﺎﺗ ﺪﯿ ﺎﻤﻨﻫار :

ﻪﯾﻮﮑﻟﺎﺳ ﻪﺘﺴﺠﺧ دواد ﺮﺘﮐد

ﺎﯿﻧ برﺎﺿ ﺪﻤﺤﻣ ﺮﺘﮐد

ﻂﺳﻮﺗ :

يزرﻮﻠﮐ ﯽﺑﻮﻘﻌﯾ ﻪﻠﻌﺷ

ﻠﯿﺑدرا ﻖﻘﺤﻣ هﺎﮕﺸﻧاد ﯽ

ﺮﻬﻣ

1387

٥٥

ﯽﮔداﻮﻧﺎﺧ مﺎﻧ :

مﺎﻧ يزرﻮﻠﮐ ﯽﺑﻮﻘﻌﯾ :

ﻪﻠﻌﺷ

ﻪﻣﺎﻧ نﺎﯾﺎﭘ ناﻮﻨﻋ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﯽﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ ياﺮﺑ يراﺮﮑﺗ شور ﮏﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ :

ﺎﻤﻨﻫار ﺪﯿﺗﺎﺳا :

ﻪﯾﻮﮑﻟﺎﺳ ﻪﺘﺴﺠﺧ دواد ﺮﺘﮐد

ﺎﯿﻧ برﺎﺿ ﺪﻤﺤﻣ ﺮﺘﮐد

ﯽﻠﯿﺼﺤﺗ ﻊﻄﻘﻣ :

ﻪﺘﺷر ﺪﺷرا ﯽﺳﺎﻨﺷرﺎﮐ :

ﯽﺿﺎﯾر يدﺮﺑرﺎﮐ

ﺶﯾاﺮﮔ : يدﺪﻋ ﺰﯿﻟﺎﻧآ

هﺎﮕﺸﻧاد : ﻖﻘﺤﻣ

ﯽﻠﯿﺑدرا

هﺪﮑﺸﻧاد :

مﻮﻠﻋ

ﯽﻠﯿﺼﺤﺘﻟا غرﺎﻓ ﺦﯾرﺎﺗ :

18 /7 / 1387 ﻪﺤﻔﺻ داﺪﻌﺗ

: 70

ﺎﻫ هژاو ﺪﯿﻠﮐ :

يﺎﻫ شور ،ﯽﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد سﻮﮔ شور ،يراﺮﮑﺗ

- ،يﺮﯾﻮﺼﺗ شور ،لﺪﯾﺎﺳ

DSPM D

،1 DSPM D

،2 SPM mD

. هﺪﯿﮑﭼ

:

سﻮﮔ شور زا ﯽﻤﯿﻤﻌﺗ ﻪﻣﺎﻧ نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا رد -

،ﯽﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ياﺮﺑ لﺪﯾﺎﺳ مﺎﻧ ﻪﺑ

DSPM D

1

ﻌﻟﺎﻄﻣ ،ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﯾارا ﺞﯾﻮﺟا ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻪ

. ﺮﮕﯾد ﯽﺷور ﺲﭙﺳ مﺎﻧ ﻪﺑ

DSPM D

2

دﻮﺷ ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ،ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﯾارا ﮓﻧاﻮﻫ و ﮓﻨﯿﺟ ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ ار .

زا ﯽﻤﯿﻤﻌﺗ ﺖﯾﺎﻬﻧ رد

DSPM D

2

مﺎﻧ ﻪﺑ

SPM mD

ﻪﯾارا ، ﯽﻠﺒﻗ يﺎﻫ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا و ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻦﯾا ياﺮﺟا زا ﻞﺻﺎﺣ ﺞﯾﺎﺘﻧ و ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﺎﺑ ار

ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﻢﻫ .

٥٦

رﺎﺘﻔﮕﺸﯿﭘ

ﯽﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد

, b Ax

نآ رد ﻪﮐ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ و گرﺰﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

هﺎﮕﺘﺳد ﻪﻧﻮﮔ ﻦﯾا. ﻪﺑ ﺎﻫ

ﻞﺣ رد رﻮﻓو يﺎﻫ ﻪﻟﺎﺴﻣ

تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ ﻪﺘﺴﺴﮔ رد صﻮﺼﺧ ﻪﺑ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ و مﻮﻠﻋ ﻒﻠﺘﺨﻣ تﺎﻘﺘﺸﻣ

ﯽﺋﺰﺟ ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ ﺮﻫﺎﻇ (12,2)

. ﻪﻧﻮﮔ ﻦﯾا ﻞﺣ ياﺮﺑ ﺎﻫ ﻪﻟﺎﺴﻣ

ا هدﺎﻔﺘﺳا يراﺮﮑﺗ يﺎﻫ شور زا هزوﺮﻣ

دﻮﺷ ﯽﻣ .(15,11,9,8,7,6,5)

هﺪﻤﻋ ﻪﺘﺳد ود ﻪﺑ يراﺮﮑﺗ يﺎﻬﺷور :

شور ﺎﺘﺴﯾا يراﺮﮑﺗ يﺎﻫ (stationary)

ﺎﺘﺴﯾاﺮﯿﻏ (non stationary)

ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ ﻢﯿﺴﻘﺗ .

اﻮﺗ ﯽﻣ ﺎﺘﺴﯾا يراﺮﮑﺗ يﺎﻫ شور زا يﺎﻫ شور ن

،لﺪﯾﺎﺳ سﻮﮔ ،ﯽﺑﻮﮐاژ SOR

و دﺮﺑ مﺎﻧ ار AOR

شور زا (12) ﺎﺘﺴﯾا ﺮﯿﻏ يﺎﻫ

يﺎﻫ شور ناﻮﺗ ﯽﻣ

وCG GMRES و

BiCGSTAB دﺮﺑ مﺎﻧ ار

. (12)

شور زا ﯽﮑﯾ سﻮﮔ شور ﺎﺘﺴﯾا يﺎﻫ

هﺎﮕﺘﺳد ياﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا لﺪﯾﺎﺳ– نرﺎـﻘﺘﻣ ﺖـﺒﺜﻣ ﻦﯿـﻌﻣ يﺎـﻫ

ﺖﺳا اﺮﮕﻤﻫ (13,12,10,3)

. ﻪﻣﺎﻧ نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا رد ﭻﯾﻮـﺟا ﻂـﺳﻮﺗ ﻪـﮐ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻦﯾا زا ﯽﺣﻼﺻا ﻢﯾراد ﺎﻨﺑ

1

رد ارا(14) ﯾ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪ ،

ﻢﯿﻨﮐ ﯽﺳرﺮﺑ .

