The Japanese Association of Management Accounting
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日本 管 理 会 計 学 会 誌
管 理 会 計 学2000 年 第9巻 第1号
論 文
売 上 高 差 異 を 数 理 的 に 二 分 す る 方 法
力 石 雅 樹
＊〈 論 文 要 旨〉
売 上 高は経営 活 動 を 測 定 する た めの主 要 な指標で も ある，その 目標と成 果 とい っ た
2
つ の売 上 高 間に発 生 した差 異 （売 上 高 差 異）を 分 析 するの に， 売上高を
2
つ の要因の 積で定 義 した差 異 分 析が広 く行わ れて い る。その 技法と し て は一般に，伝統 的な方法
で ある 三分 法 また は二 分 法 が 利 用 さ れてい る．しか し，そ れ らの 分 析に は疑 問が あ り，
これ まで 先 達に よっ て適 正 に分析す る方法の 開 発 が試み られ て き たが，未解 決で ある と言えよう．
本論文で は， こ の よ うな問題 意 識 に基づ き， 最初に，売上高の 管理形態を要素と要 因に基づ い て分 類 し，売 上 高 差 異 分 析の 意 義 を 明 らかに した．次に，従来の 主 要 な 方 法
4
つ を再検 討 し て，い ずれ の方法 も欠 点を内包し て い る た め ，売上高の差異分析に 適用で きない こと を明らか に し た．そ の次に，売上高差異を，ベ ク ト ル解析 を利用 して，数理 的 方法に よ り各要因に適正 に配 分 する方法 （公式 ）を開 発 し提案 した．最後
に，こ の提 案 し た方 法が有 用であるこ と を数 値 例に よ り確 認 した．
提案 し た方 法 を用い る と， 売上高 差異を数理的に適正 に分 析で きる の で ， 売上高 と
その要因を一層 明確に管理する こ と が で きる．
〈 キーワー ド 〉
売上高 差 異， 売上高 差 異 分 析， 2要 因， 乗算型， 三分 法， 二 分法， 混合 差 異， 数理 的方法
2000年 6月 9日 受 付
2000年 9月30 日受 理
＊東京理科大学 経営 学部 助 手
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管理 会計 学 第9巻 第1号
1
． は じ め に経営 環 境の 変化や企 業 間競 争の激 化等に伴い ， 売上高に影響を及ぼす要因 を直接的 に管理 す る必 要性が ますます 増大してい る た め， 計画， 標準， 前年実績 など との 差 異 分析や戦 略策定の
た めの 差 異分析な どの 重要 性が高 まっ て い る．埼玉県久喜 市 内の 中 小事業 所を対 象に して予備 的実 態 調査 を行 っ た とこ ろ， 販 売 ・営 業 管理 を行っ て い る
8
事業所の うち3
事業所が売上高 差 異分 析 （販売差 異分析， sales variance analysis ＞を実施して い た．差異 分 析 とは， 広 くは
2
つ の 活 動 量 問における差 異 に対 する様々 な分 析の 総称で ある．そ れ らの うち最 狭 義の 差 異 分析 似 下， 単に差 異分 析 とい う．）と は，2
要 因乗算型モ デ ル に対す る 分析を意 味 し， もともとは製造原価 計算の領 域で発 展 し て き た技 法で あ り，その伝 統 的な方 法 に は三 分法 （3
−variate analysis ），二分法 （2
−variate analysis ）などが ある． しか し， こ れ らの方 法はい ず れ も， 第
3
節 で詳述 す る よ うに欠点を内 包 し てい る．し か も近年に おい て は， 差 異 分 析が営 業 費 ， 物 流 費， 売上高な どの 管理 に も適 用 さ れ る ように なっ て きて い る （例 えば，Kotler
（2000
）p ．697
，溝口（1987
）pp ．167
−168 ， 西 澤（1993
）pp
．130 −132
，西澤（1996
）pp ．438
−455
）た め， 従 来の方法に 内在して い る欠点が障害に な るの では と懸念さ れる．
そこで ，本研 究の 目的は，売上高は客 単 価 と客 数とい う
2
要 因の積で定 義 する こ と が で きる とい う前提の下で ，2
