戸瀬信之

(1)

‐○

三

oO 卜。− （彦イト」 1J Fノriw ･ごﾐ、−，皇 ‑lj←il ⑱一4'J へ一一 <i判一一一

ｒｐＰｏ手

Ｏイ ︑ 毎﹀〒下

○ 凶Ｆい河夕ﾏ+ Ｉし且排嶽へ一Ｊ智一夕︶﹃勢鳶

〃

〆料多計ター妙Ｆ編長一砂

(2)

’

蝋罰

第06講義一直交行列

厚

F

戸瀬信之

ITOSEPROJECT

経済数学， 2019年05月21BatHC

言:

1

戸瀬信之(ITOSEPRO｣ECT) ^{第06講義一直交行列} ／7

(3)

ｅ回嶺﹁季︽一

⑥

ｄ戸の Ⅱ ハイヲー騎行

︑ 牌 Ⅲ Ｈ牌 ︑ ／︲シｏ一 Ⅲ Ｏ Ⅱ ︲釘 ︑ ｉＪ︲師のＣ〃ａ Ⅲ 劃

︵︵臥川訓飢鋤︶〃︿の ︑ ｄ９ｅ〃︶Ｍ介勺へ臼︶

ｒじゆ印切一Ｆのｅ１ − ｆ一

Ｊ Ⅱ 戸 ① Ⅱ アー ⑦

ｊい﹃戸のｏしぴのすつ印戸 ⑦ Ⅱ 戸妙アＧ Ⅱ 向い

。」ミ

ハｆい ⑦ ｌぃ夛 ⑦

詞や ^″ 脚？のｐｂＪの

︶力

Ｊ

⑦ ぐへ河 ① 創︶川戸副副︶

︵曲創仲員Ｊ

かア

ー〃一Ｆの／ ↑ １ −

0 〃 ll ハ刈一劇︶

戸﹄Ｕゾユ

︲刺引刻Ｉ到剖ぐしいワバノ〃ｎｊｖい的

ハＱ則Ｏ鋤︶

ll ︵剥詞︶

︵鋤創

へ一弓↓

で

『けｅ Ⅱ

沙哩

￨ノ Q

(4)

号畠

I g當 iH M IM： Hf

洲内積を保つ行列

・2次正方行列

（）＝(＆句

P二＝

・Pは内積を保つ

ロー一

PE,PD)=("'") ("'"ER2)

この条件は

一一一一一一一一一一一一一一一

一

と必要十分である。

Ｇ２

７

ＱＪノ

句

ー＝

日百t

奇

済数学， 2019年05月21日君tHC

戸瀬信之(ITOSEPRO｣ECT) 第06講義‑直交行列経

(5)

’

準備

。すべてのベクトルに直交するベクトルは衣el#

くずへa@go、

（a,")=0(EER")骨互＝面

〜一身

。AwB× 行列とすると更＝aとnllallz=｡

L《

﹁

○

一一

/一二>萱

︑ ノれヤ

廊叱亀

﹁

○ ・

二

◆︒

︒︐ 二画︾

釦一一十

↓ Ｑ

一旨

﹁則二

○

︑

．ｂ

○

︑

．

○ ィ

︒

︑

・ｂ

ｅ

﹄１０︑

・

↓ 鉈

﹃

・

↑ １

瓦

⑤

Ｉ

！し

う一一

↓ ０瓦限

；岡

一一一

↓ 鉈侭

Ａ

二

今

−−、 ←=） ○

oII=

‑‑．十○･0､4 ^一^一

日冨tHと'QG'³

／7

経済数学, 2019年05月21＝

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) ^{第06講義‑直交行列}

(6)

’

必要十分であるのは

●

（飼卵＝(毎､切骨(tPPE,")=(",")

e(tPP毎一毎,")=0

t> ((tPP‑z2)",")=0

これが任意のグER2で成立するから

侭竜

丁

(tPP‑IZ)Z=G

これが任意の露ER2で成立するから

tPP=Ig

●

経済数学， 2019年05月 ^IQO'⁴

／7

一一

日もt HC

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) ^{第06講義一直交行列} 21

(7)

tPP= Lについて

Aニレ､ﾍ '両侭bし一>七fv《編､側･§

七A八ニレY,東圧縮3!l .