ﮓـﻧاﻮﻫ و ﮓـﻨﯿﺟ ﻂـﺳﻮﺗ ﻪـﮐ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻦﯾا ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺲﭙﺳ رد2

ارا(4) ﯾ ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ار ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪ .

ـﻤﻌﺗ يﺮـﺗ ﯽـﻠﮐ ﺖـﻟﺎﺣ ﻪـﺑ ار ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻦﯾا ﺖﯾﺎﻬﻧ رد ﻢﯿ

ﯽـﻣ

ﻢﯿﻫد .

ﺎﻬﭼ رد ﻪﻣﺎﻧ نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا ﺖﺳا هﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ ﻞﺼﻓ ر

. ارا ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ لوا ﻞﺼﻓ رد ﯾ

ﯽﻣ ﻪ

دﻮﺷ . مود ﻞﺼﻓ رد سﻮﮔ شور زا ﯽﻤﯿﻤﻌﺗ

و ﭻﯾﻮﺟا ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ لﺪﯾﺎﺳ– ﮓﻧاﻮﻫ و ﮓﻨﯿﺟ ﻪﮐ ﯽﻤﯿﻤﻌﺗ

ارا ﯾ ﻪ ﺪﻧا هدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار

ﯽﻣ ﻢﯿﻨﮐ . ﻞﺼﻓ رد مﻮﺳ

ﻟﺎﺣ ﻪﺑ ار ﮓﻧاﻮﻫ و ﮓﻨﯿﺟ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا يﺮﺗ ﯽﻠﮐ ﺖ

1Ujevic

2 Jing and Huang

٥٧

ﻢﯿﻫد ﯽﻣ ﻢﯿﻤﻌﺗ .

رد ﻞﺼﻓ مرﺎﻬﭼ ﺎﻫ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ و يدﺪﻋ ﺞﯾﺎﺘﻧ

، ارا ﯾ دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪ .

ﻪﺠﯿﺘﻧ نﺎﯾﺎﭘ رد

و يﺮﯿﮔ ﺪﯾﺪﺟ يﺎﻫ عﻮﺿﻮﻣ

ارا ﯾ دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪ .

ﻞﺼﻓ لوا

ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ

٥٨

1 . 1 يﺎﯾﺎﻀﻗ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ ﻻ

مز

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1 . 1 ﮏﯾ : يور يرادﺮﺑ مﺮﻧ Rn

ﺑﺎﺗ ﻊ ا ي ﺖﺳا ﺪﻨﻧﺎﻣ زا .

Rn

ﻪﺑ قﺪﺻ ﺮﯾز صاﻮﺧ رد ﻪﮐR

ﺪﻨﮐ : 1 ( ﺮﻫ يازا ﻪﺑ Rn

x

،

0

، x

2 (

0

ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا x

0

،x

3 ( ﺮﻫ يازا ﻪﺑ R

و R

x ⁿ 

،

x x 

 

،

4 ( ﺮﻫ يازا ﻪﺑ Rn

y x, 

،

y x y

x   .

مﺮﻧ ﺎﯾ ﯽﺳﺪﯿﻠﻗا مﺮﻧ L2

رادﺮﺑ ياﺮﺑ

n T

n R

x x x x

x( ₁, ₂, ₃,..., ) 

ترﻮﺻ ﻪﺑ

2,

1 2

2 1 



 

 

  i n

i x

x

مﺮﻧ ﺎﯾ ﺖﯾﺎﻬﻧ ﯽﺑ مﺮﻧ و L

ياﺮﺑ رادﺮﺑ ﻦﯾا ترﻮﺻ ﻪﺑ

, max1 i n xi

x   

دﻮﺷ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ .

ﺎﯾ ﯽﻧﻮﺘﺳ عﻮﻤﺠﻣ مﺮﻧ ﻦﯿﻨﭼ ﻢﻫ L1

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻪﮐ

,

1



1



 ⁿ

i

xi

x

دﻮﺷ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ

، ﺎﻫ مﺮﻧ ﻦﯾﺮﺗ ﻢﻬﻣ ﻪﻠﻤﺟ زا ﺪﻨﺘﺴﻫ

.

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1 . :2 ﻪﻟﺎﺒﻧد يﺎﻫرادﺮﺑ ي

 

  ^k1

xk

رد Rn

مﺮـﻧ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ار ﻪـﺑ اﺮـﮕﻤﻫ .

ﺪـﻨﯾﻮﮔ ﯽـﻣ x

،

ﺮــﻫ يازا ﻪــﺑ هﺎــﮔﺮﻫ

0

ﺪــﻨﻧﺎﻣ ﯽﺤﯿﺤــﺻ دﺪــﻋ  ()

ﺮــﻫ يازا ﻪــﺑ ﻪــﮐ يرﻮــﻃ ﻪــﺑ دﻮــﺷ ﺖــﻓﺎﯾ N

 

 N k 

،





x x^(k) . ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ 0

lim ^{( )}  



 x^k x

. k

٥٩

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1 . 3 : ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ مﺮﻧ ﮏﯾ يور

يﺎﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ مﺎﻤﺗ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ n

n ﯽـﻘﯿﻘﺣ ﻊﺑﺎـﺗ ﮏـﯾ ،ﯽـﻘﯿﻘﺣ

ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻪﮐ ﺖﺳا .

يور ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﯾا دﻮﺷ ﯽﻣ

يﺎـﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ مﺎﻤﺗ يازا ﻪﺑ و n

n

،

،A

B

و

ﯽﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا مﺎﻤﺗ ﺪﻨﮐ ﯽﻣ قﺪﺻ ﺮﯾز ﻂﯾاﺮﺷ رد 

:

1 (

0

، A

2 (

0

ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا A

ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ A

،

3 (

A A 

 

،

4 (

B A B

A  

.

ﺪـﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد يرادﺮﺑ مﺮﻧ ﮏﯾ ﺎﺑ يراد ﯽﻨﻌﻣ ﻪﻄﺑار ﻪﮐ ﻢﯿﻫد ﯽﻣ ﺢﯿﺟﺮﺗ ار ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ مﺮﻧ ًﻻﻮﻤﻌﻣ ﺎﻣ .

هﺎﮔﺮﻫ يور يرادﺮﺑ مﺮﻧ ﮏﯾ .

Rn

ترﻮﺻ ﻪﺑ نآ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ مﺮﻧ هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ

, max

1

Ax A

x



يﺎـﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎـﻣ مﺎـﻤﺗ ﻪـﻋﻮﻤﺠﻣ ﺮـﺑ ﯽـﺴﯾﺮﺗﺎﻣ مﺮـﻧ ﮏـﯾ ﻪـﮐ دﻮـﺷ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ n

n ﻒـﯾﺮﻌﺗ ﯽـﻘﯿﻘﺣ

ﺪﻨﮐ ﯽﻣ . ﯽﻌﯿﺒﻃ مﺮﻧ ار مﺮﻧ ﻦﯾا ﯽﻣ

ﺪﻨﻣﺎﻧ . زا ﺪـﻧا ترﺎﺒﻋ ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ يﺎﻫ مﺮﻧ ﺎـﯾ ﯽﻧﻮﺘـﺳ عﻮـﻤﺠﻣ

L1

و

ﺎﯾ ﯽﻔﯿﻃ L2

ﺠﻣ و ﺎﯾ يﺮﻄﺳ عﻮﻤ L

، ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻪﮐ :

, max

1 

 



 Ax

A x

,

max ₂

2 1

2

Ax A  x 

.

max ₁

1 1

1

Ax A

x 



ﻒﯾﺮﻌﺗ 1

. 4 : ﻫ هﺎﮔﺮ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

n n يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻘﯿﻘﺣ

  

A I



p det 

ﻪﺼﺨﺸﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ دﻮﺷ ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ A

. يﺎﻫ ﻪﺸﯾر يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﻦﯾا

، هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ ي

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ

ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ A

.

٦٠

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1.

5 : ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﯽﻔﯿﻃ عﺎﻌﺷ ﺎﺑ ار نآ ﻪﮐA

)

(A

ﻢﯿﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﺮﺑاﺮﺑ

A i

( )max

ﺗ ﻒﯾﺮﻌ ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﻣ

i

ﺎﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺪﻨﺘﺴﻫ A

.

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 1 : هﺎﮔﺮﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

n n هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻘﯿﻘﺣ

1 (

2 1

2 (A A)

A  ^T

،

2 ( ﯽﻌﯿﺒﻃ مﺮﻧ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

، . A A)

(

.

تﺎﺒﺛا : ﻪﺑ دﻮﺷ عﻮﺟر(3) .

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1 . 6 : ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ

n n

، ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ار A

) ﻪﮑﯾ ( ﺪﻨﯾﻮﮔ

، هﺎﮔﺮﻫ I A A^T  .

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1 . 7 : يور ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ ﮏﯾ زا رﻮﻈﻨﻣ

Rn

ﯽﺘﺷﺎﮕﻧ ، ﺖﺳا

ﺪﻨﻧﺎﻣ

R R Rⁿ ⁿ  :

.

ﻪﺑ ﻪﮐ .,

ﺮﻫ يازا Rn

z y x, ,  و

R

،  رد ﺪﻨﮐ قﺪﺻ ﺮﯾز ﻂﺑاور :

1 (

z y z x z y

x ,  ,  ,

،

2 (

y x y

x,  ,

 

،

3 (

x y y x,  ,

،

(4 ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

0

،x 0 ,x 

و x 0

 x

ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا x,

0

. x

رادﺮﺑ ود ياﺮﺑ

T

xn

x x

x( ₁, ₂,..., )

و

T

yn

y y

y( ₁, ₂,..., )

رد Rn

ترﻮـﺻ ﻪﺑ دراﺪﻧﺎﺘﺳا ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ

دﻮﺷ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز :

ﻦﯾا ﻪﮐ ﺪﯾد ناﻮﺗ ﯽﻣ ﯽﮔدﺎﺳ ﻪﺑ

ﺮﻌﺗ ﻂﯾاﺮﺷ رد ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ ﻒﯾ

1 7. ﺪﻨﮐ ﯽﻣ قﺪﺻ .

يور ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ ﺮﻫ Rn

ترﻮﺻ ﻪﺑ مﺮﻧ ﮏﯾ

, . ,.

.  ²¹

. ,

1 i n

i iy x y

x







٦١

ﺪﻨﮐ ﯽﻣ ﺪﯿﻟﻮﺗ .

يور دراﺪﻧﺎﺘﺳا ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ مﺮﻧ Rn

ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ :

. ) (

, ²

2 1

1 2 1

2







 ⁿ

i xi

x x x

يور ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ يﺎﻫدﺎﻤﻧ ﺎﺑ Rn

ﻢﯾراد

1 (

2 1 2

1 ,

,

,y x x y y

x 

.

2 ( ﺮﮔا ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾA n

n ﯽﻘﯿﻘﺣ ﺪﺷﺎﺑ

، هﺎﮕﻧآ y A x y

Ax,  , ^T .

3 ( ﺮﮔا ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻧﺎﮑﯾ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ Q )

(Q^TQI ،

ﻢﯾراد

. ,

,Qy x y

Qx 

ﻒﯾﺮﻌﺗ 1 . 8 : ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ

n n

ij R

a

A( ) ^ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار

.

- ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ار A

ﺐﻟﺎﻏ يﺮﻄﻗ ﺪﯿﮐا ﯾﻮﮔ ﻢﯿ هﺎﮔﺮﻫ ، :

. ,..., 2 , 1 ,

1

n i

a a ⁿ

i jj ij

ii 







- ﺲﯾﺮﺗﺎــــﻣ ﺖــــﺒﺜﻣ ﻦﯿــــﻌﻣ ار A

نرﺎــــﻘﺘﻣ ﯾﻮــــﮔ

ﻢﯿ

، هﺎــــﮔﺮﻫ نرﺎــــﻘﺘﻣ A

و ﺮــــﻫ ياﺮــــﺑ

Rn

x



،0 طﺮﺷ

 Ax x^T

ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ .

ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ يﺎﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ صاﻮﺧ زا ﯽﺧﺮﺑ نرﺎﻘﺘﻣ

زا ﺪﻧا ترﺎﺒﻋ :

1 - ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ ي هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ

نرﺎﻘﺘﻣ

، ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺖﺒﺜﻣ .

2 - دﺎﻘﻣ ﺮﮔا ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ هﺎﮕﻧآ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺖﺒﺜﻣ ،نرﺎﻘﺘﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ ي هﮋﯾو ﺮﯾ

.

3 - ﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ود عﻮﻤﺠ نرﺎﻘﺘﻣ

، ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ نرﺎﻘﺘﻣ

ﺖﺳا .

4 - ﺮﮔا

) (a_ij A

ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ نرﺎﻘﺘﻣ

ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ

، i

0 aii

.

٦٢

5 - ﺮﮔا ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ A

نرﺎﻘﺘﻣ ﻪﯾارد ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ي

ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ ﺮﻈﻧ زا ﻪـﯾارد نﺎﯿﻣ رد

يور ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻞﮐ يﺎﻫ راﺮﻗ ﺮﻄﻗ

ﺪﻧراد .

6 - ﺐﻟﺎﻏ نرﺎﻘﺘﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ ﺪﯿﮐا يﺮﻄﻗ

ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ،ﺖﺒﺜﻣ يﺮﻄﻗ يﺎﻫ ﻪﯾارد ﺎﺑ نرﺎﻘﺘﻣ

ﺖﺳا .

7 - ﺗﺎﻣ ﺮﻫ ياﺮﺑ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮ

n

Rn

A ^

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ و

m

Rn

V ^

ﻞﻣﺎﮐ ﮥﺒﺗر ﺎﺑ

T ، ﻦﯿﻌﻣ VAV

ﺖﺒﺜﻣ ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ .

ندﻮﺑ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ

VAVT

ﺪﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻪﻈﺣﻼﻣ ﺖـﺳا نرﺎﻘﺘﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻦﯾا ﻪﮐ

. ﯽﻓﺎـﮐ

ﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ ﺖﺳا ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻢ

Rm

y

 ،0 ﻢﯾراد 0 ) (VAV y y^{T T} . نﻮﭼ

).

( ) ( )

(VAV y Vy AVy

y^{T T}  ^T

ﺲﭘ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ Rn

Vy x  نﻮﭼ .

0

وy

V

ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﻞﻣﺎﮐ ﮥﺒﺗر ﺎﺑ

0 ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ و Vy

ﻪﺑ ﻪﮑﻨﯾا A

ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ،

ﺪﯾآ ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ بﻮﻠﻄﻣ ﮥﺠﯿﺘﻧ .

8 - نرﺎـﻘﺘﻣ ﺖـﺒﺜﻣ ﻦﯿـﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﻫ ياﺮﺑ

n

Rn

A ^

ﺮـﮔا ،

) ,..., ,

(ei1 ei2 eir

E

نآ رد ﻪـﮐ

ij

، e ij

ﺖﺳا ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﻮﺘﺳ ﻦﯿﻣا هﺎﮕﻧآ ﻢﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ،

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ

EAET

زا ﯽﻠﺻا ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﯾز ﺖـﺳا A

رد نآ يﺎﻫ نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ ﺲﯾﺪﻧا ﻪﮐ



ei ,...,ei_n



ﺎـﺑ هوﻼﻌﺑ و ﺪﻧراد راﺮﻗ 1

ﻪـﺑ ﻪـﺟﻮﺗ ﺖﯿـﺻﺎﺧ

7 ، ﻦﯿـﻌﻣ

ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ .

9 - نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﻫ ياﺮﺑ

n

Rn

A ^

،

x*

هﺎﮕﺘﺳد باﻮﺟ

b Ax

ﺮـﮔا ﺎـﻬﻨﺗ و ﺮـﮔا ﺖﺳا

x*

ﻊﺑﺎﺗ

x b x Ax x

f , ,

2 ) 1

(  

ﺪﻨﮐ ﻢﻤﯿﻧ ﯽﻣ ار .

تﺎﺒﺛا : نﻮﭼ

2 , , 1 2 ,

) 1

(x Ax x b x xAx x b

f    ^T  ^T

ﺲﭘ

, )

2 2( ) 1

(x Ax b Ax b

f    

٦٣

و ,

)

(x A

f  

نﻮﭼ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ A

نرﺎﻘﺘﻣ نداد راﺮﻗ ﺎﺑ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ



(x^)

) f

ﯽﻨﻌﯾ b Ax^*  ( ﺠﯿﺘﻧ ﻪ بﻮﻠﻄﻣ

دﻮﺷ ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ .

10 - يﺮـﻄﻗ ﺮـﺻﺎﻨﻋ ﺎـﺑ ﯽﺜﻠﺜﻣ ﻦﯿﯾﺎﭘ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗو ﺮﮔا ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

ﺖﺒﺜﻣ ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو L

LLT

A .

ﺑ ﻪﮐ ﺮﯾز ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﯽﮑﺴﻟﻮﭼ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻪ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ ﺖﺳا رﻮﻬﺸﻣ 1

دور ﯽـﻣ رﺎﮐ ﻪﺑ L

) ﻊـﺟﺮﻣ ار(13)

ﺪﯿﻨﯿﺒﺑ (.

ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا 1

. 1 : ﯽﮑﺴﻟﻮﭼ ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا n

j For 1,..., .

1 



¹



²¹

1

. 2

2



^





 ^j

k jk jj

jj a L

L n j

i

For 1,...,

.

3  



^j _jk



_jj

k ik

ij

ij a L L L

L /

. 4

1



^1







i for End .

