重力，電磁気力，及びスカラー相互作用の ある系の安定性

重力，電磁気力，及びスカラー相互作用の ある系の安定性

山口大理  白石 清

☜目次☞

1. 場の量子論から

2. charged boson star (dilaton coupled) 3. 線形近似による臨界結合常数近傍の解

4. 臨界結合常数に近いcharged boson starの質量 5. まとめ

日本物理学会秋の分科会（佐賀大学）１９９６年１０月９日

１.

重力のもとでは，Jeans' instability のため，

物質系は不安定。

（ここでは簡単のため同一粒子系とします。）

➡

Jeans length 〜 ^kJ

– 1= 4πGρ

vs 2

– 12

もちろん，重力（＝引力）が効いているためで，

引力→０ にすれば       安定になる。（あたりまえか？）

同種電荷（ｅ）を持った質量ｍの粒子の系

電気的斥力と重力が相殺 if

 a critical relation holds between  Gm² and e² Gm² ＝ e²

粒子→scalar boson とします。

次のアクションから出発する。

S = d⁴x – g 16π 1

GR – F² – D_µϕ ² – m² ϕ ² – λ

2 ϕ ^{4 （＊）}

（D_µ = ∇µ + i e A_µ）

低エネルギー有効相互作用 

V(r)

      

➡   

^{~ – Gm}_r ²

      

➡    

~ e² r

      

➡    

^{~ λ}

m² δ(r)

（ 固い芯 ）

低エネルギーハミルトニアン

H = d³x ψ⁺( x)– ∇²

2m ψ( x)

+ 12 d³x d³x′ψ⁺( x)ψ( x)V(| x – x′|)ψ⁺( x′)ψ( x′)

これを量子化し，Bose 凝縮の議論から，

凝縮体の密度をρとすると

低い励起状態の波数--振動数関係は

ωk = k² 2m

k²

2m + 2ρv(k) v(k) はV(x)のFourier変換。

したがって，e² – Gm²が負のとき，

波数がある値より小さいと振動数は虚数となる。

・・・不安定性

その臨界値はGm² – e²

k²_I ≈ λ

m^{2 より}

k^{– 1}_I ≈ 1

m λ

Gm² – e²

（ρ^{によらない！）}

一方，（＊）から，

"Charged Boson Star" が古典的に構成される。

reviews:

Jetzer, Phys. Rep. 220 (1992) 163

Liddle & Madsen, J. Mod. Phys. D1 (1992) 101

Colpi, Shapiro & Wasserman, PRL 57 (1986) 2485 （電荷なし）

電荷が臨界関係に近いとき（e² ≈ Gm²） Charged Boson Starの半径は(Jetzer)

R≈O(1)× 1

m λ

Gm² – e²

前と比較するとき，臨界関係に近い（e² ≈ Gm²） ことがもちろん必要

・・・R→無限大，密度が一定に近づく 結局，nearly critical な場合が，

結局，nearly critical な場合が，

古典的取り扱いと（非相対論的）量子論が 古典的取り扱いと（非相対論的）量子論が

表と裏とであわさるところ。

表と裏とであわさるところ。

今日，これからの話は，

古典論，Charged Boson Star で near criticalな場合の

Ｒなどの物理量の振る舞いを analyticに検討する。

（即ち，near critical ではすべての 変数 が効くわけではない）

Jetzerさんの数値計算の結果と比べる。

ただし，これでは新しいことがないので（！？）

dilatonも結合させる。

2.