｡P=(丘石)がtPP=Z2を満たすとき

）

（房)(厨石)＝

・これから"=Im,"

■■■■■■■■

→→

(6,b) 認鯛

七七

﹁Ｑ

﹁ α

↓ α へｅ

Ｃ

（

七

一一

BI|2=1, (a,5)

→

l lal

l2＝￨｜

と必要十分である。

ﾆーニ

ヨe

−

之

専ｚ尋

２９１ＩＱ

２ｑ

ｊ

↓ Ｌｆ

ｌ

印

qll_印2

う

'"v",§

(ぞ急)＝（

↑

1 w,病理({

）

１１

／

経済数学, 2019年05月21日員tH6'Qo^＝

／7

5

戸瀬信之(ITosE.PRo｣EcT) ^第0⁶ ^{講義一直交行列}

(8)

’ ’

l lall2=|IB||2=',(a,g)=o

｡a=(:鰯）

^とすると

）（

に ○〆鶚:⑧）

→

b=二

）はﾂｰ伽:"に関する折りm

sin8

‑cose

（

●P==

;t !̲I(aQG

夢

6

／7

Ⅱ■■■

経済数學, 201ず年05月21日戸瀬信之(ITOSEPROJECT) ^{第06講義一直交行列}

(9)

’ ^I ’

まとめ

。次の同値な条件を満たすときP=(瓦石)を直交行列という

兎薑匙 (PE,PD)=(",D) (","ER2)、

＆

<三こり _！

２経

− ６１

一一

八Ｒｌｖｌ毎

改一善

込議

妬

Ｔ第

一

Ｘ﹄

Ａ

ヨＸ

\, 201j年05月21日言tH6cKG⁷

／7 済数

、ヨ証●

目迎E

■■■

(10)

I

認識,蕊織…葱塗灘癖認閻瀧識鷺蕊鯉鑑…

謬卦酌ま＠…､… 「峰京；轌認エ註V司嘩郵角匁麺邑誼畢鞆

一

2次の行列式

P

−岸一 −−ｰ

NobuyukiTOSE

MSF2019LO5,May10, 2019

鄙 ^一^一^一^一^﹇ ^一^一^一^一^︷､OQO'

ロ ^＝

2次の行列式

NobuyukiTOSE 1／14

(11)

之 ○ ずこく匡蚕引 ○ い ︑ 露出価

・一一三

山、いｰ

ひ骨

ごい |’ 聖ＧいＩ呰亘吋斎ｓ動翌挑

L

Q

ﾌ/千

副

垂弛

一一

匡琴

■ ＠勘 tO禅 MIIJ CョC当 iOB

III

、

IIMI ６匁？

い ︑ ﹄や

(12)

’ ’

列の基本性質

罰(二). 石(屋)､ (二）

^eik^匹

に対して

I (2重線型性一各列に関して線型）

ア

︑

↓ ａ

↓ Ｃ

●

→ →

￨ヨ ^●

II (交代性）

→

￨ｦしﾀl

lと￨＝

→

‑￨b 31

ニニニ

111 (正規性）

０１１

０ ^三＝＝ ¹

鄙 ^一^一^一^﹁﹇

一一一一

一､")QO'

ロ ^＝1二三皇

NobuyUkiTOSE 2次の行列式 3／14

(13)

基本性質(￨)の証明について

(P( ‑‑･ P̲)

XI

q

：

l l

、'−−> ↑ ，い‑。

^P,.>(､、

〆 ll(､､ノ ^、

補題写像

戸: K;→Ⅸ (二）岸>pxI+9堅〆2

は

→ →

戸(入5+/jb)=入･F(5)+"･F(b)