5

j for End .

6

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 2 نرﺎﻘﺘﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ياﺮﺑ : ﺮﮔا ،A

n



₁ ₂ ...

ﺪﻨﺷﺎﺑ نآ هﮋﯾو ﺮﯾدﺎﻘﻣ ،

هﺎﮕﻧآ ﻢﯾراد :

. max

min ₁

x x

Ax x x

x Ax x x x

Ax x

T T T x

T T

T n x



 

   

 



تﺎﺒﺛا ﻪﺑ: دﻮﺷ عﻮﺟر(12)

.

1- Cholesky

٦٤

ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ

ﻪﯿﻀﻗ ﻦﯾا

0

1, 



 x

x x

Ax x

T T

n 



ﻪﺠﯿﺘﻧ رد ﺎﻘﺘﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﻫ ياﺮﺑ

نر ﻢﯾرادA

:

0

2,

1 2 2

2x Ax x x

x ^T

n 



ﻒﯾﺮﻌﺗ 1

. 9 : ﺮﮔا هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾB y

Bx y

x, _B  ,

بﺮﺿ ﮏﯾ

يور ﯽﻠﺧاد Rn

ﺎﺑ ار ﯽﻠﺧاد بﺮﺿ ﻦﯾا هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ مﺮﻧ و ﺪﻨﮐ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ

. B

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﻫد

ﻢﯿ ﻪﺑ و

ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻣ

دﻮﺷ ﯽ : .

, ¹_B²

B x x

x 

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 3 : هﺎﮔﺮﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

n n ﺐﻟﺎﻏ ، ﺪﯿﮐا يﺮﻄﻗ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺎﯾ

نرﺎﻘﺘﻣ هﺎـﮕﻧآ ،ﺪـﺷﺎﺑ ،A

ﺖﺳا دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ .

تﺎﺒﺛا ﻪﺑ: دﻮﺷ عﻮﺟر(3) .

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 4 هﺎﮔ ﺮﻫ : ﯽﻘﯿﻘﺣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

) نرﺎﻘﺘﻣ ﺎﻣوﺰﻟ ﻪﻧ (

،ﺪﺷﺎﺑ ﯽـﻘﯿﻘﺣ دﺪـﻋ هﺎﮕﻧآ

ﺪﻨﻧﺎﻣ

0

ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ ،دراد دﻮﺟو  ﯽﻘﯿﻘﺣ رادﺮﺑ ﺮﻫ ياﺮﺑ

ﻢﯾراد u :

.

,u u ²₂

Au 

ناﻮﺗ ﯽﻣ )

min(H

 ﻪﮐ ﺖﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد   )

2(

1 _T

A A H  

.

تﺎﺒﺛا : ﻪﺑ دﻮﺷ عﻮﺟر(12)

.

1 . 2 شور يﺮﯾﻮﺼﺗ يﺎﻫ

٦٥

هﺎﮕﺘﺳد

) 1 1. (

, b Ax

نآ رد ﻪـﮐ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار

n

Rn

A ^ و

Rn

b x,  . ﮏـﯾ ندروآ ﺖـﺳﺪﺑ يﺮﯾﻮـﺼﺗ يﺎﻬـﺷور زا فﺪـﻫ

يﺎﻀﻓ ﺮﯾز ﮏﯾ رد ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ باﻮﺟ Rn

ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ قﻮﻓ ﻪﻟﺄﺴﻣ ياﺮﺑ .

ﻦﯾا ﺪﻌﺑ ﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ لﺎﺣ ﺎـﻀﻓ ﺮـﯾز

اﺮـﻧآ و m ﺐــﯾﺮﻘﺗ يﺎـﻀﻓ ﺮــﯾز ار ﺎـﻀﻓ ﺮــﯾز ﻦـﯾا ﻢﯿﻣﺎــﻨﺑ K

ﻮﺠﺘــﺴﺟ يﺎــﻀﻓ ﺮـﯾز ﺎــﯾ ﺪـﯾﺪﻧﺎﮐ يﺎــﻫ

ﯽﻣ ﻢﯿﯾﻮﮔ . ﯽﻠﮐ رﻮﻄﺑ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻢﯿﺳﺮﺑ ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ باﻮﺟ ﻦﯿﻨﭼ ﻪﺑ ﺎﺗ ﺖﺳا مزﻻ طﺮﺷ m

. ﻦـﯾا نﺎـﯿﺑ هار ﮏﯾ

لﺎﻤﻋا ﻂﯾاﺮﺷ ﺖﺳا ﻞﻘﺘﺴﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ طﺮﺷ m

، هﺪﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ رادﺮﺑ ﯽﻨﻌﯾ

Ax b

ﺮﺑ ﯽﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ رادﺮﺑ m

ﺪﺷﺎﺑ دﻮﻤﻋ .

ﺪﻌﺑ ﺎﺑ ﺮﮕﯾد يﺎﻀﻓ ﺮﯾز ﮏﯾ لﺎﺣ ﺎـﺑ اﺮـﻧآ و ﺪـﯿﻣﺎﻧ ﻂﯾاﺮﺷ يﺎﻀﻓﺮﯾز اﺮﻧآ ناﻮﺗ ﯽﻣ ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ m

ﻢﯿﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ L

. فوﺮـﺘﭘ ﻂﯾاﺮـﺷ ﻪـﺑ و ﺖﺳا كﺮﺘﺸﻣ ،ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻬﺷور ياﺮﺑ هدﺎﺳ بﻮﭼرﺎﻬﭼ ﻦﯾا -

ﺮﻟﺎﮔ ﮐ

1ﻦﯿ ﺖﺳا رﻮﻬﺸﻣ .

