PDF 2010年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅱb〉

第１問

〔１〕

(＊) o

xy = 128 ……①

……②

(ただし,x 1,y 1)

①の両辺で2を底とする対数をとると log2xy = log2 128

log2x + log2y = log22⁷= 7 ……

ア

これと②より

よって,

(log2x)(log2y) = 12 ……イウ

である。

したがって,log2x,log2yは2次方程式

t²- 7t + 12 = 0 ……③ ……エ,オカ

の解である。

③を解いて (t - 3)(t - 4) = 0

t = 3,4 (または,4,3) ……キ,ク

よって,

(log2x,log2y) = (3,4) (または(log2x,log2y) = (4,3)) すなわち,連立方程式(＊) の解は

(x,y) = (8,16) (または(x,y) = (16,8)) ……ケ,コサ

である。

log log

(log )(log ) (log )(log )

2 2

2 2 2 2

7 7

12

x y

x y x y

+ = =

1 1 7

2 2 12

log x + log y =

(t - log₂ x)(t - log₂ y) = 0

t ² - (log2 x + log2 y) t + (log2 x)(log2 y) = 0 t ² - (log2 x + log2 y) t

1 1

O

4q p2 q

= -

4q p p2

q

= -

ª

-

º

〔２〕

sin4 q = cos q ……① 一般に,すべてのxについて

(……①) ……

シ

であるので

のとき,0 < 4 q < 2 p, に注意すると

または 

よって,

または  ……ス,セソ である。

……タ,チ である。

ここで①より

2sin2q• cos2q= cosq ……ツ

2 • 2 sinq cosq• (1-2 sin²q) = cosq

(4sinq - 8sin³ q) cosq = cosq ……テ,ト

cosq > 0 より

8 sin³ q - 4 sinq + 1 = 0 ……②   は②を満たすので

(2 sinq - 1)(4 sin²q + 2 sinq - 1) = 0 とすると

sinq

よって,2 sinq- 1 0より

4 sin²q + 2 sinq - 1 = 0 ……ナ,ニ となる。

ここで より

……ヌ〜ハ である。

sin p sin 10 q

1 5

= = - +4 sin p

10 >0 sin p

6 1

= 2 q p

= 10 sinq = 1

2 sin p

6 1

= 2

q p

= 10 q p

= 6

ª

= p +

º

2 q 4q p p2

q

= -

ª

-

º

4q p2 q

= -

0< p2 - < 2 q p 0<q< p2

sin4 cos sin

q q p2

q

= =

ª

-

º

cosx=sin

ª

^p -x

º

2 0<q< p2

1 1

O 2 1

6 p

q 2倍角の公式を2度 用いて左辺を変形

sinqだけの式に!!

因数定理

t

t y = -2 y = P (t)

y

y = P' (t)

y = 0 (

2 個

)

y = -8

1 3

1 O -2 -8

-12

3

(

3 個

) y = 5

(

1 個

)

y = -12 (

1 個

)

(

2 個

) 極大 

極小  点 (t,f (t)) における  y = f (x) の接線は   y - f (t) = f'(t)(x - t)

第２問

C : y = -x³+ 9 x²+ kx = f (x) とおく。

(1) f'(x) = -3x²+ 18x + k より

点Q(t,-t³+ 9 t²+ kt) における曲線Cの接線は, y - (-t³+ 9 t²+ kt) = (-3 t²+ 18 t + k)(x - t)

これが点P(1,0) を通るとき

0 - (-t³+ 9 t²+ kt) = (-3 t²+ 18 t + k)(1 - t) t³- 9 t²- kt = 3 t³-21 t²+ (18 - k) t + k より,

-2 t³+ 12 t²- 18 t = k ……① ……

ア,イウ,エオ

が成り立つ。

P (t) = -2 t³+ 12 t²- 18 t (= -2 t (t - 3)²) とおくと P '(t) = -6 t²+ 24 t - 18

= -6 (t - 1)(t - 3)

