一階線型微分方程式

次の微分方程式の一般解を求めなさい。a, b,c, d は定数とする。

(1) y⁰+ay= 0 (2) y⁰+ay=b (3) y⁰ +ycotx= cosecx(0< x < π/2) (4)y⁰+ 2xy=x (5) y⁰−ytanx= sinx(−π/2< x < π/2) (6) y⁰−2xy=e^x2 (7) xy⁰+y=xlogx (x >0) (8) y⁰+ay=e^bx (9) y⁰ +a

xy= 0 (10) y⁰−xy=x (11) y⁰+ 1

xy= 1−x² (x >0)

(12) xy⁰+y = 4x(1 +x²) (13) xy⁰−(y+x²sin²x) = 0 (14) y⁰+ycosx=−sinxe^−sinx (15) x(1−x²)y⁰+ (x²−1)y=x³ (0< x <1) (16) y⁰−ay = sinx(17) (1 +x²)y⁰ =xy√

1 +x² (18) y⁰+ (1 +x²)y=e^−x3/3 (19) y⁰+ay =bx²+cx+d(20) xy⁰+ (1 +x)y=e^x

(1) y =Ce^−ax

(2) y⁰ = −ay+b だが、y⁰ = −ay の一般解は y = Ce^−ax (C は任意定数) である。そこで y =c(x)e^−ax とおくと、

y⁰ =c⁰(x)·e^−ax+c(x)·e^−ax(−a) =−ay+c⁰(x)e^−ax. それゆえ微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)e^−ax =b.

c⁰(x) = be^ax と解けるのでc(x) = ^a_be^ax+C (C は任意定数). ゆえに求める一般解は y=c(x)e^−ax =Ce^−ax+a

b. (3) y⁰ =−(cotx)y+ 1

sinx であるが、まず y⁰ =−(cotx)y の一般解を求める。

Z dy y =

Z

(−cotx)dx=−log|sinx|+ logC =−log sinx+ logC= log C sinx から

y=± C

sinx = C⁰

sinx (C⁰ は任意定数).

そこで y= c(x)

sinx とおくと、

y⁰ = c⁰(x)

sinx +c(x)cosx

sin²x = y

sinx + c⁰(x) sinx. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x) sinx = 1

sinx.

これから c⁰(x) = 1. ゆえにc(x) =x+C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般解は y= c(x)

sinx = x+C⁰⁰ sinx .

(4) y⁰ =−2xy+x であるが、まず y⁰ =−2xy の一般解を求める。

Z dy y =

Z

(−2x)dx=−x²+C (C は任意定数)

より y=±e^Ce^−x2 =C⁰e^−x2 (C⁰ は任意定数). そこでy =c(x)e^−x2 とおくと、

y⁰ =c⁰(x)·e^−x2 +c(x)·e^−x2(−2x) = −2xy+c⁰(x)e^−x2. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)e^−x2 =x.

これから c⁰(x) =xe^x2. ゆえに

c(x) = e^x2

2 +C (C⁰⁰ は任意定数).

ゆえに求める一般解は

y =c(x)e^−x2 = µ1

2e^x2 +C⁰⁰

¶

e^−x2 =C⁰⁰e^−x2 +1 2.

(5) y⁰ = 2xy+e^x2 であるが、まず y⁰ = 2xy の一般解を求める。

dy y =

Z

2x dx=x²+C (C は任意定数).

これから

y=±e^Ce^x2 =C⁰e^x2 (C⁰ は任意定数).

そこで y=c(x)e^x2 とおくと、

y⁰ =c⁰(x)·e^x2 +c(x)·e^x2(2x) = 2xy+c⁰(x)e^x2. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)e^x2 =e^x2.

これから c⁰(x) = 1. ゆえにc(x) =x+C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般解は y=c(x)e^x2 = (x+C⁰⁰)e^x2.

(6) y⁰ = 2xy+e^x2 であるが、まず y⁰ = 2xy の一般解を求める。

dy y =

Z

2x dx=x²+C (C は任意定数).

これから

y=±e^Ce^x2 =C⁰e^x2 (C⁰ は任意定数).

そこで y=c(x)e^x2 とおくと、

y⁰ =c⁰(x)·e^x2 +c(x)·e^x2(2x) = 2xy+c⁰(x)e^x2. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)e^x2 =e^x2.