ここから出発： 

φ

^: dilaton

S = d⁴x – g

16π

[

_G

1

^{R – 2 ∇µφ 2 – e– 2aφF2}

– e^{– 2bφ} D_µϕ ² – m²e^{– 2cφ} ϕ ² – λ

2e^{– 2dφ} ϕ ⁴

]

（場の運動方程式は省略）

球対称解のかたち ds² = – 1 – ^{2GM (r)}_r e^{– 2δ(r)}dt² + 1 – ^{2GM (r)}_r

– 1

dr² + r²d²Ω₂ ϕ=ϕ (r) e^iωt, 

e A_µ= m A(r) –ω δ_µ0^, φ=φ (r) を仮定する。 

さらに q² = e² / Gm², Λ =λ / Gm² と定義 また mr→ r, GmM → M, Gϕ→ ϕ

と無次元化してやると

ϕ″ + 2r –δ′ + 2r M – rM′

r – 2M – 2bφ′ ϕ′

+ e^2δ 1 – 2Mr

A² – e– 2(c – b)φ – e– 2( d – b)φΛϕ² 1 1 – 2Mr

ϕ = 0

A″ + 2r +δ′ – 2aφ′ A′ – 1

2 q² e^{– 2(b –a)φ} 1 – 2Mr

ϕ²A = 0

φ ″ + 2r –δ′ + 2r M – rM′

r – 2M φ′ – a e^{2δ – 2aφ} 1 – 2Mr

A′² q²

+ b2 e^{– 2bφ} – e^2δ 1 – 2Mr

2 A²ϕ² + ϕ′²

+ c2 e^{– 2cφ} 1 1 – 2Mr

ϕ²

+ d2 e^{– 2dφ} 1 1 – 2Mr

Λ2 ϕ⁴ = 0

2

r² M′ = 1 – 2Mr φ′² + e^{2δ – 2aφ}A′² q²

+ 12 e^{– 2bφ} e^2δ 1 – 2Mr

A²ϕ² + 1 – 2Mr ϕ′²

+ 12 e^{– 2cφ}ϕ² + e^{– 2dφ}Λ 4 ϕ⁴

δ′ = – r φ′² + 1

2 e^{– 2bφ} e^2δ

1 – 2Mr

2A²ϕ² + ϕ′²

境界条件

ϕ′ (0) = 0, A′(0) = 0, φ′(0) = 0 M(0) = 0, δ(0) = 0, φ(0) = 0

ϕ (∞) = 0, A(∞) = const.

3. 簡単な場合として，Λ→∞^{の場合を考える。}

(Jetzer)