つ の 売上高 （例え ば， 計 画と実績 ）の 間に発生する売上高 差 異を， 数理 的方法に よ り客 単 価差異 と客 数差 異 とに適正に配分す る方法を開発 する こ と とする．し た がっ て本論 文で は， 第2
節で売上高の 管理形態 と売上高差異 分析の 意義を明ら かに し， 第 3 節で従 来の方 法につ い て議 論 し た うえで ， 第5
節で売上高差異を各要 因に数理的に適正に配分 する方 法を導 出し提 案 する．ま た， 第6
節で数 値例 によ りその有 用性につ い て考 察する．2
．売
上高
の管 理 形 態
と差 異分 析
の意 義 2
．1
売 上 高の管 理 形 態企業はつ ねに， 売上高の動 向に留意 し， その 変調の検知や影 響の測 定， 原 因の 究 明と対策に
腐心 して い る．そ して， そ れ らに対 応 する た め に， 売上高 を商 品や売場別に あるい は販売価格
や客数 別に分 析 して き め細か く管理 して お り，その具 体 的方 法は， 業 種や企 業 ， 商品の違い な どに より実に多様で ある．
しか し， 売上高の 管理形 態は ， その 構 造の捉 え方に よ り， すな わ ち売 上 高を規 定 して い る要 素 と要 因の 数を 基準に して ， 表 1に 示 す よ うに， 単純型 （単一型 ）， 加算型 （加 法型〉， 乗算型
（乗 法 型）， 混在 型 （複合 型 ）の 4 つ に大別 する こ とがで きる．こ こで ， 要素 と は， 販売 ・営業 上の 一群 を指す．具体的 には販売 主体 （事業所， 売場 ・職 能， 販 売 員な ど）や販売相手 （学生，
主 婦， 企業など），販売品 目 （製 品， 商晶， サービス），販 売 経 路 （代理店 ，販売エ リア な ど），
販売時機 （時 間帯， 曜 日， 季節な ど）， 販売方 法 （陳 列 方 法， セ ール ，ク レジ ッ ト販 売な ど） な どの 小項 目で ある．他方 ， 要因と は，売上高に直接 影響を 及ぼす 主要な原 因の こ とで あるが，
本 研究で は特に， 乗 算型モ デル にお け る要因変 数を指 すこ と とする． 例 えば， 販 売 価格， 販売 数量，客単 価， 客 数， 単位 面 積 当た り販 売 額， 売 場面 積， 市場規 模， 市場占有率などで ある．
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売上高 差 異 を数理 的に 二分 する方法
表
1
売上高の管理形 態 要 因単 数 複 数
要 素 単 数 単純 型 （単一型） 乗算型 （乗法型） 複 数 加 算 型 （加 法型 ） 混在 型 （複合 型 ）
上表を説 明 する． 売上高 管理の 単 純型 と は， 売上高 を要 素 や 要 因に細 分 す る こ とな く，
一括 して管理 す る形態で あ る．主 に，極めて小規 模な個人 企業で行わ れてい る．
2
番目の加算型とは，売上高を売場 や 商 品， 曜日 とい っ た 要素別 に 細 分 して管理 す る形態で あ る．
3
番 目の 乗算 型（2）と は， 売上高は複数の 要 因の積で ある と考え， 売上高の変動量 を各要因の貢献 度 に応 じて配分す るこ と によ り得 ら れ る各要 因の影響量 を基に して， それぞ れの要 因を管 理 する形 態で ある ，本 研 究 が 対象 と して い る形 態 はこの 乗 算 型で あ る．
4
番 目の 混在型 と は， 加算型 と乗算 型 と が混在 してい る形 態で あ り， 最 も多くの企業で採用 さ れて い る タ イ プで ある．こ れ らの うち， 乗算 型と混 在 型に は ， い わゆ る混合 差異の 配 分問題 すなわ ち売上高 差 異の 中に複 数の 要因の影響を受けて発生 し た 差 異 （混合差 異， 結合 差異，
joint
variance ）があるため売上高差 異 を各要 因に直接配分 するこ と がで き ない ，とい う問 題 が あ る．そ して ， この問題
の存在が，こ れ まで にい ろい ろな方 法を 生み 出し，結 果 的に混乱を与 えて い るの で あ る．
2
．2 売
上高差異
分析
の意 義
売上高差 異分 析 と は， 売上高に関する 2 つ の 活動量 （例え ば， 予 定 売上高 と実 際売上高 ，標 準 売上 高と実 際 売上高 ， 前 年度同月売上 高 と当 年 度 当 月売上 高 ）の 間に お ける売上高差 異 （
2
つ の売上高 間の差 額）を各 要 因に帰属 させ る分析である ．
