有限差分法による 時間発展問題の解法 - 北海道大学

有限差分法による

時間発展問題の解法の基礎

地球流体力学研究室 川畑 拓也

目次

1.

目的

2.

関数の離散化

3.

差分近似と有限差分 法

4.

移流方程式の有限差 分解法

5.

数値計算において重 要な事柄

6.

打切り誤差

7.

適合性

8.

収束性

9.

安定性

10.

丸め誤差

11.

まとめ

12.

今後の方針

13.

参考文献

1. 目的

•

金星の雲対流は地球の雲対流とはかなり異な

•

るようだ金星の雲対流を数値シミュレーションにより 解明したい

• Mesinger & Arakawa (1976)

に沿って

–

数値計算で用いる代表的な手法 の一つである有限 差分法を理解する

–

差分化・数値計算に伴う問題の概要を知る

2. 関数の離散化

•

簡単のため、独立変数 ｘ の関数 を考える

– x

軸上のとびとびの点で

u(x)

を表わし、微分 を差分で近似して数値計算する

•

分割した点のことを格子点と呼ぶ

–

ある区間を

j

分割して

u

_j

 u ( j  x )

) ( x u u 

0 1 2 3 ・・・ j-1 j

Δx

u u ( j x )

x

j

 



^{: 差分間隔}

x u_j

3. 差分近似と有限差分法

•

差分近似

–

例えば を以下のように近 似

•

差分近似を元の方程式へ代入し、数値計 算する

) ( j x x u 





x u u

_{j j}



1



x u u

_{j j}





_1

x u u

_{j j}





_



2

1 1

前進差分近似 後退差分近似 中心差分近似

有限差分法

4. 移流方程式の有限差分解法

•

移流方程式

•

差分近似すると

–

式②は式①を差分化した式

–

　

– Δx

、

Δt

はそれぞれ

x

と

t

の差分間隔

 0



 





x c u t

u

_：

) , ( x t u

u 

_,

c  0

^{( 定数 )}

.

1

0

1

 

 





_



x u c u

t u

u

ⁿ_j ⁿ_j ⁿ_j ⁿ_j

…①

…②

6

2 変数の差分化

F. Mesinger and A. Arakawa (1976)

) ,

( j x n t u

u

ⁿ_j

  

5. 数値計算において重要な事柄

•

打切り誤差

(truncation error)

–

差分化したときに生じる誤差

•

適合性

(consistency)

–

差分方程式が元の方程式に収束するか

•

収束性

(convergence)

–

差分解が解析解に収束するか

•

安定性

(stability)

–

差分解は有界か

•

丸め誤差

(round-off error)

6. 打切り誤差 (truncation error)

•

解析解の格子点での値を、差分方程式に 代入したときの残差

–

と を の周りでそれ ぞれ

Taylor

展開

•

式①の例

    



 





 



 

   



 

 

 





 

 

 

 

 





 







 



 



 





 

2 3

3 2

2 2 3

3 2

2

1 1

6 1 2

1 6

1 2

1 x

x x u

x c u

t t t u

t u

x u c u

t u u

x c u t

u

ⁿ_j ⁿ_j ⁿ_j ⁿ_j ^•• ^元の式 差分化した式

• 打切り誤差 (≡ε)

n

u

j

u

ⁿ_j1

 x ,  t

…③

7. 適合性 (consistency)

•

差分間隔 、 を十分小さくし たとき、近似された導関数が真の導関数 に収束する性質

•

式①での例

–

誤差は③式の右辺で表わされているので、

 x

t u t

u

u

ⁿ_j ⁿ_j ⁿ_j



 



1



のとき

0 ,  

 x t

x u x

u

u

ⁿ_j ⁿ_j ⁿ_j



 





_1

,

適合性がある

 t

.

8. 収束性 (convergence)

•

差分間隔を十分小さくすると、差分方程 式の解が元の方程式の解に収束する性質

–

適合性があるからといって収束性があるとは 限らない

•

式①での例

–

解：

–

収束性の必要条件

) (

) ,

( x t F x ct

u  

特性曲線　　　　　　　と依存領域xct  x₀

x t

c   

(http://www.ccsr.u-tokyo.ac.jp/~kimoto/fd_note.htm) (CFL 条件 )

9. 安定性 (stability)

•

厳密解が有界のとき、 と しても差分解が有界である性質

•

代表的な安定性の判定法

–

直接法

•

誤差あるいは数値解が有界であることを直接証明

–

エネルギー法

•

数値解のノルムが有界であることを証明

– Von Neumann

法

•

解をフーリエ級数に分解し、１つ１つの成分の安 定性を調べる





n

10. 丸め誤差 (round-off error)

•

打切り誤差を小さくするために差分間隔を小 さくとると、丸め誤差が顕著に表れてくる

–

を計算する際に桁落ちが生じる

–

桁落ちとは、ごく近い値同士の引き算によって 有効数字が減少してしまう現象

•

適切な差分間隔を見極める必要

–

問題によって誤差の発生は異なるので、その都 度実験して確かめるしかない

n j n

j

u

u 

_1

11. まとめ

•

有限差分法とは、偏微分方程式に現れる 微分を差分で置き換えて解く方法のこと

•

有限差分法では「打切り誤差」「適合 性」「収束性」「安定性」という概念が 重要

•

数値計算による丸め誤差の影響があるた め、近似を良くしようとむやみに差分間 隔を小さくしても精度は向上しない

12. 今後の方針

•

差分法を用いた雲対流モデル

(deepconv)

に金星の雲物理を組み込む

– Baker and Schubert (1998)

を再計算する

– Imamura and Hashimoto (2002)

をレビュー

し、

H2SO4

雲について学ぶ

•

金星探査機

Akatsuki

のデータとシミュ レーション結果との比較検討

13. 参考文献

• Mesinger, F., and A. Arakawa, 1976: Numerical Methods used in atmospheric models. GARP Publication Series, 17, 1, p1--8.

• Dule R. Durran, 1998 : Numerical Methods for Wave Equations in Geophysical Fluid Dynamics. Springer, p39--47.

• 河村 哲也 , 2006 : 数値計算入門 . サイエンス社 , 165 pp.

• 伊理 正夫 , 藤野 和建 , 1985 : 数値計算の常識 . 共立出版株式 会社 , p52--58.

• 木本 昌秀 : 地球流体力学における時間発展問題の解法 , http://www.ccsr.u-tokyo.ac.jp/~kimoto/fd_note.htm

• 清水 慎吾 , 佐野 哲也 , 内藤 大輔 : Von Neumann の解析 , http://www.rain.hyarc.nagoya-

u.ac.jp/laboratory/OB//shimizu/SUUTI/6.pdf

• 富阪 幸治 : 数値安定性 ,

http://th.nao.ac.jp/~tomisaka/Lecture_Notes/Simulation_Astrophy sics/simulation_041.pdf