を満たす．

、ノ

C､ql…

^{×q込十」上62‐}

、

(:L) s‑(:L)

一一

﹃仏 ^−奇 ^一、

>､o､寺ノメ名 ^一^一

／

ｊ

８一三Ｆ１

里一二三

﹇

ｌ十

Ｌａ

Ｆ一三

二入

旬

ＪＱ

でも

り耐ロ

仏

︵で_ｌ

Ｇ

？

入１

Ｍ

十歩

十

︑ｊ山

武

：Ｇいや

ｌ

ｑＱ

入ｐ

︲

〆息

ｐ〜入

一一一

ｊ一

↓ も坐

国ヤ

ｒ入

ＦＬ

､OQO'

2次の行列式 4／14 NobuyukiTOSE

(14)

~n ｣p

『夕､夕一一ハ Pニハド一ン斗今﹂し劒丁

制︵ン馳十レシ側ゾ

ﾉP

↓

ｊＪ

− 副シーハＹ斗ツレ ︑ ︑

ｊ

︵ン御ィＹｒ

↓

宗一〆︵小一︶

、一 II ソン Ⅱ ソ卯︵抑︶＋した

Ｉ式脾い湯一斗

一蝕鋤一ハード一ｄの一

初句ゴー湧打ａ︶

一 II ア

I 工

一 Pj 一四〆狐一Ｆ〃^一

小少卿︵の︶

一ィしし

I ＋︵︽ ↑ ︶Ｕ︵い

一 rT １〃１ンＰｃ

のＰ︶︾一十ｐ一ユド

一

(15)

’

＝岳淘綴…鑛主堤襲馴

電・毎当牽二4 ……淫し犀R,訂＝、

基本性質から導かれる性質

［

^ll' ^￨5 ^ｺ￨=0 ^、^ノ

(￨￨）から￨ヨヨ｜

ドース

￨ヨヨ

二二二一

〆、

Iv l3 bl=￨5 入目+bl , ￨3 bl=￨3+入b bl

、ノ

一率一Ｍ

︑

↓ 入

＋ｂ

↓

︑ａ入

↓

ａ bl=%0+|3 bl=|3 bl

一一一一

﹁

一一一

一一一一

︷､")QO' 鄙

ロ

NobUyukiTOSE 2次の行列式 5／14

(16)

’

ベクトルと行列の転置(1)

〆 ^、

ベクトルの転置

(二）

t ^三＝＝ ^（ ^a,a2), ^t

い型)=(二）

、＝う崎ノ

Kgr

→

(転置の^線型」^性5,bE）

に対して⑤＝

^‑t

（

^AQ,十癖f'I入Q2キノーヘe 入Ql十匁61入Q2十̲jACし）

二＞

+"5)‑'F3+MB=K,Wk（616匹）

槌(洞十"5)‑AF颪+側石＝ﾊﾟ(:Lwゞ伽

, b=(blb2)E(K2)*に対しても

行ベクトルa (ala2), b=(b,

七いa+/jb)

二二二

2二艮壼̲晴ペラトL一

。}全伴

ｐ

ｔｂ

＋〃

ｔａ

刃

︑ 八一平

｜

→鈴一

一

﹇三

Ｆ旨

一一一一﹃一

一

罰一 OQO'

NQbuyukiTOSE 2次の行列式 6／14

(17)

）H

蚤

剛

ベクトルと行列の転置(2)

鴨畷

r行列の転置2次正方行列

^、

ｊ

２Ｉ１１ｊノ

ａ

ｌ２

ｔ

ａａｌ

／１

− １

︑ ａ

ｔｆｌ︑

ｊ

↓ 釦

Ｉ１１ノノ

↓ ａｌ

↓ ａ

ｌ２

ｉＩ

ｔｔ

１

２２

︑ ＩＩＪノ

ー２１２ａａ２

ａ

２

ａｌ１

１２１２ａａｌｌ

／１１１

︑ａａ

／ｊ１１

︑

Ａ

ｔＡ

に対して

、ノ

一一﹇

一一一一

鄙一､")QO'