شور ﺪﻧا ﻪﺘﺳد ود يﺮﯾﻮﺼﺗ يﺎﻫ :

1 - شور ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ يﺮﯾﻮﺼﺗ يﺎﻫ

2 - شور برﻮﻣ يﺮﯾﻮﺼﺗ يﺎﻫ )

ﻞﯾﺎﻣ .(

ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ يﺮﯾﻮﺼﺗ شور ﮏﯾ رد ،

يﺎﻀﻓ ﺮﯾز يﺎـﻀﻓ ﺮﯾز نﺎﻤﻫ L

يﺮﯾﻮـﺼﺗ شور ﮏـﯾ رد ﯽـﻟو ﺖـﺳا K

رﻮﻣ ب

، و L

ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاﺪﻧ ﻢﻫ ﺎﺑ ﯽﻃﺎﺒﺗرا ﭻﯿﻫ ﺖﺳا ﻦﮑﻤﻣ ﯽﺘﺣ و ﺪﻨﺗوﺎﻔﺘﻣ ﻢﻫ ﺎﺑ K

. ﺰﯾﺎﻤﺗ ﻦﯾا

، ﻢـﻬﻣ

ﺖﺳا و ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا زا ﯽﺗوﺎﻔﺘﻣ عاﻮﻧا ار ﺎﻫ

ﻪﯾارا ﯽﻣ ﺪﻫد .

1 . 2 .1 ﯽﻣﻮﻤﻋ يﺮﯾﻮﺼﺗ يﺎﻬﺷور

١Petrov-Galerkin

٦٦

 A rnew

r0

ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

n n ﯽﻘﯿﻘﺣ

، و L

يﺎﻀﻓ ﺮﯾز ود K

زا يﺪﻌﺑ m Rn

ﺪﻨـﺷﺎﺑ . ﮏـﯾ

يﺎﻀﻓ ﺮﯾز يور ﺮﺑ يﺮﯾﻮﺼﺗ شور ﺮﺑ دﻮﻤﻋ و K

، L

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ باﻮﺟ ﮏﯾ ﻪﮐ ﺖﺳا يﺪﻧور

x~

ياﺮﺑ ار

) 1 1. ( ًﻻوا ﻪﮐ ﻂﯾاﺮﺷ ﻦﯾا لﺎﻤﻋا ﺎﺑ

~x

ﻪﺑ ﻖﻠﻌﺘﻣ ﺪﺷﺎﺑ K

ﺮـﺑ ﺪـﯾﺪﺟ هﺪـﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ رادﺮﺑ ًﺎﯿﻧﺎﺛ و دﻮـﻤﻋ L

ﺪﺷﺎﺑ ، ﺪﻨﮐ ﯽﻣ اﺪﯿﭘ .

ﯽﻨﻌﯾ

) 1 2. (

~ .

~ K, such that b Ax L

x

Find   

ﻪﯿﻟوا سﺪﺣ ﮏﯾ ﺎﺑ ﻢﯿﻫاﻮﺨﺑ ﺮﮔا x

ياﺮﺑ

~x

يﻮﺠﺘـﺴﺟ يﺎـﺠﺑ ،ﻢﯿـﻨﮐ عوﺮـﺷ

~x

رد ﺪـﯾﺎﺑ K

رد اﺮـﻧآ

ﯽﻨﻌﯾ نآ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو يﺎﻀﻓ K

x_ ﻢﯿﻨﮐ ﻮﺠﺘﺴﺟ .

ﯽﻣ اﺪﯿﭘ ﺮﯿﯿﻐﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻪﻟﺄﺴﻣ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺪﻨﮐ

) 1 3. (

~ .

~ x K, suchthat b Ax L

x

Find  _  

ﺮﮔا ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﻪﺟﻮﺗ

~x

ﻪﺑ ترﻮﺻ





x_ x~ نآ رد ﻪﮐ ،

K

ﻪـﯿﻟوا هﺪـﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ رادﺮـﺑ و ﺖﺳا  r

ﻪـﺑ

ترﻮﺻ

) 1 4. (

,

 b Ax

r  

دﻮﺷ ﻪﺘﺷﻮﻧ

، ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ )

1 3. ( ﻢﯾراد

. )

~ (

L A r

L A Ax b

L x

A b L x A b







































ترﻮﺻ ﻪﺑ ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ باﻮﺟ ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ ﻣ ﺮﯾز

ﯽ ددﺮﮔ ﻦﯿﯿﻌﺗ ﺪﻧاﻮﺗ

) 1 5. ( ,

~ x , K

x  _  

) 1 6. (

. ,

0 ) ,

(r_ A   L

ﺪﻣﺎﻌﺗ طﺮﺷ )

1 6. ( ﺪﯾﺪﺟ هﺪﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ ﺮﺑ ﻪﮐ

 A r r_new  _ ﻞﮑﺷ رد ﺖﺳا هﺪﺷ ﻞﯿﻤﺤﺗ

) 1 1. ( هﺪﯾد

دﻮﺷ ﯽﻣ .

٦٧ o

ﻞﮑﺷ

1 1.

ﺎﮔ ﮏﯾ ﻦﯾا رد ﻪﯾﺎﭘ يﺮﯾﻮﺼﺗ م

مﺮﻓ ﺖﺳا نآ ﯽﻣﻮﻤﻋ رﺎﯿﺴﺑ .

شور زا يرﺎﯿﺴﺑ دراﺪﻧﺎﺘﺳا يﺎﻫ

، ﻪﻠـﺴﻠﺳ ﮏﯾ

ﺪﻧﺮﺑ ﯽﻣ رﺎﮑﺑ ار ﯽﯾﺎﻫ مﺎﮔ ﻦﯿﻨﭼ زا .

يﺎﻫﺎـﻀﻓ ﺮﯾز زا ﺪﯾﺪﺟ ﺖﻔﺟ ﮏﯾ زا ،ﺪﯾﺪﺟ يﺮﯾﻮﺼﺗ مﺎﮔ ﮏﯾ رد

K

و ﻪﯿﻟوا سﺪﺣ ﮏﯾ و L x

ﺑ دﻮﺷ ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﯽﻠﺒﻗ يﺮﯾﻮﺼﺗ مﺎﮔ زا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺪﯾﺪﺟ ﺐﯾﺮﻘﺗ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮ .

ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ يﺮﯾﻮﺼﺗ يﺎﻬﺷور رد ،

يﺎﻫﺎﻀﻓﺮﯾز و K

ﮑﯾ L

نﺎﺴ ا ﺪـﻧ . ﺖـﻟﺎﺣ رد

K L

، فوﺮـﺘﭘ ﻂﯾاﺮـﺷ –

ﺮﺷ ،ﻦﯿﮐﺮﻟﺎﮔ ط

ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﻦﯿﮐﺮﻟﺎﮔ .

