PDF 2の 2の形について（その1） - Keio

2

の

2

の 形について（その１）

　

月 駒

S^1.n LOG Part ⁰ 1^.

name

2

の

2

2 A=

✓a c c b

◆

と2 ^{元 ベクトル} = (d e)^{を い} て、2 の を

F(x, y) = ax²+ 2cxy+by²+dx+ey+f

= (A~v,~v) + ~v+f と します。ただし、~v=

✓x y

◆

と めます。

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

nnn

→ ←

e ss e re circle ll

c de)

( な )

A ^も 02 ^の

場合

^を

_ ff も

平

言 終 生が 消 の

移 換

この を 移 換

✓x y

◆

=

✓⇠₁

⇠2

◆ +

✓↵₁

↵2

◆

を いて簡 にすることを えま す。

以下では

⇠~=

✓⇠₁

⇠₂

◆

, ~↵=

✓↵₁

↵₂

◆

T

^o'

ヨ

( 主 )

^を

見付け

^て

移 換

この を 移 換

✓x y

◆

=

✓⇠₁

⇠2

◆ +

✓↵₁

↵2

◆

を いて簡 にすることを えま す。

以下では

⇠~=

✓⇠₁

⇠2

◆

, ~↵=

✓↵₁

↵2

◆

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

o'

で

⁼

ら が

換の計

F(x, y) = (A(⇠~+↵),~ (~⇠+~↵)) + (⇠~+↵) +~ f

= (A~⇠,⇠) + (A~~ ↵,~⇠) + (~↵, A~⇠) + (A~↵,↵)~ + ~⇠+ ~↵+f

= (A~⇠,⇠) + 2(A~~ ↵,⇠) +~ ⇠~ +(A~↵,~↵) + ~↵+f

= (A~⇠,⇠) + (2A~~ ↵+^t ,~⇠) +F(↵₁,↵₂)

で

⁼

ら が

、、

A

ら

+ AT

-

ピー 」

○ で が 、

鍵 に

/

^二 o

で

とる

晴

3.

発

A ^=も A^に

も が

|A|6= 0

のとき

2A~↵+^t =~0^すなわち

~

↵= 1 2A ^1t とすると

F(x, y) =a⇠₁²+ 2c⇠₁⇠₂+b⇠²₂+f⁰ ただし

f⁰ =F(↵₁,↵₂)

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

一、

_

o

は回 で 角化可

　Aは なので回 で 角化可 。回 R が して

tRAR=

✓r 0 0 s

◆

と 角化できます。

さらに⇠~=R~⌘と回 換をすると

(A~⇠,⇠) = (AR~⌘, R~⌘) = (~ ^tRAR~⌘,~⌘) =r⌘²₁+s⌘₂² と 換される。よって

F(x, y) =r⌘₁²+s⌘²₂+F(↵₁,↵₂) となる。

では な

「

武 、

は回 で 角化可

　Aは なので回 で 角化可 。回 R が して

tRAR=

✓r 0 0 s

◆

と 角化できます。

さらに⇠~=R~⌘^{と回 換をすると}

(A~⇠,⇠) = (AR~⌘, R~⌘) = (~ ^tRAR~⌘,~⌘) =r⌘²₁+s⌘₂² と 換される。よって

F(x, y) =r⌘₁²+s⌘²₂+F(↵₁,↵₂) となる。

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

」

」

座標

。

具

A=

✓2 1 1 2

◆

b= ( 8 4)^{の 、すなわち}

F(x, y) = 2x²+ 2xy+ 2y² 8x 4y の は

~

↵= 1 2

✓2 1 1 2

◆ 1✓ 8 4

◆

= 1 2 ·1

3

✓ 2 1 1 2

◆ ✓ 8 4

◆

=

✓2 0

◆

として~⇠=~v ~↵ と 移 換をすると F(x, y) = (A⇠,~ ⇠)~ 4 となります。

が 惑い

が ₂

型

_。。

i

^-

i

。

三

-

i ( )

0 0

g

に し に

3

具

Aの固 は

A( ) = 2 1

2 2 = ( 1)( 3) からA^{の固 は} = 1,3

= 3^のときは

A⇠~= 3⇠~,

✓ 1 1 1 1

◆ ✓⇠₁

⇠₂

◆

=~0,⇠₁ =⇠₂

から

~⇠=

✓⇠1

⇠₁

◆

=⇠₁

✓1 1

◆

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

」

具

A^{の固 は}

A( ) = 2 1

2 2 = ( 1)( 3)

からA^{の固 は} = 1,3

= 3^のときは

A⇠~= 3~⇠,

✓ 1 1 1 1

◆ ✓⇠₁

⇠₂

◆

=~0,⇠₁ =⇠₂

から

~⇠=

✓⇠1

⇠₁

◆

=⇠₁

✓1 1

◆

T.