ロ

2次の行列式

NobuyukiTOSE 7／14

(18)

1

転置行列の行列式

〆、

2次正方行列A‑IM)‑(::)に対し℃

￨tA￨=￨A￨､蔓￨M', ' ｡" :｡''￨:J

、 _ノ

成分では

a b c d

a C

ﾆニニ

b'd

一一一一

一一一一一一

鄙一､OQG'

□

2次の行列式

NobuyukiTOSE 8／14

(19)

’ ’

1，J

行の基本性質(1)

_關

〆、

I (2重線型性一行に関して線型）

、 _ノ

G: (K2)*今K (×y)Hpx+qy

が

G(入a+"b)=入G(a)+"G("b)

を満たすことから示されます．または

ﾊﾟ主"bl‑'EGaナ空』｡cl=￨

_い

〉､tQ!ヤノムヒlb

)Ita+/,tbcl=),la[cl+"心［cl=RHs

＝入 I:(い刈監｜

口鄙尋三三、OQ(､OQO'

NobuyUkiTOSE 2次の行列式 9／ ¹⁴

(20)

＝ヨ

ー鎚包隷包や _,L君主 _劇錨』 _錨延 _圃毫鯉や; 閂

甲

■ ｆＬ

識

行の基本性質(2)

^王

〆、

= :

1I (交代性）

、

直接示すのが簡単ですが，将来一般的な場合を考えることを考慮して

︲

ａ０

Ｉ

Ｄ ^二二二

鄙 ^一^一^一 ^一^宗^一^一^一､OQG'

10／14

ロ ^一^毒

NobuyukiTOSE ’ ^{2次の行列式}

(21)

｜

；

篭

行の性質(1)

｜咀琴

〆、

a

＝0

a

ll'

、ノ」

基本性質II (交代性）を用いて

ａ

ａａ

ﾆニニーａから分かります．

壷一

︷

一一一一

園一､")QO'

11／14

ロ ^U

NobuyukiTOSE 2次の行列式

(22)

｜

P

行の性質2 （）

卿

〆 _、

'' ￨:￨‑￨A｡3J ￨:￨‑￨｡毛へ1

［ _ノ

基本性質lとII (交代性）を用いて

』異｡〒一ﾙ,+:‑:

2焔I了｡,詮昂画 C兎

鄙 ^一^一^一^﹁ ^一^一^一^一^一のQG'

12／14

■ ^二^一詞

I NobuyukiTOSE ^{2次の行列式}

(23)

’ _Ⅱ

『

行列の積の行列式(1)

^園

〆 _、

VX,YEM2(K)に対して ×､(e (vI2qに）

￨XY￨=￨Xl･￨Y￨

、ノ

）

ql 92

１２ｐｐ

→

x=(3b), Y=(戸可） ^二二二

とすると

→

q'3+q2b)

XY ^ﾆーニ

鄙 ^一^一 ^一^一^一^一 ^一^一^一^一一､OQO'

13／14

ロ

NobuyukiTOSE 2次の行列式

(24)

Ｚ ︒ ごこぐ匡蚕司 ○ い ︑ ︑ 画 ① ︑ い図画十・号←

｜ × ざ Ⅱ|’|’|’|’|’ ｂ得・い

︑ ﹄｜皿Ｑ﹈叫十・上 ① ｂぃ酎曾皿十ｓひ

←

← ←

雪叫Ｓｃ＋ｂいＧＳｕ

℃ 号冨一十 ℃ 昌一諭一｜←

叫び

厩

︵ｂ﹄・画１ ℃ い心﹄︶

一一二

一一くー｜←

ｕひ

剛斎ｓ餉望乳１ ℃ い＠骨

一 × ー宮

←

叫び

|’ ‑＜ □ ＞く謡

壱三唾雪

埠謨垂

副 1] IHI 1llll Ａ︶ぬつ ︑

岸や ︑ ﹄や

判琶

(25)

