PDF 微分方程式，漸化式への応用―――授業で扱わなかった問題の

2019年度・線形代数学・同演義II 2019^年12^月5^日

§9 微分方程式，漸化式への応用―――授業で扱わなかった問題の 解答例

9.1 Rで定義された複素数値関数 𝑓 に関する次の微分方程式の一般解を求めよ．

(2) 𝑓^′′′′−4𝑓^′′′+4𝑓^′′+4𝑓^′−5𝑓 =0

(2) ^{以下，微分方程式} 𝑓^′′′′−4𝑓^′′′+4𝑓^′′+4𝑓^′−5𝑓 =0^を(∗)^{で引用する．}

𝑉 = { 𝑓 : R→ C| 𝑓 ^は𝐶^{∞ 級，}(∗)をみたす}^とおく．𝑉^{は複素線形空間で，}Φ: 𝑉 → 𝑉 ^をΦ(𝑓) = 𝑓^′によって定めればこれは線形変換である．

𝑔0，𝑔1，𝑔2，𝑔3 を，それぞれ，初期条件 (𝑓(0), 𝑓^′(0), 𝑓^′′(0), 𝑓^′′′(0)) = (1,0,0,0)^， (0,1,0,0)^，(0,0,1,0)^，(0,0,0,1) ^をみたす(∗)^{の解とする．すると}Σ = [𝑔0, 𝑔1, 𝑔2, 𝑔3] は𝑉 ^{の基底となる．}

基底 Σ に関する Φ の表現行列 𝐴 ^{を求める．まず} Φ(𝑔0) ^{については，}Φ(𝑔0)(0) = 𝑔₀^′(0) =0，Φ(𝑔0)^′(0) =𝑔₀^′′(0) = 0，Φ(𝑔0)^′′(0) =𝑔₀^′′′(0) = 0，Φ(𝑔0)^′′′(0) = 𝑔₀^′′′′(0) = 4𝑔₀^′′′(0)−4𝑔₀^′′(0)−4𝑔₀^′(0)+5𝑔0(0) =5^より，Φ(𝑔0) =5𝑔3．同様にしてΦ(𝑔1) =𝑔0−4𝑔3， Φ(𝑔2) =𝑔1−4𝑔3，Φ(𝑔3) =𝑔2+4𝑔3が得られる．ゆえに

𝐴=©­

­­

«

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

5 −4 −4 4 ª®®®

¬ . 𝐴^{の固有多項式}𝜑𝐴(𝑥)^は

𝜑𝐴(𝑥) =

𝑥 −1 0 0

0 𝑥 −1 0

0 0 𝑥 −1

−5 4 4 𝑥−4

=𝑥⁴−4𝑥³+4𝑥²+4𝑥−5= (𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥²−4𝑥+5)

なので，Φ^{の固有値は}±1^，2±𝑖．各々に対応する固有ベクトルとして𝑒^±𝑡，𝑒^{(2±𝑖)𝑡 をと} ることができる．これらは線形独立であり，したがって𝑉 の基底になっている．よっ て一般解は

𝑓(𝑡) =𝑐1𝑒^𝑡 +𝑐2𝑒^−𝑡 +𝑐3𝑒^(2+𝑖)𝑡 +𝑐4𝑒^{(2−𝑖)𝑡} (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4 ∈C).

9.2 複素数列 {𝑥_𝑛} に関する次の漸化式の一般解を求めよ．

(1) 𝑥_𝑛+3+𝑥_𝑛+2+𝑥_𝑛+1+𝑥_𝑛 =0 (2) 𝑥𝑛+4−2𝑥𝑛+2−16𝑥𝑛+1−15𝑥𝑛 =0

(1) 漸化式𝑥_𝑛+3+𝑥_𝑛+2+𝑥_𝑛+1+𝑥_𝑛 =0を(∗)で表す．

𝑉 = { {𝑥𝑛} | {𝑥𝑛}^は(∗)^をみたす} ^とおく．𝑉 ^{は複素線形空間で，}Φ:𝑉 → 𝑉 ^を Φ({𝑥𝑛}) ={𝑥𝑛+1} によって定めればこれは線形変換である．

𝒗0，𝒗1，𝒗2を，それぞれ，初期条件(𝑥0, 𝑥1, 𝑥2) =(1,0,0)^，(0,1,0)^，(0,0,1)^をみた す(∗)の解とする．するとΣ = [𝒗0,𝒗1,𝒗2]^は𝑉 ^{の基底となる．}