し た が っ て ， 売上高差 異分 析の 意義は， 目標と成果 とい うよ うな2つ の 売上高の 間に生 じる
（生 じ た） 売上高 差 異を その 要 因ご とに把 握 して各 要 因の 影 響 量を明ら かにする こ とに よ り，
企 業活 動に意思決 定のた めの ひ とつ の基準 を提 示 する こ とにある．そし て ， こ の ような売上高 差 異 分 析 と要素別 に行 うミクロ販 売分析 と を併 用 する こ とに より，販 売上の課 題ま た は販 売機
会 を 要 素 ・要 因 別 に一層明確化 す るこ と がで き る．
3
．従 来
の方法
の再検討
こ の 節で は， 従 来の方 法の うち主要な
4
つ の方 法， すな わち三分 法， 二分 法，Vance
の方 法 および混合 差異 等分法を取 り上げ， 下記の3
点を評価 項目 に して議論し， 問 題点を 明確 にする． 形 式的適 合 性 （総差 異を全 定義 域に おい て各 要 因に配分 する とい う差 異分析の本 来の 目的 に形式的 に呼応 してい る か）
数 学的 論理性 （数 学 的論理 が存在し，そ れ が貫か れてい る か）
経 営 的 有用 性 （経 営管理 上有用 か，あ るいは 大 きな不都 合が 生 じ ない か〉
次に， 本 節で用 い る用語 と記号につ い て説 明して お く， 売上高は客 単 価 と客数の積で定 義で きる と し，
2
つ の 活動量 は 予定 売上高 （計 画）と実 際 売上高 （実 績 ）とする ．そ して， 予 定 客 単価をfls
で ，実際客単価をfta
で 表し， 予定 客 数をf2s
で ， 実 際客 数をf2a
で 表す ．し た がっ て ，135
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こ の記法を用い る と， 予 定 売上高 ＝
fts
×f2s
， 実際 売上高＝fla
×f2a
と表記 す る こ と がで きる．3
．1
三分法
三分 法を客 単価 と客 数の積で定 義さ れる売上高の差 異分 析に適用す る場合は， 売上高差 異 を
（
1
）式 〜（3
）式の如 く3
つ の 差 異に分 割 し て捉 える．客単価差 異 ＝ （
fla
−fis
）f2s
（1
）客数差 異 ＝fls他 a− f2s） （
2
）混合 差
se
一（fla
−fls
）（f2a
−f2s
） （3
）fia
客
単
fia
価0
f2s
客 数
f2a
図
1
三 分法三 分 法は ， 混 合差 異を
2
つ の要 因の い ずれ に も帰 属さ せずに別扱い に し， 売上高 差 異を3
分 割 して い る た め， 売上 高差 異 を2つ の要 因に配分 する とい う差 異分 析の本 来の 目的に応 えて いない ．換 言 すれ ば， 客単 価 差 異 と客 数差 異を求めるのが 目的で あるの に， そ れ ら 以外に混 合差 異 も求め て い る の で， 形式 的適 合 性に欠けて い る と言える． し か し， 売上高差 異 を
3
分割 する 際の 論理 が 明確で あ り， 求め ら れた3
つ の 差 異の発 生 理 由が異 なっ て い る の で， こ の 三分 法にはそ れ な りの使い 方 が あ る と思わ れ る．
こ こ で， 議論を分か りやす くする た め に， 下表に示 す 簡単な例 題 を用い て 考え よう．
表 2 三 分法に よ る差 異分 析の例 予定
客単価
予定 客数
予定 売上高
実 際 客単 価
実 際 客 数
実 際 売 上 高
売上高 差 異
客 単 価 差 異
客 数 差 異
混 合 差 異 例 11
例
12
例 13
102010 101510 100300100153516 12305 1801 ρ50
80
80750
−
20
5022560 20300
−
50
10225
−
30
例
11
で は， 売上高差異80
（100
％）に対 し混 合差 異は10
（12
．5
％） と少 数で あ り， しかも要 因 別の2
つ の差 異の うち小 さい 方の差異で ある客 数差 異20
（25％）の 半 分で ある ので ， 混 合 差 異 を別扱い して も あ るい は無視 して も実 害は ほ とん ど ない で あろ う． し か し， 例12
で は どうで あろ うか．売上高差 異750
（100
％）に対 し 混合 差 異は225