一雲・一〆丁口やＴ −

ｌｌＪ − アー Ⅱ 師 ︒

削幅奄三ら之０便巨尽匡蚕﹃ ○ い ︑

↑

諺Ｐｅ〆一

､アワＦ閉包二

四大アメ伽メア〃Ｈ

、｡ (−

一一

一ア珂二〃 ︒ で丁一

ア万一 Ⅱ ＨＰ

享二註一 ︑ １１１︾手一ｈ打賑０

三一 Ⅲ 計一

句一〆 P ︽樟鴬ｓ輸聖蝶

H･ ■ 一ア一ｈ打 ○

雰丁ｏ Ⅱ Ｊ山の刎价妙

アリ仙叫

一炉 − ４Ｇ

℃ ﹁一 Ⅱ ﹂︽罫

一アー

画 ^庁■^同日^印画 II1 lllll ６匁？

﹄画 ︑ ﹄や

、ノ

(26)

’

』

2次の実対称行列の対角化

戸瀬信之

ITOSEPROJECT

2019年05月atemath.HC

2019年05月aten'ath・HC 1/

13

Ｔ﹄戸瀬信之(ITOSEPRPJECT) 2次の実対称行列の対角化

(27)

■ｈＩＩＩ

’

2次実対称行列の固有方程式、

@A‑Cこう=侭

｡，次正方行列A= の固有多項ゞ

ハエ隆一 ≦(夢)‑(均

①A('l) = ￨"2‑A￨

＝（菅ご動

＝に" 】さ￨‑い…,̲＆

＝入2−(α＋6)九十αb−C2

＝い‑")い‑い＝入延‑怖い沖〆f

･2次方程式①A(l)=0の判別式(discriminant)

ｏ

○

一一一一

込ｃ

ハリ

＆

ゐゞ

｜ゞ

鄙圭

ｊ２

鴎

〃

つ

くα

一一

：

一一

２ｊ

︑ ｉ

ｃ

今

脇

〃

︒

α

一一

４

Ｉ

１

ｐｔ１争今

ｂｊ

＋

丙

〜

α

と

Ｉ

一限

診ｏ

︐ ｅ

凡

も

Ｒ

？

2019年05月ateInath・HC ^■

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) 2次の実対称行列の対角化唾

(28)

匙ー一

L石

）僻， ,，

2

M W

Z次実対称行列の固有方程式(NQ

。定理2次実対称行列の固有値は実数である。

・注意D=0のとき

A､:S)

＝（:こ）

α=6, c=0従ってA="12 =｡C1)

。以下D>0とする。①A(ﾉl)=0の2解をαとβとして

α≠β

④このとき

叩＝a6‑c2=det(A)

↑

〜繩蚤ひに

α＋β＝α＋6，

2()19年05月atemath.HC

｜："戸瀬信之(ITOSEPROJEcT) 2次の実対称行列の対角化、

(29)

’ ’

α≠βのときの固有ベクトル（準備）

このとき笈ブER2に対して

定理BEM2(R)とする。

●

戯画

(五'即）

（ ^{ﾛ■■■■}^{■■■■■}

(証明）

●

(x,ZI+x2Z2,J)=x,(",,Z)+x2(Z2,Z)

雄十旗､z￨"l‑1z'"

(B五功 ^{■I■■■■}^{■■■■■}

■■■■■

019年05月ateInath・HC ■

2 理

戸瀬信之(ITosEPROJEcT) ^{2次の実対称行}^{列の対角化}

(30)

Ｉ｜川

⑩≠βのときの固有ベクトル ^鯉^盤

2二2

吠報A二亀弓丁筑､

αが,、Aあ＝βが2ならば

定理

●

ｊ

︵ｐ

卜皿

︽ｒ

Ａく

魚

︲し二

七

︑ ノ

︑ ｌノ

自

Ａ

沈

Ａ

刈叶帆

︺

｜

必一一伽

価

(証明） rA=Aだから

●

(Aハあ)=(αが,,")=o'(ハあ）

（仇Aa2)=(ハ〃2)="(ハあ）

α(汎あ)＝β(ハ沈)→(ハあ)＝0

2019年05月atexnath・HC

､一戸瀬信之§(ITOsElPRoJECT) 2次の実対称行列の対角化厚

(31)

