の基本領域の構成レシピ

GL(n)/k の非線形的簡約理論 : P

_n

(k

_∞

)/Γ

_i

の基本領域の構成レシピ

Takao Watanabe 2015年3月14日 上智大学

以下はLee Tim Weng 君の修士論文の結果である. 有限次代数体 k を固定して, その整数環を o,

無限素点 (または有限素点) の集合を p_∞ (または pf) とする. k のアデールを A, ノルム 1 のイ デール群をA¹, k_∞=∏

σ∈p_∞kσ と表す. アデール群GLn(A)の標準的な極大コンパクト部分群を K=K_∞×Kf とする. 行列のサイズnを明示する場合は, K⁽ⁿ⁾, K_∞⁽ⁿ⁾, K_f⁽ⁿ⁾ などと表す.

1 イデアル類群の代表系

kの類数をhとして,イデアル類群の代表系で整イデアルであるもの a₁,· · · ,a_hを固定する. ただし a₁=oとする. 各 a_i に対し,α_i ∈A¹を α_i(k_∞×∏

σ∈pfo_σ)∩k=a_i が成り立つようにとる. また r次の対角行列

η^(r)_i := diag(

r−1

z }| {

1,· · ·,1, αi)∈GLr(A)¹ をとり,r=nのときは単にη_i⁽ⁿ⁾をηi と表す.

2 格子の類の代表系と数論的離散群

kⁿ の中のランクnの射影的o 加群全体の集合を Ln とすると, GL_n(A)¹ は Ln に推移的に作用す る. 即ち, L∈L_n,g∈GL_n(A)¹ に対しgL:= (kⁿ_∞×∏

σ∈p_fg_σL_σ)∩kⁿ. とくに Λi:=oe1+· · ·+oen−1+aien

とすれば, Λ₁,· · · ,Λ_h は GL_n(k)\Ln の完全代表系である. η_i の定義により η_iΛ₁ = Λ_i となる.

GL_n(k)の中のΛ_i の固定化群をΓ_i とおく. Γ₁= GL_n(o)である.

3 Γ

_i

に関するカスプの代表系

1≤m≤n−1 を固定して,極大放物的部分群 Q(k) :=

{(a b 0 d )

: a∈GLm(k), b∈Mm,n−m(k), d∈GLn−m(k) }

をとる. 以下ではQ(k)\GLn(k)/Γi の完全代表系を与える. 各aj に対し

∃κij∈k^× such that κija⁻_j¹ai∈o and aj+κija⁻_j¹ai=o. このとき,α^′_ij∈aj と α^′′_ij ∈a⁻_j¹ai をα^′_ij+κijα^′′_ij = 1を満たすようにとり

ξij=





 I_m−1

α^′_ij κ_ij In−m−1

−α^′′_ij 1





∈GLn(k)

とおく. 定義から

ξijΛi=oe1+· · ·+oem−1+ajem+oem+1+· · ·+oen−1+a⁻_j¹aien

となり,さらに次が成り立つ.

Proposition(Weng). {ξi1,· · · , ξih}は Q(k)\GLn(k)/Γi の完全代表系である.

1

4 Humbert 形式の凸錘

各σ∈p_∞ に対し,Pn(kσ)をn次正定値対称(またはHermite)行列のなす凸錘とし, Pn(k_∞) := ∏

σ∈p_∞

Pn(kσ)

とおく. GLn(k_∞)は通常のように右から推移的に作用し,任意のA∈Pn(k_∞)は

A=

(Im 0

tuA In−m

) (A^[m] 0 0 A_[n−m]

) (Im uA

0 In−m

) , (

A^[m]∈Pm(k_∞), A[n−m]∈Pn−m(k_∞), uA∈Mm,n−m(k_∞) )

と表せる. 固定したa_i に対し,

Pⁱ_n:=

{

A∈Pn(k_∞) : ∏

σ∈p_∞

|detAσ|k_σ = Nr(ai)⁻² }

とおく. 写像π_ij : GL_n(k_∞)−→P_n(k_∞)をπ_i(g) =^tg^−1tξ⁻_ij¹η_i,²_∞ξ_ij⁻¹g⁻¹と定義すれば次が成立:

