図形の問題を探究する





 







， 



　直線と原点中心半径の円との接点を図の ように，とおく。題意より

 …

 

 ， 

 ……

 ^  ^ 

^  

^   とおく。

  ･

 ･

 

　

 

 



^{}



 ･

  ^ 

^



^{}



 ･

  ^ とすると，

より，，また

 だから，



^{  ，ここで}



^{  とおくと，}

  …  … 



 ^{   }

 ^{  極小 }

　増減表より，のとき，  は極小かつ最小となる。

このとき，^



^{ だから， }

^{ }

^{ }

^

^

^

^

^

^{ ，}

また， 

  

 



^



^{ }



^ 



^



^{ 　}

求める最小値は，  ･



^



^



^{ ･}



^ 



^



^{ }



^

 

^{ }



^



^

　　



^{より，}

^

^{ ，}

^

^{ のとき，最小となる。}



^

図形の問題を探究する

1月15日・16日の「2022年度大学入試共通テスト」が終わり，高校3年受験生は，私立 大学一般入試，そして2月25日より始まる「国公立大学2次入試」に向けて，猛勉強を始 めていることでしょう。前回は，三角形に関する入試問題を取り上げましたが，今回も平面 図形で円に関する入試問題をめぐって，様々な解法を考えてみたいと思います。

　　は軸上の点で座標が正であり，は軸上の点で座標が正である。

直線は原点を中心とする半径の円に接している。また，，は正の定数とする。

，を動かすとき， ^  ^の最小値を，で表せ。（2005年，東京工業大学）

 ^  ^{ }

^  ^

^   ^{までは，と同じ。}

ここで，^^　であることを利用して

  



^{ }



^

^

^{}

^

^{  }

^

 ，^

 だから，相加平均相乗平均の大小関係により，

  



^{ ･ }

^

^{ }

^

^

等号が成り立つのは，^

 ^

 のとき，つまり，^

 のとき。

したがって， ^  ^の最小値は，



^^



^{（以下は，と同じ）}

「相加平均相乗平均の関係」とは，，のとき，任意の，に対して，



 



^が成り立つことをいい，等号が成り立つのは^{のときのみである。}





，，，，とすると，直線の方程式は　

 

，

，円^^に接するので ･･



^{  }



^{}

^^^^，　より^であるから　^





  



 

 ^  ^ ^^^



^{ }



^{  }

，，であるから，相加平均相乗平均の大小関係により，

^{ } _^_^{}



^{･ }

等号は^{ } ^_



^{ ，}



^{ のとき成り立つ。}

（以下は，と同じ）

山脇の超数学講座 ^{№ 34}

相加平均・相乗平均の関係を効果的に利用する

左記の解答は，単位円であるところから三角関数を媒介変数として使い，微分法によっ て解決している。このとき，最小値，および最小値をとるOP，OQの値を見ると，aとb が「対称的」であることに気づくだろう。しかも，変数も定数も正の値をとる。こういう 問題で威力を発揮する解法が，「相加平均・相乗平均の関係を利用する」解法である。