具

= 1^のときは

A~⇠=~⇠,

✓ 1 1 1 1

◆ ✓⇠1

⇠₂

◆

=~0,⇠₁ = ⇠₂

から

⇠~=

✓ ⇠2

⇠₂

◆

=⇠2

✓ 1 1

◆

~r1 = ^p1

2

✓1 1

◆

~r2 = ^p1

2

✓ 1 1

◆

R= (~r1 ~r2)^{と めると}

AR=R

✓3 0 0 1

◆

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

具

= 1^のときは

A~⇠=~⇠,

✓ 1 1 1 1

◆ ✓⇠1

⇠₂

◆

=~0,⇠₁ = ⇠₂

から

⇠~=

✓ ⇠2

⇠₂

◆

=⇠2

✓ 1 1

◆

~r1 = ^p1

2

✓1 1

◆

~ r2 = ^p1

2

✓ 1 1

◆

R= (~r1 ~r2)^{と めると}

AR=R

✓3 0 0 1

◆

一 健

が

_AR=

( た )

具

このとき⇠~=R~⌘と めると

F(x, y) =

✓✓3 0 0 1

◆

~⌘,~⌘

◆

4 = 3⌘²₁+⌘₂² 4

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

G と

の

.

o

'

• ^°

。

|A|6= 0

のときの

F(x, y) =C

|A|=rs >0^{のときは 円、}1 ^{、空 が てくる}

|A|=rs <0^{のときは 曲 （ 外 に、}2 ^{）が てくる}

-

M

武井

、 h ^S > ^o

wf で toi で

^{t には) = C}

.

r⁼

WF

_{, B} ⁼

of

_C ^-_{FCの 〉oた}

者

_用

や^ー

、

= 0 1点 o

が

? こ た ftp.i

|A|6= 0

のときの

F(x, y) =C

|A|=rs >0^{のときは 円、}1 ^{、空 が てくる}

|A|=rs <0^{のときは 曲 （ 外 に、}2 ^{）が てくる}

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

-

rso.se ^o

wf で

^_

wi な

^C-下に)

r^{= w}

し

、

s ^=-

of

^{C -FCの キ o の間}

約

^一

二 o 三車^に近

刮

^、

hhyn 交わる

²

直線

^r

|A|= 0

のときの

|A|=rs= 0^のとき、r6= 0, s= 0^の

（ 意）r=s= 0のときはA= 0となる

ある回 Rに して

AR=R

✓r 0 0 0

◆

と 角化できる。~v=R~⇠とすると

F(x, y) =r⇠₁²+bR~⇠+f ここでbR= (d⁰ e⁰)^とすると

F(x, y) =r⇠₁²+d⁰⇠1+e⁰⇠2+f

Part ⁰2e

A ⁼

( と )

FIJI

^aitていytey

+4 も ( か )

⁺

J

=

(

^{A し}

ない なら ) +4 f

、

しな )

^{t 5 .}

ヨ

P

^:

回転 が

_AP⁼

GO

_OS^{) とできる 。}

1 ^が API ^{= rs 。}

磯

訕

^い

比 が いい 橤 点

o ⁼

に は

_、

後 1 )

|A|= 0

のときの

|A|=rs= 0^のとき、r6= 0, s= 0^の

（ 意）r=s= 0のときはA= 0となる ある回 R^{に して}

AR=R

✓r 0 0 0

◆

と 角化できる。~v=R~⇠とすると

F(x, y) =r⇠₁²+bR~⇠+f ここでbR= (d⁰ e⁰)^とすると

F(x, y) =r⇠₁²+d⁰⇠₁+e⁰⇠₂+f

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

( な )

^{= R}

( 䚯

(^A

呦 ( 別

iii.

^{_ r}

sippo

^"

TR

^こ

いで

⁾

が ぼ

^.

0

|A|= 0

のときの

e⁰ 6= 0のときの は、 が⇠₂ に な

e⁰ = 0のときの⇠₂ に な2 、1 、または空

簿 が

一

-

D

^{.2+ d'}

S

^、+

幽 な

一

二

d

ii. 琴 髟 珪

*^。

二 一

〇 三

^{( ち 、一 *}

がた 褧 の

|A|= 0

のときの

e⁰ 6= 0のときの は、 が⇠₂ に な

e⁰ = 0のときの⇠₂ に な2 、1 、または空

　 2 の2 の 形について（その１） 月 駒

陛 癱

に

直線 る、

^こ

だ

に

い

ず

⁺ d^'

S

、

t.tt

^{= C'}

et

^'

に

^-

i

⁺

武 で

|A|= 0

のときの

e⁰ 6= 0のときの は、 が⇠₂ に な

e⁰ = 0のときの⇠₂ に な2 、1 、または空