補間公式 ( 補間多項式 ) - A 関数近似

A 関数近似

A.1 補間公式 ( 補間多項式 )

関数

f : [a, b] → R

のグラフから、相異なる

n

個の点

(x

₁

, f (x

₁

)), · · · , (x

, f (x

))

を取ったとき、

n − 1

次以下の多項式

f

(x)

で、グラフがそれら

n

個の点を通るものが一意的に存在することを示す。

f

(x)

を

f

の補間多項式と呼ぶ。

(

導関数も近似するという

Hermite

補間というものがあり、それと区別するために、

Lagrange

補間ということがある。

)

命題

A.1 (

補間多項式の一意存在

) x

, · · · , x

nは区間

[a, b]

内の相異なる点、

f : [a, b] → R

とするとき、

f

(x) ∈ R [x], deg f

(x) ≤ n − 1, f

(x

) = f (x

) (k = 1, . . . , n)

を満たす

f

(x)

が一意的に存在する。

定義

A.2 (補間多項式) x

₁

, · · · , x

_n は区間

[a, b]

内の相異なる点、f

: [a, b] → R

とするとき、命題

A.1

で一意的な存在が保証される

f

(x)

を、

x

₁

, · · · , x

_n を標本点とする、関数

f

の補間多項式と呼ぶ。

証明

f

(x) ∈ R [x], deg f

(x) ≤ n − 1

であることから、

f

(x) =

n−1

∑

j=0

b

x

, b

₀

, b

₁

, · · · , b

_n=1

∈ R

と置くことが出来る。

f

(x) = (

1 x x

· · · x

ⁿ⁻¹

)



 

 b

₀

b

₁

b

₂

.. . b

_n₋₁



 



であるから、条件

f

(x

) = f (x

) (k = 1, · · · , n)

は



 

  f (x

₁

) f (x

₂

)

.. . f (x

)



 

  =



 

 

1 x

₁

x

²₁

· · · x

ⁿ₁⁻¹

1 x

₂

x

²₂

· · · x

ⁿ₂⁻¹

.. . .. .

1 x

x

²_n

· · · x

ⁿ_n⁻¹



 

 



 

  b

₀

b

₁

.. . b

_n₋₁



 

 

と同値であり、

φ: R

ⁿ

→ R

ⁿ を

φ



 

 



 

  b

₀

b

₁

.. . b

n−1



 

 



 

  :=



 

  f

(x

₁

) f

(x

₂

)

.. . f

(x

)



 

 

で定めると、

φ

は線形写像であ

り、(定義域と終域の次元が等しいので) 3条件

(i) φ

が全単射, (ii)

φ

が単射, (iii)

φ

が全射, が同値であることに注意する。

以下、

3

通りの証明

(a), (b), (c)

を与える。

(a) (

構成的な証明

) k ∈ { 1, · · · , n }

に対して、

(30) L

⁽ⁿ_k⁻¹⁾

(x) :=

∏

1≤j≤n j̸=k

(x − x

)

∏

1≤j≤n j̸=k

(x

− x

)

= (x − x

₁

) · · · (x − x

_k−1

) (x − x

_k+1

) · · · (x − x

) (x

− x

₁

) · · · (x

− x

_k₋₁

) (x

− x

_k+1

) · · · (x

− x

)

とおくと、

(31) L

⁽ⁿ_k ⁻¹⁾

(x) ∈ R [x], deg L

⁽ⁿ_k ⁻¹⁾

(x) = n − 1, L

⁽ⁿ_k⁻¹⁾

(x

) = δ

(1 ≤ j ≤ n)

が成り立つ。ゆえに任意の



 

  a

₁

a

₂

.. . a



 

  ∈ R

ⁿ に対して、

(32) f

(x) :=

∑

n k=1

a

L

⁽ⁿ⁻¹⁾_k

(x)

とおくと、

f

(x) ∈ R [x], deg f

(x) ≤ n − 1, f

(x

) = a

(1 ≤ j ≤ n)

