熊本大学 数理科学総合教育
１次独立・１次従属 問題 1 解答
1 (i) x1a1+x2a2+x3a3 =o ．
[a1 a2 a3]
x1
x2 x3
=o. (0.1)
連立1次方程式 (0.1) 解 係数行列[a1,a2,a3] 行基本変形
[a1 a2 a3
]=
1 −1 3 2 −1 5
2 3 1
→
1 −1 3 0 1 −1 0 5 −5
→
1 0 2 0 1 −1
0 0 0
.
1回目 基本変形 第1行 2倍 第2行，第3行 引 ，2回
目 基本変形 第2行，第2行 (−5)倍 第1行，第3行 加 ．
，方程式 (0.1) 解
x1
x2
x3
=c
−2 1 1
(c 任意定数)
． c= 1 場合 考 ， 組{a1,a2,a3} 間 非自明 1次関係式−2a1 +a2 +a3 = o 成立 ，{a1,a2,a3} 1
次従属 ．
(ii) x1a1+x2a2+x3a3 =o ．
[a1 a2 a3
]
x1 x2
x3
=o. (0.2)
連立1次方程式 (0.2) 解 係数行列[a1,a2,a3] 行基本変形
[a1 a2 a3
]=
1 −1 2 2 −1 3
2 3 1
→
1 −1 2 0 1 −1 0 5 −3
→
1 0 1 0 1 −1
0 0 2
→ · · ·
· · · →
1 0 1 0 1 −1
0 0 1
→
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
1回目 基本変形 第1行 2倍 第2行，第3行 引 ，2回
目 基本変形 第2行，第2行 (−5)倍 第1行，第3行 加 ．
3回目 基本変形 第3行 1/2倍 ，最後 基本変形 第3行 第1行
引 ，第2行 加 ． ，方程式 (0.2) 解
x1 x2
x3
=
0 0 0
，{a1,a2,a3} 1次独立 ． 1
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別解
(i) ai 第i列(i= 1,2,3) 並 行列 A ．A 行基本変形
A=[
a1 a2 a3
]=
1 −1 3 2 −1 5
2 3 1
→
1 −1 3 0 1 −1 0 5 −5
→
1 0 2 0 1 −1
0 0 0
.
rankA= 2̸= 3 {a1,a2,a3} 1次従属 ． (ii) ai 第i列(i= 1,2,3) 並 行列 A ．Sarrus 方法
|A|= 1·(−1)·1 + 2·3·2 + (−1)·3·2−(−1)·2·1−1·3·3−2·(−1)·2 = 2̸= 0 得 ． {a1,a2,a3} 1次独立 ．
注意 . “1次”結合，“1次”独立，“1次”従属 ，本 “線形”結合，“線形”独立，
“線形”従属 呼 ．
Point
a1,a2, . . . ,ar ∈ Rn，A = [a1,a2,· · · ,ar] ．{a1,a2, . . . ,ar} 1次従属 1次独 立 判定 ，連立1次方程式Ax=o 非自明 解（x=o以外 解） ， 自明 解（x= o） 調 ． r =n 場合，以下 4 条件
同値 注意 ．
(i) {a1,a2, . . . ,an} ，1次独立 ． (ii) rankA=n.
(iii) A 正則 ．
(iv) |A| ̸= 0.
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