（30％） と大 き く， 客 単価 差 異と同額で ある ので ，別 扱 い するに は 無 理 が ある の は 明ら か で ある．例
13
は ， 客単 価が 10 か ら 16へ と60
％ 増 加 し， 客数が10
か ら5
に50
％ 減少し た例で あ る が， 分析結果は客単価差異が60
， 客数 差異が 一50
であ り， 各要 因の 変動率に正 比例して い る た め，一見すると適正に配分さ れてい る
よ う で あ る，し か し， 混 合 差 異 は 一
30
で あ り， 売上高 差異 一20 の1
．5
倍 に相当 す るので ， 混 合The Japanese Association of Management Accounting
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売上高差異を数理 的 に 二分す る方 法
差異を 別扱いす る理由が 見 いだせ ず， この分析 値は決 して容 認で きない ．
以 上 を ま と める と， 三 分法は， 数 学 的論理は 明確で ある もの の ，
2
つ の 要 因に よ る売上高差 異 を3
つ の差 異 に分 解 して い る た め差異分析の本 来の 目 的 に応 えて お らず， また混合 差 異はつねに僅少とは 限 らない の で ， 混合差 異に積極的 な意味を持たせ て 別管理する よ うな特殊 な場 合 を除き，経営 管理 上 の有 用 性は極め て低い と言 える ．
3
．2
二 分 法二 分法は最 も広 く使わ れてお り， 売上高差 異 は一般 に次の ように2つ の 差 異に 分 け ら れ る． 客単 価差異 ＝（
fla
−fls
）f2a （4） 客数 差異 ＝fls
俛a一也s） （
5
）
fla
客 単
fis
価
0
客 単価 差 異 一一一一■闘一一一
↑｝一一一一1−一一
：
1
客数 差 異
1
1
麁s
f2a
客 数 図
2
二 分法最 初 に， 製 造 原 価計算に お ける 二分法の論 拠につ い て再検 討 し よ う．二 分 法で は通常 ，混合 差異 を価格差 異に含め る が ， その理 由を多 くの 論 者は管理 可能性 と原価 責 任に求めてい る．例 えば， 岡本（1990）
p
．433
は， 「一般 的にい っ て ，価 格差異 は管理不 能な 企業外 部の要 因に よっ て 発 生 す る こ と が多い の にた い して ， 数 量差 異は管理 可 能 な企 業 内部の 要 因に よっ て発生 する こ と が多い ．し た がっ て原 価管理の見 地 か ら す れ ば， 原価 責任 を 問い うる数 量差 異の ほ うを む しろ厳 密に把 握 す る 必要が あ る．そこ で通 常 は， 混合差 異の部分 を， 価 格 差 異の なか に含め て計 算す るの で あ る．」 と述べ てい る． また， Drury （
1988
）p
．526 も同様の 観 点か ら， 混 合 差異は価格 差 異に含め るべ きだ と主張してい る（5）．こ こ で注目すべ きこ とは，「一般 的にい っ て」，「多い 」，
「通 常 は」， ”more ”，”rather ” とい っ た 用 語 が使われて い る ことか ら も分か る と お り， 二分 法は 恒 常 的 に 成 立 す るわ けで は ない とい うこ とで あ る．
し か しその点 を考慮して も， これ らの見 解は以下の理 由に より妥 当性 を欠い てい る と言える。 近 代 的企 業で は， 自動化や標準化が か な り進展 し， 管理の巧 拙に よ る数 量差 異は発生 しに く
くなっ て お り， む しろ購買 先や購買方 法の 見 直 し な どによ る原価 低 減， あるい は為 替 変動 対 策
が 重要 になっ て い る．つ ま り，管理 の可能性は 通常 ，他社 との 契 約 内容や 自社の管理能力な ど によ り定 まる 問 題で あ り， ま た，価 格 差 異が管理不 能な 企業外部の 要 因 によっ て発 生 するこ と が 多い か否かは ， 個 別の 企業に依存する こ とであ り，
一概 に 言える こ と で はない ． 外 部 要 因
と内部 要 因の重要 性 は つ ねに環境の 変 化や 経 営 目 標の 変更 か ら影 響を受けて変 化 して い る の で ， 混合差異を価 格差 異 に含める こ と がで き ない 場合 も多い ． 数量 差異のほ うを む し ろ厳 密