よって,P (t)の増減表は次のようになる。

ゆえに,

t = 1で 極小値P (1) = -8 ……カ,キク

t = 3で 極大値P (3) = 0 ……

ケ,コ

をとる。

ここで,接線の本数は,接点の個数と一致し, それはtの方程式①の実数解の個数

曲線y = P (t)

すなわちn と   のグラフの共有点の個数 直線y = k

である。

よって,右図より, 接線の本数が2本のとき

k = 0 または -8 ……サ,シス

また k = 5 のとき 1本 ……

セ

k = -2 のとき 3本 ……ソ

k = -12のとき 1本 ……

タ

となる。

t P' (t)

P (t)

… 

- Q

1 0 - 8

3 0 0

… 

+ W

… 

- Q

C

Q

P (1,0)

x S₁ S2

7 3

7

O 2 9

-1 D C y (2) k = 0とする。

kC : y = -x³+ 9 x²(= -x²(x - 9))

D : y = -x³+ 6 x²+ 7x (= -x (x + 1)(x - 7))

C,Dの交点のx座標は

-x³+ 9 x²= -x³+ 6 x²+ 7x 3 x²- 7x = 0

x (3 x - 7) = 0

……チ,ツテ である。

また,右下図網目部分の面積をそれぞれS1,S2とおくと, 求める面積Sは

S = S 1+ S 2

……ト〜ニ

である。

= 21 2

= - + - +

= - + - +

= +

-

-

Ú

^{( )}

Ú

^{( )}

1 0

2

0 2

2

3 2

1 0

3 2

0 2

3 7 3 7

7 2

7 2 9

2 6

x x dx x x dx

x x x x

“ ‘ “ ‘

+

Ú {

⁽-^x3 + ^x2 + ^x)- -^{( x3} + ^x2)

}

^dx

0 2

6 7 9

=

{

- + - - + +

}

Ú

- ^{( x3 x2) ( x3 x2 x) dx} 1

0

9 6 7

x=0 7 ,3

第３問

(1) a1= 1

a2= 1 + 4 = 5 a3= 1 + 4 + 7 = 12

a4= 1 + 4 + 7 + 10 = 22 ……

アイ

である。

ここで,an- an - 1は第n群に含まれる項の個数を表すので,

an- an - 1= 3 n - 2 ……ウ,エ

が成り立つ。

よって

an + 1- an= 3 (n + 1) - 2 = 3 n + 1 n ≥2のとき,

an

……

オ〜ケ

これはn = 1のときもa1= 1となって成り立つ。

600が第n群に含まれるとすると an - 1< 600 £an

(n - 1)(3 n - 4) < 1200 £n (3 n - 1) ……① ここで

20 • 59 = 1180 21 • 62 = 1302

であるからn = 21のとき①を満たす。

(n- )( n- ) n( n )

< -

1 3 4

2 600 3 1

£ 2

> N > ,a_n-1 N >,600,> ,a_nN

第

(n - 1)

群  第

n

群 

= + +

= + ∑ - + -

= -

=

Â

-

a k

n n n

n n

k n 1

1 1

2

3 1

1 3 1

2 1 1

3 2

1 2

( )

( ) ( )

a1 a2 a3 a4

1 ⁼

N

2,3,4, 5 ⁼

N

6,7,8,9,10,11,12 ⁼

N

^{13,>,22 =}

N

^>

N

> ,an -1

N

> ,an

N

第 1 群 

1 個 

+3

個 

4 個  7 個  10 個  {

3 (n - 1) -2

}

個 

(3 n -2)

個  第

2

群  第 3 群  第 4 群  第

(n - 1)

群  第

n

群 

+3

個 

+3

個 

+3

個 

+3

個 

20 59 2

20 59

2 1 20 592

2 20 59

2 10 21 62

2

∑ ∑

+ ∑

+ ∑

+ ∑

, , ,

… 

,

… 

,

a20 a21

=

=

10番目!!

