2021 年第 2 回北大本番レベル模試
採点基準 数学（文系・理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】（150点満点）
第1問（40点満点）
（1）（配点8点）
\BC\ 10
より， b,c
で表して4点
答えに4点
（2）（配点8点）
与式の始点をAに統一して4点
答えに4点
（3）（配点24点）
MPBCより，垂直となる条件を内積を用いて示して4点
MP
を求めて4点
MP・BC 0＝ に代入して4点
tの値を求めて6点
AP:PDを求めて6点
第2問（40点満点）
（1）（配点12点）
t2の値を求めて3点
sin 2をtで表して3点
sin3 cos3を変形して3点
sin3 cos3をtで表して3点
（2）（配点28点）
tを合成し，tのとり得る値の範囲を示して6点
f( ) をtで表して2点
その式を微分し，増減表を示して6点
tの値を求めて3点。
tの値を正しく場合分けして3点
途中の計算と答えに8点
第3問（30点満点）
（1）（配点10点）
Xの正の約数の個数が2個となる場合の考察に5点
答えに5点
（2）（配点20点）
Xの正の約数の個数が4個となる場合の考察に8点
場合分けをし，それぞれの場合の数を求めて8点
答えに4点
第4問（40点満点）
（1）（配点10点)
文字を用いて 1
1f t dt( ) a
と置いて2点 aの値を求めて6点
答えに2点
（2）（配点10点）
Cの方程式を
k
について整理して3点 整理した式がkについての恒等式になるための条件を考察して3点
答えに4点
（3）（配点20）
頂点Pの座標を求めて5点
中点Mのx座標X，y座標Yをそれぞれ求めて4点（各2点）
kを消去し，XとYの方程式を示して6点
答えに5点
【理系】（150点満点）
第1問（30点満点）
（1）（配点6点）
途中の計算と答えに6点
（2）（配点12点）
MPBCより，垂直となる条件を内積を用いて示して3点
MP
を求めて3点
MP・BC 0＝ に代入して3点
答えに3点
（3）（配点12点）
角の二等分線の性質を利用し，t s: を求めて3点
s，tの値を求めて3点
\AP\2
の値を求めて3点
答えに3点
第2問（30点満点）
（1）（配点6点）
S p q( n )をp，qを用いて表して2点
S p( n)，S q( )をp，qを用いて表して2点
正しく証明して2点
（2）（配点6点）
(1)より，S(2 (2n n11))S(2 ) (2n S n11)であることを示して2点
S(2 )n ,S(2n11)をそれぞれを求めて2点
正しく証明して2点
（3）（配点6点）
背理法を用いて証明の方針を立てて2点
正しく証明して4点
（4）（配点12点）
正の約数の個数が14個である完全数を求めて2点
Np q6 が完全数であるときの条件を考察して4点
1qが2p6の倍数であることを示して2点
l，qの値を求めて2点
正しく証明できて2点
第3問（30点満点）
（1）（配点10点）
与式を変形して2点
の値を求めて3点
与式が虚数解をもつような条件を判別式を用いて考察して2点
tのとり得る値の範囲を求めて3点
（2）（配点20点）
, を求めて2点
正しく証明して3点
三角形ABCの面積S t( )を立式して3点
S t( )を微分し，増減表を示して9点
答えに3点
第4問（30点満点）
（1）（配点6点）
n+1回の試行後にPが点Aにある場合を考察して2点
答えに4点（各2点）
（2）（配点6点）
全事象の確率を考慮し，an1cn1の値を求めて4点
正しく証明して2点
（3）（配点8点）
(1)より，An1を求めて4点
同様に考察して，Bn1を求めて2点
An1をBnを用いて表して2点
（4）（配点10点）
1
n 4
a となるようなnの条件を考察して2点
An,Bnの一般項についての考察と答えに6点
第5問（30点満点）
（1）（配点7点）
g x( )xlog 2xとおき，微分して2点
g x( )の増減を求めて2点
正しく証明して3点
（2）（配点8点）
f x( )を微分して2点
f x( )が単調増加関数であることを示して2点
正しく証明して4点
（3）（配点15点）
題意を図示できて2点
TSを立式して4点
2 2
0alog(x a dx)
を部分積分を用いて計算して4点 2 2
0
a dx
x a dx
を置換積分を用いて計算して2点 答えに3点