ｎコ

Ｉ溌

季川

崎アダ︶

〆

弓訓２芸ｒ酬計享一

ンＩ −

ｌ︲︲ｌ︲

１シ叙イュ︶ ⑩

ｇうみ当︲一ｒ弱 ⑪

︵一︶ Ⅱ ︵抑下り ︒︶

ン〃︵

β ゾ ⑰ 官職︲シ︶︵ど

参︵︽︶ ″ か

︽や Ⅱ ︾︺戸ＩＰ︾ Ⅱ １０

ａうノー茸〃 ↑ ｆ

③ Ｇ

^晶 ^︶ ^Ⅱ ^︵ ^ぜ ^︶ ^側 ^辛

Ｃし︲ｒ︵半︶

︵やし﹄己 Ⅱ ︲一・Ｐ ︐ 勺︿三・一Ｉ ︒ 一一〃二 Ⅱ 一

子斗脂半 ︑ ｊレア朴一

︵し列川朴︵︶

企ざ一塁身夛ｌ

^へ

|I

一紗對罫一

〃￨IヅＨドーア

ll の御＃ア︶Ｊ︶ Ⅱ 地介ツ

ｐ︲呵︶ＣＩＰ︶ｌギ

アタ一切罰み﹀

ソドーコンイヶ

︵ンＩか︶︹ン − − ﹂ ︑ 牌一

︵恥ａ︾一

へ〆いイｃ︶

○ ￨ノ oJ凡叩 ○ ︶ ⑰ ︵し門︾一、

︑ ︵呵叩︶

＝夏弓ノー一￨イー

元ノア

．言

合うＪ

︵鍬︶川 Ⅱ ０

︶

８０︵Ｊ_︾ _︶ _ｎ帳〃

Ｆｒ一宇シ川一 ︑ の

ll

︵創副︶

(32)

I ︵ア︵︽︶︾︵釧一︶

季〃︵呵咋︶

’

アア〃︵諺詞一アラや︶

ｊ

︵ ↑ 誤︶

Ⅱ 力〆 Ⅱ １札︵坐︶カリ軸︵し惇皿 ↓ ︶

少 11 II /クニ、ｈぃ可〆ｒ今小淵︲︾イド︾ｆ

︵刀毎列︶１︵刻

刃上アアリ

ｊ

ア＠細洗うｊ伊画一一

f，s1 7つr 十今︵︽︶〃ア

ア︵︽

準︵一

︵硬︽︶

ｊ〆︶︵〆永︶︵臼掴深︽州し三．

﹀御謬寓ヨシ両︲

針か一︶綜仁

、̲ノ Ⅱ ︐ 忍︵ごｒ十日ご︶十︾︵Ｆ君ィＰ︾︶

3

､̲〆 ll ll ￨I へ

獺壼

十一＋＋ "、r』，ざ

説員己

II [″Y Ｊ_ｊ

ゴ斗〆づ凸︲Ｉ１

’

(33)

’

一

1

幻 ① 一 II

︵ア︵ｖ︾︶︾

子ア一

桑｜

､̲ノ

易ｇ棚野

’戸 ↓

￨幻

吋又叶脚寸令糠唾寸脚︾科

、

可吋０

界 ll 一〜l111

ト

︵︵ − 永︶︵洲︶へ

雨リヶ

、

︵竜アア

一わ ↑ Ⅱ ︲慣Ｉ

V V 0 0 刃一︵尋︶ ︑ 刀一負︶︶

戸︵︾︶妙〃︶

ギ〃の V b ｍＭｗ牌︲イの ︑ きくや︲

罰又昨〆イヂメ ︐ ︾十〆︾Ｈ︲

’

(34)

’