に把握 す る た め に混 合差 異 を価 格 差 異に含める と述べ て い る が， これ は錯 誤と言え よう．な ぜ なら ば， 混 合 差異を価格 差 異に含め て しまうと逆に， 数 量差異を厳 密に把握 する （細かな変化
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も見 落と さずに 把握す る）こ と が で き な く な る か らで あ る．ま た， 岡本 らの 論 拠が 正当な 場 合で も， 混合 差異を一方の 要因に含め る と実態か ら大 きく乖離 し，不都合が生 じる こ とがある． 次に， 販売 管理 ・マ ーケテ ィ ン グにお け る二分 法につ い て考え る． 売上高の 要因の ほと ん ど が
2
．1項で 例 示 した よう に 企 業外 部に属す た め， 岡本ら が述べ る ような論 拠その もの が存在 し ない こ と が多く， し た が っ て，混合 差 異を企 業 内部の要 因に含め ようが ない 場 合がある．ま た，本研 究の ご とく売上高が客 単価 と客 数の積で 定義され て い る場合は， 金額 要 因とし て の 客 単価 は あ る もの の価 格 要 因が存 在 しない た め， 上述の 論 拠を採 用 する こ とが で き ない ．すな わ ち， 差 異分 析を製造 原価 計 算以外に適 用 する場 合， 企 業 内部の 要 因や価 格 要 因が ない こ と もある た め， 二分 法は新た な論 拠を見い だ さ ない 限 りその よ うなモ デル には使 え ない の で ある． し か し
現 実には， 混 合 差異を 不用 意に一方の 要因 に含め て使わ れる こと が多く， 問 題で あろ う．
最 後に， 下表に 示 す 例 題 を 用 い て ， 分 析値の妥 当性につ い て考 察しよ う．
表
3
二 分 法に よる差 異 分析の例 予定客単 価
予定 客 数
予定 売上高
実際 客 単価
実 際 客数
実際 売上高
売上高 差異
客 単価 差 異
客 数 差 異 例 21
例
22
例
23
102015 101510 100300150
1535612305
1801
，
050
30
80
750
−
120
60450
− 45
20300
−
75
上 表の例 21 で は ， 売上高差 異
80
が客単価 差 異に60
， 客 数差異に20
配 分 さ れて お り， 妥 当 な ように思える， とこ ろ が例 22 で は， 客単価が 20 か ら35 に 75％ 増 加 し， 客 数が 15 か ら30に
100
％ 増 加 し て い る の に， 客 単価 差 異が450
（60
％）， 客 数差 異が300
（40
％〉 と分 析されて お り， 売上高 差 異 を発 生させ た原因で ある各要 因の貢 献度 と，各要 因に帰属 する差 異 と が逆 転状 態に なっ てい る．ま た， 例23
におい て も， 客 単価が15
か ら6
に60
％ 減 少 し， 客 数が10
か ら5
に 50％ 減 少 して い るの に対 し， 客単 価差異が 一
45
，客 数差 異が一75
と なっ てお り， やは り逆 転 状 態が 生 じ て い る． もしも差異分析が 総 差 異 （売上高 差 異 ）を各要因に その 貢献 度に応 じ て 配 分する道具で ある な ら ば， この ような 逆転状 態は発生 して は な ら ない ．し か し， 実 際に は逆 転 状態が 生 じて お り， その 原 因 は 混 合 差 異 を一方の 要 因に帰 属さ せ たこ と に あ る．以 上の考 察を まとめ ると以 下の と お りで ある．二分 法は， 売上高差 異 を 客単価 差異と客 数差 異とに二 分 して お り， 各要 因が定義域内で増 加 して も減 少 して も適用で きるの で形式的に は適 合 してい る．し か し， 混 合 差 異 を一方の 要 因に帰 属さ せる論 拠が薄 弱で あ る ため， 論 理性に欠 けてお り， 各 要 因の貢 献度 と売上高 差 異の配 分 結果の 間 に逆 転 状 態が 生 じ るこ ともあ るの で ，
経営管理 上の有 用性はない ．
3
．3Vance
の方法
Vance
，L
．L
，が， 直接材 料 費の差 異分析に関 して，実 際価 格か ら標準 価格を引 きそれ に標準 数量 を掛け た値 と， 実 際 数量か ら標 準 数 量 を引きそ れ に標 準価 格を掛け た値の割 合で ， 混 合差 異
を配 分 する方 法を提 案 して い る（6） （片 岡（