基底Σ ^に関する Φ ^{の表現行列} 𝐴 ^{を求める．まず}Φ(𝒗0) ^{については，}𝒗0 = {𝑦_𝑛⁽⁰⁾ } とおくと，Φ(𝒗0) = {𝑦_𝑛+1⁽⁰⁾ } ^{であることから，}Φ(𝒗0) ^の第0 ^項は 𝑦₁⁽⁰⁾ = 0^，第 1 ^項は 𝑦₂⁽⁰⁾ = 0，第 2 項は 𝑦₃⁽⁰⁾ = −1．ゆえに Φ(𝒗0) = −𝒗2．同様にして Φ(𝒗1) = 𝒗0− 𝒗2， Φ(𝒗2) =𝒗1−𝒗2が得られる．したがって

𝐴=©­

«

0 1 0

0 0 1

−1 −1 −1 ª®

¬ . 𝐴^{の固有多項式}𝜑𝐴(𝑥)^は

𝜑𝐴(𝑥) =

𝑥 −1 0

0 𝑥 −1 1 1 𝑥+1

=𝑥³+𝑥²+𝑥+1=(𝑥+1)(𝑥²+1)

なので，Φの固有値は−1，±𝑖．各々に対応する固有ベクトルとして { (−1)^𝑛}^，{𝑖^𝑛}^，

{ (−𝑖)^𝑛}をとることができる．これらは線形独立であり，したがって𝑉 ^{の基底になっ}

ている．よって一般解は

𝑥𝑛 =𝑐1(−1)^𝑛+𝑐2𝑖^𝑛+𝑐3(−𝑖)^𝑛 (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3∈C).

(2) 𝑉 ^を漸化式𝑥_𝑛+4−2𝑥_𝑛+2−16𝑥_𝑛+1−15𝑥_𝑛 =0をみたす数列全部からなる複素線形空間 とし，Φ: 𝑉 →𝑉 ^をΦ({𝑥𝑛})={𝑥𝑛+1}によって定義される線形変換とする．するとΦ の固有多項式は𝜑Φ(𝑥) =𝑥⁴−2𝑥²−16𝑥−15=(𝑥−3)(𝑥+1)(𝑥²+2𝑥+5)^{であり，固有値} は3，−1，1±2𝑖．各々に対応する固有ベクトルとして{3^𝑛}^，{ (−1)^𝑛}^，{ (1+2𝑖)^𝑛}^， { (1−2𝑖)^𝑛} をとることができる．これらは線形独立であり，したがって𝑉 ^の基底に なっている．よって一般解は

𝑥𝑛 =𝑐1·3^𝑛 +𝑐2(−1)^𝑛 +𝑐3(1+2𝑖)^𝑛 +𝑐4(1−2𝑖)^𝑛 (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4∈C).

â (2)の解答は短縮バージョンで書きましたが，もちろん，固有多項式を求める箇所はもっと説明 が必要です．

9.3 𝑛^{次正方行列}

©­­­

­­­­

­

«

13 6 6 13 . ..

. .. ... ...

. .. ... 6 6 13

ª®®®

®®®®

®

¬

（ただし何も書かれていない箇所は0）の行列式を 𝐷𝑛 とする．𝐷𝑛 を𝑛^の式で 表せ．

𝑛^{次正方行列}

©­­­

­­­­

­

«

13 6 6 13 . ..

. .. ... ...

. .. ... 6 6 13

ª®®®

®®®®

®

¬ を 𝐴𝑛 と書くことにする．

𝐴_𝑛+2=

©­­­

­­­­

­­

«

13 6 0 0 · · · 0 0 6 13 6 0 · · · 0 0

0 6

0 0

... ... 𝐴𝑛

0 0

0 0

ª®®®

®®®®

®®

¬ と表すことができる．

第1列に関する余因子展開によって

𝐷_𝑛+2=det𝐴_𝑛+2 =13 det𝐴_𝑛+1−6

6 0 0 · · · 0 0 6

0... 𝐴_𝑛

0 0

であり，第 2 ^項に第1 行に関する余因子展開を適用して 𝐷𝑛+2 = 13 det𝐴𝑛+1− 36 det𝐴𝑛 = 13𝐷𝑛+1−36𝐷𝑛 を得る．

漸化式𝑥_𝑛+2=13𝑥_𝑛+1−36𝑥_𝑛 ^{の一般解は}𝑥_𝑛 =𝑐1·4^𝑛+𝑐2·9^𝑛 である（詳細は省く）．そこで 𝐷𝑛 も𝐷𝑛 =𝑐1·4^𝑛 +𝑐2·9^𝑛 と表すことができる．ここで 𝐷1 =13，𝐷2 = 13²−6² =133だ

から， (

4𝑐1+9𝑐2=13, 16𝑐1+81𝑐2=133. したがって𝑐1 =−4/5^，𝑐2 =9/5^{となり，ゆえに}

𝐷_𝑛 =−4

5 ·4^𝑛 + 9

5 ·9^𝑛 = 9^𝑛+1−4^𝑛+1

5 .