これから c⁰(x) = 1. ゆえにc(x) =x+C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般解は y=c(x)e^x2 = (x+C⁰⁰)e^x2.

(7) y⁰ =−y

x + logx であるが、まず y⁰ =−y

x の一般解を求める。

dy y =−

Z dx

x =−log|x|+ logC = log C

|x| (C は正の任意定数).

これから

y=±C x = C⁰

x (C⁰ は任意定数).

そこで y=c(x)/x とおくと、

y⁰ =c⁰(x)· 1

x +c(x)· µ

− 1 x²

¶

=−y

x +c⁰(x) x .

ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は c⁰(x)

x = logx.

これから c⁰(x) =xlogx. ゆえに c(x) =

Z

xlogx dx=

Z µx² 2

¶₀

·logx dx= x²logx

2 −

Z x² 2 ·1

xdx = x²logx 2 −x²

4 +C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数).

ゆえに求める一般解は

y= c(x)

x = xlogx 2 − x

4 +C⁰⁰ x .

(8) y⁰ =−ay+e^bx であるが、まずy⁰ =−ay の一般解は y =Ce^−ax (C は任意定数) である。

そこで y=c(x)e^−ax とおくと、

y⁰ =c⁰(x)·e^−ax+c(x)·e^−ax(−a) =−ay+c⁰(x)e^−ax. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)e^−ax =e^bx. これから c⁰(x) =e^(a+b)x. ゆえにc(x) = e^(a+b)x

a+b +C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般 解は

y=c(x)e^−ax= e^bx

a+b +C⁰⁰e^−ax. (9)

(10)

(11) y⁰ =−y

x + (1−x²) であるが、まず y⁰ =−y/xの一般解は Z dy

y = Z µ

−1 x

¶

Dx=−log|x|+ logC = log C

|x| (C は正の任意定数) より

y=±C x = C⁰

x (C⁰ は任意定数).

そこで y=c(x)/x とおくと、

y⁰ =c⁰(x)· 1

x +c(x)· µ

− 1 x²

¶

=−y

x +c⁰(x) x . ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)

x = 1−x².

これから c⁰(x) = x−x³. ゆえにc(x) = ^x₂² −^x₄⁴ +C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般 解は

y= c(x) x = x

2 − x³ 4 +C⁰⁰

x .

(12) (13)

(14) y⁰ =−ycosx−sinxe^−sinx であるが、まず y⁰ =−ycosx の一般解は Z dy

y = Z

(−cosx) Dx=−sinx+C (C は任意定数) より

y=±e^Ce^−sinx =C⁰e^−sinx (C⁰ は任意定数).

そこで y=c(x)e^−sinx とおくと、

y⁰ =c⁰(x)·e^−sinx+c(x)·e^−sinx(−cosx) =−(cosx)y+c⁰(x)e^−sinx. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x)e^−sinx =−sinxe^−sinx.

これから c⁰(x) = −sinx. ゆえにc(x) = cosx+C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般 解は

y=c(x)e^−sinx =C⁰⁰e^−sinx+e^−sinxcosx.

(15) (16)

(17) これは変数分離形だ。y⁰/y =x/√

1 +x² であるから、

Z dy y =

Z x

√1 +x² dx=√

1 +x²+C (C は任意定数).

y=±e^Cexp√

1 +x² =C⁰exp√

1 +x² (C⁰ は任意定数).

(18) (19)

(20) y⁰ =−1 +x x y+e^x

x であるが、まずy⁰ =−(1 +x)y/x の一般解は Z dy

y =− Z µ

1 + 1 x

¶ Dx より

log|y|=−(x+ log|x|) + logC = log C

|x|e^x (C は正の任意定数).

y=± C

xe^x = C⁰

xe^x (C⁰ は任意定数).

そこで y= c(x)

xe^x とおくと、

y⁰ =c⁰(x)· 1

xe^x +c(x) =−1 +x

x y+c⁰(x) 1 xe^x. ゆえに求める微分方程式の解であるための必要十分条件は

c⁰(x) 1

xe^x = e^x x. これから c⁰(x) =e^2x. ゆえにc(x) = 1

2e^2x+C⁰⁰ (C⁰⁰ は任意定数). ゆえに求める一般解は y= c(x)

xe^x = C xe^x + e^x

2x.