GL_n(k_∞)¹/(ξ_ijη_i)_∞K_∞(ξ_ijη_i)⁻_∞¹∼=π_ij(GL_n(k_∞)¹) =Pⁱ_n. またPn(k_∞)の中の領域F^i,j_n,mを

F^i,j_n,,m:=

{

A∈P_n(k_∞) : |detA^[m]|k_∞ ≤ Nr(a_k)²

Nr(aj)²|detA[ξ_ijγξ_ik⁻¹]^[m]|k_∞, ∀γ∈Γ_i, k= 1,· · · , h

}

と定義する.

5 GL

_n

(k) \ GL

_n

(A)

¹

, P

_n

(k

_∞

)/Γ

_i

, P

ⁱ_n

/Γ

_i

の基本領域

1≤k, ℓ≤hに対し

Γ^m_k,ℓ:= (η^(m)_k (η_ℓ^(m))⁻¹) {

GL_m(k_∞)×K_f^(m) }

(η_k^(m)(η^(m)_ℓ )⁻¹)⁻¹∩GL_m(k) とおき,同様にΓⁿ_k,ℓ^−mを定義する. これらの離散群について

B_j =P_m(k_∞)/Γ^m_j,1 の基本領域, C_ij =P_n−m(k_∞)/Γⁿ_i,j^−mの基本領域 を取り固定する. 更に

D_ij :=

{(δ u v w )

: δ∈Mm−1,n−m−1(k_∞/o), u∈Mm−1,1(k_∞/a⁻_i¹aj) v∈M_1,n−m−1(k_∞/a_j), w∈k_∞/a⁻_i¹a²_j

}

⊂M_m,n−m(k_∞)

をとる. ここで k_∞/oは,加法群としてのk_∞ におけるo の基本領域と同一視している.

F^i,j_n,m=F^i,j_n,m(B_j,C_i,j,D_i,j)

:={A∈F^i,j_n,m : A^[m] ∈Bj, A_[n−m]∈Ci,j, uA∈Di,j} と定義する.

2

Theorem (Weng). 上の記号のもとで

(1) GLn(A)¹ の中の領域 ⊔

1≤i,j≤h

π⁻_i,j¹(F^i,j_n,m∩Pⁱ_n)ξijηiKf

はGLn(k)\GLn(A)¹ の基本領域である.

(2)Pⁱ_n の中の領域

Pⁱ_n∩

∪h j=1

tξ⁻_ij¹F^i,j_n,mξ⁻_i,j¹

はPⁱ_n/Γi の基本領域である.

(3)F^i,j_n,mを与えるBj,Ci,j がすべて正のスカラー倍で不変ならば

∪h j=1

tξ⁻_ij¹F^i,j_n,mξ⁻_i,j¹

はP_n(k_∞)/Γ_i の基本領域である.

6 P

_n

(k

_∞

)/Γ

_i

の基本領域の帰納的構成

m=n−1として, 以下のように帰納的に基本領域が構成できる.

• n= 1のとき, 任意のi, j についてΓ¹_i,j =o^× であり,線形的簡約理論(Voronoi簡約理論の代 数体版)からP1(k_∞)/o^× の基本領域Ω1で正のスカラー倍により不変なものが取れる.

• n= 2のとき, 定理から

Ωⁱ₂:=

∪h j=1

tξ⁻_ij¹F^i,j_2,1(Ω1,Ω1,k_∞/a⁻_i¹a²_j)ξ⁻_ij¹

がP2(k_∞)/Γi の基本領域となり,これは正のスカラー倍により不変.

• Ωⁱ_n−1 が定義されたとすると

Ωⁱ_n:=

∪h j=1

tξ⁻_ij¹F^i,j_n,n−1(Ω^j_n−1,Ω1,Di,j)ξ_ij⁻¹

がPn(k_∞)/Γi の基本領域となり,これは正のスカラー倍により不変.

3