実対称行列は回転行列で対角化可能

。 AE,=αハAあ＝〃2,屍≠肺=1,2)とする。

盛= 汎壺=向沈、少忍鯰）

とすると

で

(a,,"2)=0, ￨￨グ,￨￨=lla211=1

．価=(淵とすると≦ ノ豆二颪 ①≦ 刑,"適ミ宜=苓哩≦ ( 幾）

（ ±

亜＝ ^たは

(皇漂〃）

^一一_{I､I Y､延)}

雪

爪､鴎

ヘ

ト1 ＝・

ノ

一

2019年05月aternath.HC ■

L 、戸瀬信専…(ITOsEPROJEcT) 2次の実対称行列の対角化昭

(35)

｜

実対称行列は回転行列で対角化可能(No2)

（グ'亜)または(騎一壷)は回転行列である。

定理2次対称行列Aは回転行列で対角化可能である。すなわち、

回転行列Rが存在して T

&Q(1

AR=R(g:1‐頂昌'侭R≦(窯〕

(ARAFI)

二（〆肩や冠）

＝（忌勵("=R(3;)

●

2019年05月atemath.HC 2次の実対称行列の対角化

■

戸瀬信之(Ifr･SEPROJECT) 咽

(36)

’

畷．＝

2次形式の標準形 iJ1D

＝＝＝＝

、

(: ;)が定める2次形ゞ (A(#l｡Cll‑":+2"+

・2次正方行列A ^{■■■■■}^{■■■■■}

by2

eR‑1が回転行列で、内積を保つから

(A(;)｡(;l) = (R‑lA(;)｡R‑'(;l)

､"J ￨;),f

^1Ix^y

)）

l(

丁込

2019年05月atenlath・HC ■

I 戸瀬信之(ITOSEPROJECT) 2次の実対称行列の対角化盤

(37)

蔭君寺寡

群厚態潔蕊鱸蕊̲̲警蜜鐵辱鱗鰔繍議譲議慰

M

(No.2) 認

制 Z次形式の標準形

回転座標変換

●

(:1=R‑'C) ゴなわ＠ (:1=""

=R(R)

(､;l｡C)1 = 1(g:)(;)"(;ll

＝α誉2＋β〃2

●

2019年05月atemath.HC

戸瀬信之 (ITOSEPROJECT) 2次の実対称行列の対角化糊

(38)

’

肥

2次形式の正値性 FA7

A= (:=)

(m̲)Q,>bノ (A{ア○

2次形式の正値性（負値性）

回

い）

(AW)>0(ラ≠i)@(諺β>0

●

（城内く0(ず≠⑰｡c詮,β〈0

正値性について(‑)R=(滴る)戊言‑ 一二!＆､<o/ IAI湯。

Ⅱ丙II=IIEI(=￨

恥§ 。<(A埼殉)=(α門,f,)=Qf ･ IIFt,ll2=of>0

通主。

○<(AZz,")=(βろ,jtz)="･ lljizll2=">0

●

(I)=>G)oIQ

2019年05月ateInath.HC 10/

戸瀬冨信之(ITOSEPROJECT) 2次の実対称行列の対角化 13

(39)

’

2次形式の正値性(No2)

R(:D=(や

;≠化(;)≠芯に注意｡…

^{Ⅱ（§、￨,＝} _I

I･ノノ、 "/

II(i)II

正値性について

●

一一 I (1)II_］

(弧の＝α管2＋β〃2割

、〆‑,‑。

肯i亀｡｛,f>。

さらに

０

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↓

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〃夢一一ａとも

↓

０

一一

〃２

β

２十

管

ａ

●N.B｡A,B≧0のとき

A+B=0eA=B=0

2019年05月atemath.HC 11 ^ノ_ノ

戸瀬信之 (ITOSEPROJECT) ^{2次の実対}^{称行列の対角化} 13

(40)