1 . 2 .2 ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧ

ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ )

,..., ,

(v₁ v₂ v_m V 

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ m

n ياﺮـﺑ يا ﻪـﯾﺎﭘ نآ يﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﻪﮐ و ﺖـﺳا K

ﻪﺑﺎﺸﻣ رﻮﻄﺑ )

,..., ,

(w₁ w₂ w_m W 

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ ﺰﯿﻧ m

n ياﺮـﺑ يا ﻪـﯾﺎﭘ نآ يﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﻪﮐ ،ﺖـﺳا L

ﺷﺎﺑ ﻨ ﺪ . ترﻮﺻ ﻪﺑ ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ باﻮﺟ ﺮﮔا لﺎﺣ





x_ x~ و

K

ﻪﻈﺣﻼﻣ  نﻮـﭼ ،دﻮﺷ

K

يرادﺮـﺑ 

ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻪـﮐ دراد دﻮـﺟو y

y

V )  يﺎﻬﻧﻮﺘـﺳ اﺮـﯾز ياﺮـﺑ يا ﻪـﯾﺎﭘ V

ـﺷﺎﺑ ﯽـﻣ K

ﻨ ﺪ ( و ﻢـﯾراد اﺬـﻟ

y V x x  _  .~

ﻂﯾاﺮﺷ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ لﺎﺣ ﺪﻣﺎﻌﺗ

) 1 6. ( ﻢﯾراد :

w A r W

w  

 , _  y AV W r W A

r

W^T    ^T  ^T

 ( _ ) 0 _

^{ y(WTAV)1WTr.}

ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ :

) 1 7. (

. )

~ ( ¹



 V W AV W r

x

x   ^{T  T}

L

٦٨

ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا 1

2. : يﺮﯾﻮﺼﺗ شور ﯽﻠﺻا ﻪﻧﻮﻤﻧ

1. Until convergence Do:

2. Select a pair of subspaces K and L

3. Choosebases V (v₁,v₂,...,v_m)and W (w₁,w₂,...,w_m) for K and L 4. ^{r :bAx}

5. ^{y:(WTAV)1WTr} 6. x:xVy

7.EndDo

ﻣ ﯽﻧﺎﻣز ﻢﺘﯾرﻮﮕﻟا ﻦﯾا ﯽ

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﮐ دﺮﯿﮔ راﺮﻗ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ ﺪﻧاﻮﺗ AV

W^T ﻣﺎﻧ ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻔﻨ .

ﺪـﯿﻨﮐ ﻪـﺟﻮﺗ

ﯽﺘﺣ ﻪﮐ ﺮﮔا

ﻪﮐ دراﺪﻧ ﯽﻣوﺰﻟ ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ A AV

W^T ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ .

ياﺮﺑ هﺪﻫﺎـﺸﻣ ﺾـﻘﻧ لﺎـﺜﻣ

ﻪـﺑ

(12) دﻮﺷ ﻪﻌﺟاﺮﻣ .

ﺖﻟﺎﺣ ود رد صﺎﺧ

، ندﻮﺑ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ AV

W^T ﺚﺤﺑ ﺮﯾز ﻪﯿﻀﻗ ﺐﻟﺎﻗ رد ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﻣ ﻦﯿﻤﻀﺗ ﻣ

دﻮﺷ ﯽ .

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 5 : ﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ، A

و L

ﺪﻨﻨﮐ قﺪﺻ ﺮﯾز طﺮﺷ ود زا ﯽﮑﯾ رد K

:

1 . ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ A ))

2(

1 _T

A A

ﺪﺷﺎﺑ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ (

و

K L

،

2 . و ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ A AK

L

،

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ هﺎﮕﻧآ AV

W B ^T ﻪﯾﺎﭘ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

ياﺮﺑ V

و K

ياﺮﺑ W

، L

دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ .

تﺎﺒﺛا ﻪﺑ: دﻮﺷ عﻮﺟر(12)

.

ﯽﺻﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ نﻮﻨﮐا ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﮐ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار

ﺪـﺷﺎﺑ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ A

. نﻮـﭼ ﺖـﻟﺎﺣ ﻦـﯾا رد

ﺮﺑ ﺎﻫﺎﻀﻓ ﺮﯾز ا

ﺪﻧﺮﺑ ﻧاﻮﺗ ﯽﻣ ، ﺪ

ياﺮﺑ يا ﻪﯾﺎﭘ ﮏﯾ

K L

ﺪﺷﺎﺑ . ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد AV

V B ^T ﺖـﺒﺜﻣ ﻦﯿـﻌﻣ

ﺖﺳا نرﺎﻘﺘﻣ .

٦٩

1 . 2 . 3 ﯽﻣﻮﻤﻋ يرﻮﺌﺗ

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 6 : ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و ﺪﺷﺎﺑ نرﺎﻘﺘﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﻦﯿﻌﻣ A

K L

. رادﺮﺑ هﺎﮕﻧآ

x~

شور ﮏـﯾ زا

يﺮﯾﻮﺼﺗ )

ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ( يور عوﺮﺷ ﻪﻄﻘﻧ ﺎﺑ K

x

ﺪﺑ ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔا ﺪﯾآ ﯽﻣ ﺖﺳ

x~

، - A

يور ار ﺎـﻄﺧ مﺮـﻧ

K x_  ﺮﮔا ﻂﻘﻓ و ﺮﮔا ﯽﻨﻌﯾ ،ﺪﻨﮐ ﻢﻤﯿﻧ ﯽﻣ

) ( min

~)

(x E x

E  _xxK



نآ رد ﻪﮐ

12

) ), (

)

(x A x x x x

E  _  _

و x

ﺖﺳا ﯽﻌﻗاو باﻮﺟ .

تﺎﺒﺛا : ﻪﺑ (12) دﻮﺷ عﻮﺟر .

ﻪﮐ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ﯽﺘﻟﺎﺣ نﻮﻨﮐا

AK L

ﺪﺷﺎﺑ .