が成り立つ

(

実際、

f

(x

) =

∑

n k=1

a

L

⁽ⁿ_k ⁻¹⁾

(x

) =

∑

n k=1

a

δ

_jk

= a

)

。これは

φ

が全射であることを示している。ゆえに

φ

は全単射である。

(b) (

省エネの証明

. (

志村

[23]

に載っていた。

) (b

₀

, b

₁

, · · · , b

)

∈ ker φ

とする。

φ(b

₀

, b

₁

, · · · , b

) = 0

は

f

(x

₁

) = f

(x

₂

) = · · · = f

(x

) = 0

を意味する。

x

₁

, · · · , x

_n が相異なるならば、因数定理を用いて、

f

(x) = 0 (

多項式として

)

が導かれる。ゆえに

b

= · · · = b

n−1

= 0.

ゆえに

ker φ = { 0 }

であるので、

φ

は単射である。ゆえに

φ

は全単射である。

(c) (もしも Vandermonde

の行列式を知っているならば)

φ

の表現行列は、Vandermonde 行列であり、その行列式は差積

∏

1≤i<j≤n

(x

− x

)

に等しい。

x

₁

, · · · , x

_n が相異なるならば、

これは

0

ではない。ゆえに

φ

は全単射である。

定義

A.3 (Lagrange

補間係数

) x

₁

, · · · , x

_n を

R

内の相異なる点とするとき、

(30)

で定まる

L

⁽ⁿ₁ ⁻¹⁾

(x), . . . , L

⁽ⁿn⁻¹⁾

(x)

を、

x

₁

· · · , x

_n を標本点とする

Lagrange

補間係数と呼ぶ。

細かい注意になるが、

Lagrange

補間係数は、条件

(31)

で特徴づけられる。実際、命題

A.1

の証明中の

φ

が単射であることから、

(31)

を満たす

L

⁽ⁿ_k ⁻¹⁾

(x)

は一意的である。

命題

A.4 x

₁

, · · · , x

_n を

R

内の相異なる点、L⁽ⁿ_k ⁻¹⁾

(x) (k = 1, · · · , n)

を、x₁

, · · · , x

_n を標本点とする

Langrange

補間係数とするとき、F_n

(x) :=

∏

n j=1

(x − x

)

とおくと、

L

⁽ⁿ_k ⁻¹⁾

(x) = F

(x)

(x − x

)F

_n^′

(x

) (k = 1, 2, · · · , n).

証明

F

(x)

x − x

= ∏

1≤j≤n j̸=k

(x − x

) .

一方、積の微分法から

F

_n^′

(x) =

∑

n k=1

∏

1≤j≤n j̸=k

(x − x

), F

_n^′

(x

) = ∏

1≤j≤n j̸=k

(x

− x

) (k = 1, · · · , n)

であるから

F

(x)

(x − x

)F

_n^′

(x

) =

∏

1≤j≤n j̸=k

(x − x

)

∏

1≤j≤n j̸=k

(x

− x

)

= L

⁽ⁿ_k⁻¹⁾

(x).

この命題を用いると、補間多項式

f

(x)

は次のように表現できる

:

(33) f

(x) =

∑

n k=1

F

(x)

(x − x

)F

_n^′

(x

) f (x

), F

(x) :=

∏

n j=1

(x − x

) .

これを

Lagrange

の補間公式と呼ぶ。

補間多項式を表す公式には、これ以外に

Newton

の補間公式と呼ばれるものがあるが、省略する。

次の命題は具体的な誤差評価の役に立つのかなあ？

命題

A.5 (Lagrange

補間公式の誤差

) (

準備中

) n ∈ N , f ∈ C

ⁿ

([a, b]; R )

ならば、任意の

x ∈ [a, b]

に対して、ある

ξ

∈ J

が存在して、

f(x) − f

(x) = 1

n! F

(x)f

⁽ⁿ⁾

(ξ

).

ここで

J

は

x

₁

, · · · , x

, x

のすべてを含む最小の区間

(いわゆる区間包)

である。

証明

(

準備中

—

実は閉店だったりして

)

Dalam dokumen 数値積分ノート (Halaman 44-47)