2番目  1番目 

第20群の最後の項は であるから,600は (番目)

すなわち600は

第21群の10番目の項 ……

コサ,シス

である。

(2)

bn= an+ 2 n

……セ〜ツ であり

……

テ

〜

ナ

これより,

……

ニ

〜

ネ

2

3 3

n

= n

+ (n = 1,2,3,>)

1 2

3

1 1

1 2

3 1 1

2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 1

1 2

3 1 1

1 2

3 1

1b 1 k k

n n

n n n

k k n

k n

= =

Â

⁼

Â

^-

+

= - + - + - + + -

+

= -

+

= ∑ +

ª º

”ª º ª º ª º ª º’

ª º

B

1 2

3 1

2 3

1 1

1

b_n = n n n n

+ = -

( )

ª

+

º

= - +

= + = +

ª º

ª º

3 2

1

2 2

3 2

3 2

3 1

2

2

2

n n n

n n n n( )

bn

=b3

=b2

=b1

=

2番目  4番目  6番目  2 n番目 !!

>

N

> ,an

N

an + 1,an + 2,an + 3,an + 4,an + 5,an + 6,>,an + 2 n,>,an+1

N

第 (n + 1) 群  第

n

群 

600 20 59

2 10

- ∑

=

20 59 2

∑

第４問

(1)

……ア

……

イ,ウ

である。

……

エ,オ

……

カ

XY^L AY^L AX^L p r p

p r

= - = + -

= - +

( )

( )

b a

a b

1

としてもよい。 

(

注

)

>>>>

エ,オ 

XY XB BY AB BF b

EC XZ EA AC AH

L L L L L

L L L L L

2 2

p r

r p q q r

p q r NqN NrN

= + = - + = - +

∑ = + ∑

= - + + ∑ +

= ∑ + + -

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1

0

a b a

(

ただし

,

      

XZ^L=AH^L)

p q∑ =p r∑ =0,NqN = NrN = 1 (

ただし

,

        

) NpN NqN = NrN = 1

p q = p r q r

=

∑ ∑ = =

∑ = =

1 1 2 0

1 1 3

1 2

¥ ¥

¥ ¥

cos cos

p p

>>>>(

＊

) S

1 - a

平面

a a

1 - a a

E

B Y F G

Z

X H

D

A r

q p

C K

1 - b

b

(2)

直線ECと平面aが垂直に交わるので

EC^XY ……①

n かつ EC^XZ

①より 

これを展開し整理すると,(＊) より

2 a + b = 2 ……② ……キ,ク

が成り立つ。

以下, とする。このとき②より である。 ……

ケ,コ

と表すと

= r+ c (p+ q- r)

= cp+ cq+ (1 - c)r ……③

一方,点Kは平面a上にあり, であるから,

である。ゆえに, であるから,

……

サ,シ

4点A,B,D,Eは同じ平面上にないので③,④より

r

これらを解いて

……

ス,セ

c= 5 s t

8 = - 1

2 =

ª

, 5

º

8

c s

c t

c s t

= 1 + 4

3 4

= 1 - = 1

2 + AK^L =

B

④ 

3

4 s

s s

p p r q r

p q r

ª º

ª º ª º

+ + + +

= + + + +

t

t t

( )

1 4

1 2 1

4 3 4

1 2 a= 3 b=

4

1 , 2

AK AX sXY tXZ AX sXY tAH

s (1 - t ( )

L L L L L L L

p p r q r

= + + = + +

=^a +

{

^a) +^b

}

^{+ +}

XZ^L=AH^L AK^L =AE^L+EK^L=AE^L+cEC^L

EK^L =cEC^L

a= 3 b= 1 4

2 (1 )

2 0

-a + b - = b

p+q-r

{

¹- p+ r

}

⁼⁰

( ) ( a) b

EC XY^L∑^L =0

    を 2 通りで表わして  係数比較する。 

AK

L

よって,

……ソ〜チ

となる。

N N

N N

^{= 5}8Np q rN

= 5

8 NpN NqN NrN p q q r p r

L L

2 2 2

EK = EC + -

+ + + ∑ - ∑ - ∑

= 5 8

2 5 2

8

( )

(

ただし

,(

＊

))