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 7 ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ : و ﯽﻌﺑﺮﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﮏﯾ A

AK L

ﺪﺷﺎﺑ . رادﺮﺑ هﺎﮕﻧآ

x~

شور ﮏﯾ زا

يور ﺮﺑ يﺮﯾﻮﺼﺗ و K

ﺮﺑ دﻮﻤﻋ عوﺮﺷ رادﺮﺑ ﺎﺑ ،L

x

ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﺪﯾآ ﯽﻣ ﺖﺳﺪﺑ

~x

،

ود مﺮﻧ– هﺪﻧﺎﻤﯿﻗﺎﺑ رادﺮﺑ

Ax b

يور ار K

x_  ﺪﻨﮐ ﻢﻤﯿﻧ ﯽﻣ .

ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﯽﻨﻌﯾ

), ( min

~)

(x R x

R  _xxK



نآ رد ﻪﮐ

) 2

(x b Ax

R  

.

تﺎﺒﺛا ﻪﺑ : (12) دﻮﺷ عﻮﺟر .

1 . 3 يراﺮﮑﺗ يﺎﻫ شور

هﺎﮕﺘـﺳد باﻮـﺟ ﻪـﺑ ﻪـﻟﺎﺒﻧد ﻦـﯾا ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ﺎﻫرادﺮﺑ زا يا ﻪﻟﺎﺒﻧد دﺎﺠﯾا يراﺮﮑﺗ شور ﮏﯾ سﺎﺳا

ﺖﺳا ﺮﮕﻤﻫ ﯽﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ .

باﻮﺟ ﻪﮐ ﺪﻧدﺮﮔ ﯽﻣ ﻒﻗﻮﺘﻣ ﯽﺘﻗو تﺎﺒﺳﺎﺤﻣ يراﺮﮑﺗ شور ﮏﯾ رد ﯽـﺒﯾﺮﻘﺗ

ﺎﻫراﺮﮑﺗ داﺪﻌﺗ ﻪﮑﻨﯾا ﺎﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺼﺨﺸﻣ ﺖﻗد ياراد ﺎﺑ

هﺪﺷ ﺺﺨﺸﻣ ﺶﯿﭘ زا داﺪﻌﺗ ﺮﺑاﺮﺑ

ﺪﻧدﺮﮔ .

٧٠

هﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ ياﺮﺑ يراﺮﮑﺗ شور ﮏﯾ تﻻدﺎﻌﻣ

ﯽﻄﺧ n n ،

b Ax

ﻪﮐ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ A

ﺎﺑ ﺖﺳا دﺮﻔﻨﻣﺎﻧ

ﻪﯿﻟوا ﺐﯾﺮﻘﺗ ﮏﯾ

) 0

x(

باﻮﺟ ياﺮﺑ يﺎﻫرادﺮﺑ زا يا ﻪﻟﺎﺒﻧد و ﺪﻨﮐ ﯽﻣ عوﺮﺷ x

 

^x ^{k }_k1

ﺪﻨﮐ ﯽﻣ ﺪﯿﻟﻮﺗ

ﻪﺑ ﻪﮐ x

ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ اﺮﮕﻤﻫ .

هﺎﮕﺘﺳد ﻪﮐ ﺖﺳا يﺪﻨﯾآﺮﻓ ﻞﻣﺎﺷ يراﺮﮑﺗ يﺎﻫ شور ﻦﯾا ﺮﺜﮐا

b Ax

ﻪﺑ ار

ﻣ ﯽﻫﺎﮕﺘﺳد ﻪﺑ نآ لدﺎﻌ

ترﻮﺻ ,

c Tx x 

ﺪﻨﮐ ﯽﻣ ﻞﯾﺪﺒﺗ .

ﻪﯿﻟوا رادﺮﺑ بﺎﺨﺘﻧا ﺎﺑ

) 0

x(

ﻪﻟﺎﺒﻧد ي ﺐﯾﺮﻘﺗ يﺎﻫرادﺮﺑ ياﺮﺑ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﺎﺑ باﻮﺟ ي

) ,

1 ( )

( Tx c

x ^k  ^k 

يازا ﻪﺑ ,...,

2 ,

1 دﻮﺷ ﯽﻣ ﺪﯿﻟﻮﺗ k .

ﻢﯿﯾﻮﮔ ﯽﻣ اﺮﮕﻤﻫ ار يراﺮﮑﺗ شور ﮏﯾ

، ﺮﮔا ﻪـﯿﻟوا رادﺮـﺑ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

) 0

x(

ددﺮﮔ اﺮﮕﻤﻫ

، ﺑ ﯽﻨﻌﯾ ﻪـﯿﻟوا هاﻮـﺨﻟد بﺎﺨﺘﻧا ﺮﻫ يازا ﻪ

) 0

x(

ﻪـﻟﺎﺒﻧد

 

  ^k1

xk

ﻂـﺳﻮﺗ هﺪـﺷ ﺪـﯿﻟﻮﺗ

ﻪﻄﺑار c Tx

x^(k)  ^(k1) هﺎﮕﺘﺳد باﻮﺟ ﻪﺑ

b Ax

اﺮﮕﻤﻫ ﺪﺷﺎﺑ .

ﻪﯿﻀﻗ 1 . 8 : يراﺮﮑﺗ لﻮﻣﺮﻓ

C Bx x^(k1)  ^(k)

هاﻮﺨﻟد رادﺮﺑ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

) 0

x(

ﺖﺳا ﺮﮕﻤﻫ

ﻒﻟا ( ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا



)

B(k

ﯽﺘﻗو ،





،k

ب ( ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا

1 ) (B 

،

ج ( ﺮﮔا

1

. B

تﺎﺒﺛا : ﻪﺑ (13,12,10,3)

دﻮﺷ عﻮﺟر .

شور ود ﻪﻣادا رد رﻮﻬﺸﻣ

سﻮﮔ و ﯽﺑﻮﮐاژ -

ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ار لﺪﯾﺎﺳ .

1 . 3 .1 ﯽﺑﻮﮐاژ شور 1

1- Jacobi