○Ｖ︶ｉ″一所汕峪岬副ハ？ＨⅡご戸乢しゐ〃戸罪抑ＩｖＯ１穴副十Ｕ価介し伽〃戸昨Ｕ︵制

︶ハ○十Ｊ早︶Ｊ︑″︵韻ソ和Ⅱ切○州叩戸胸Ｕ副歩ＩＣ〃角１Ｊハパ

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〆ハル峠需ごＯＶ仁畦︵忌三レ

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⑦ ハミノ

篇ー／−−〆、ムーノ汁'−−渓詞唱ノーーノ例一例lJJ→ 望/Ill」一／一巡、戸へ門ぅってiry)Jご−J廷ノ僅十客＜＜田歴

〆〆、

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(41)

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(42)

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i硯1

Z次形式の正値性(No3)

^岡

正値性をAの係数で判定する

●

α,β＞0．α>0,det(A)=αb−c2>0 α,β＜0色α<0,det(A)="6‑c2>0 (注意）α＋ルーα＋βと叩＝a6‑c2

(注意）α,β＞0台α＋β＞0，叩＞0 (正値性）（。）

●

αb−c2=">0→α6>0

"+6=of+">0→α+6>0→α,6>0

2019年05月atexnath.HC 12／

戸瀬信之(ITOSEpRoJECT) 2次の実対称行列の対角化 13

(43)

’ ^君

mH

Z次形式の正値性(No4)

。（正値性） (倖）

αb−c2>0 ‑>

α＞0，αb＞0→

０

ン０

シ

刀

〃２

＋Ｃ

ａ一

一一肋

ン０

ＯｐＰｌ

−

励め

Ⅲ 叩

・注意det(A)=αb−c2<0のとき叩<0

2019年05月atemath.HC 13／

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) 2次の実対称行列の対角化 13

戸瀬信之

第06講義一直交行列

。すべてのベクトルに直交するベクトルは衣el#

﹁ 則 二

↓ ０ 瓦 限

（飼卵＝(毎､切骨(tPPE,")=(",")

これが任意のグER2で成立するから

侭竜

七A八ニ レY,東圧縮3!l .

l lall2=|IB||2=',(a,g)=o

。次の同値な条件を満たすときP=(瓦石)を直交行列という

2次の行列式

ﾌ/千

￨ｦしﾀl

戸: K;→Ⅸ (二） 岸>pxI+9堅〆2

でも

基本性質から導かれる性質

(￨ ￨）から￨ヨ ヨ｜

ベクトルと行列の転置(1)

, b=(blb2)E(K2)*に対しても

ベクトルと行列の転置(2)

2次正方行列A‑IM)‑(::)に対し℃

G: (K2)*今K (×y)Hpx+qy

行の基本性質(2)

行の性質(1)

行の性質2 （ ）

行列の積の行列式(1)

2次の実対称行列の対角化

2次実対称行列の固有方程式、

･2次方程式①A(l)=0の判別式(discriminant)

Z次実対称行列の固有方程式(NQ

叩＝a6‑c2=det(A)

このとき笈ブER2に対して

戯画

吠報A二亀弓丁筑､

刈叶 帆

子 斗 脂 半 ︑ ｊ レ ア 朴 一

獺壼

実対称行列は回転行列で対角化可能

。 AE,=αハAあ＝〃2,屍≠肺=1,2)とする。

(皇漂〃 ）

（グ'亜)または(騎一壷)は回転行列である。

AR=R(g:1‐頂昌'侭R≦(窯〕

(:1=R‑'C) ゴなわ＠ (:1=""

(AW)>0(ラ≠i)@(諺β>0

2次形式の正値性(No2)

⑦ ハ ミノ

Z次形式の正値性(No3)

Z次形式の正値性(No4)

﹁則二

↓ ０瓦限

七A八ニレY,東圧縮3!l .

戸: K;→Ⅸ (二）岸>pxI+9堅〆2

(￨￨）から￨ヨヨ｜

行の性質2 （）

刈叶帆

子斗脂半 ︑ ｊレア朴一

(皇漂〃）

⑦ ハミノ