ϕ_* =ϕ Λ, r_* = r / Λ, M_* = M / Λ

ϕ*

2 = e^2δ+ 2(d – b)φ

1 – 2M_* r_*

A² – e– 2( c – d)φ

A″ + 2r_* +δ′ – 2aφ′ A′ – 1

2 q² e^{– 2(b –a)φ} 1 – 2M_*

r_*

ϕ*

2A = 0

φ ″ + 2r_* –δ′ + 2r_*

M_* – r_*M_*′

r_* – 2M_* φ′ – a e^{2δ– 2aφ} 1 – 2M_*

r_*

A′² q²

– b2

e^{2δ– 2bφ} 1 – 2M_*

r_*

2 A²ϕ_*² + c 2

e^{– 2cφ} 1 – 2M_*

r_*

ϕ_*²

+ d4

e^{– 2dφ} 1 – 2M_*

r_*

ϕ_*⁴ = 0

2

r_*² M_*′ = 1 – 2M_*

r_* φ′² + e^{2δ– 2aφ}A′² q² + 12

e^{2δ– 2bφ} 1 – 2M_*

r_*

A²ϕ_*² + 1

2 e^{– 2cφ}ϕ_*² + e^{– 2dφ}1 4ϕ_*⁴

δ′ = – r_* φ′² + 1 2

e^{2δ– 2bφ} 1 – 2M_*

r_*

2 A²ϕ_*²

注：b = c = d / 2 のときは，dilatonがdecoupleする ことがわかる。

結合常数が臨界条件に近いとき，

解析的にアプローチするには，

A₀^{が１に近いので}

A(r _*) = A₀(1+α(r_*))とおき，

α , φ, M, δ = O( A²₀ – 1)として 線形方程式で近似する。

さらに０での境界条件も合わせ考えると つぎの連立方程式を得る。

β″ + 2r_*β′ = q² – (b – c)² A²₀ – 1

2 +β + M_* r_* +δ

1

r_*²M_*′ = A₀² – 1

2 +β + M_* r_* +δ

r1_*δ′ = – A₀² – 1

2 +β + M_* r_* +δ

ここで β =α – (b – c)φ, φ = (b – c) / q² α 解は次のように得られる。

・線形近似の解（q² – (b – c)²≅ 1）

β = A₀² – 1 2

q² – (b – c)²

1 + (b – c)² – q² 1 – sin 1 + (b – c)²– q²r_*

1 + (b – c)² – q²r_*

M_* = A²₀ – 1 2

1

1 + (b – c)² – q² ×

sin 1 + (b – c)²– q²r_*

1 + (b – c)²– q² – r_*cos 1 + (b – c)²– q²r_*

δ = A₀² – 1 2

1

1 + (b – c)² – q² cos 1 + (b – c)² – q²r_* – 1

すなわち，臨界条件は  

q

²

– (b – c)

²

→ 1

これらから，同じ線形近似のレベルで

e^{– 2dφ} ϕ_*² = A₀² – 1 sin 1 + (b – c)²– q²r_*

1 + (b – c)²– q²r_*

解のかたちはなかなかよい。（図）

Numerical Solution

q=.7, varphi0=.1

1 2 3 4 5

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Approximation (linearized ODEs)

q=.7, varphi0=.1

1 2 3 4 5

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

.nb 1

Approximation (O(r^2))

q=.7, varphi0=.1

1 2 3 4 5

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

M_* (O(r^2))

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

.nb 2

4.

boson star の質量を求めるには， A₀² – 1

≈

^ϕ* 2(0)

optimization (extremization)

を動かして     最適化    させなければならない。

しかし，A₀² – 1の１次の近似では，残念ながら無理。

２次がいるので，線形化近似はダメ。

そこで，すべての関数をr_{*の２次式で近似する。}

A ≈ A

₀

1 + 1

12 q

²

A

₀²

– 1 r

_*²

φ≈ 1

12 b – d

2 A

₀²

– c – d

2 A

₀²

– 1 r

_*²

M

_*

≈ 1

24 3 A

₀²

+ 1 A

₀²

– 1 r

_*³

δ≈ – 1

4 A

₀²

A

₀²

– 1 r

_*²

これらから

ϕ

_*²

= 0

となる

r

_*

= r

_cを求めると

r

_c

= 1

4 A

₀²

– 1 + 1

6 1 + (b – c)

²

– q

²

– 1 / 2

ただし，後に正当化されるが，

O( A

₀²

– 1) = O(1 + (b – c)

²

– q

²

)

として高い次数は落とした。

M

_*

≈ 1

6 A

₀²

– 1 r

_c³をA₀² – 1

≈

^ϕ*

2(0)_{の関数として} 考えるとその極大値は

M

_*

≈ 4 2

9 1 + (b – c)

²

– q

^{2 – 1 / 2}

そのとき 

r

_cは

r

_c

= 1

2 1 + (b – c)

²

– q

²

– 1 / 2

図参照

5.

☜まとめ☞

・臨界条件＝引力が０となる に近い場合の charged boson star のふるまいを

解析的に検討した。

今日の話ではスカラー４点coupling無限大極限の み。

一般の場合もアプローチ可能。（ただし複雑）

・dilaton couplingのききかたは，予想通り。

（ｂ−ｃのcombination, 引力）

(see Tao & Xue, PRD45 (1992) 1878)

・重力を含む，古典統計力学の場の理論的解析 及び量子場からのアプローチを

臨界条件の近くで包括的に調べてみたい。

（温度，密度の入った，古典/量子場の理論の適用）

次の文献を参照➡

(de  Vega,  Sanchez  &  Combes,  astro-ph/9609005, astro-ph/9609129)