1 n+ 1 3n3n -2 3n3n+ 4

有理化、部分分数分解を利⽤した和の求め⽅

有理化、部分分数分解を利⽤した和の求め⽅

1

1--1. 次の式を計算せよ。1. 次の式を計算せよ。

1

1 -- (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

k

k kk++11 2

2 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 + + k

k kk++11 1

1--2. 次の式を計算せよ。2. 次の式を計算せよ。

1

1 -- (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

2k

2k 2k2k++22 2

2 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 + + 2k

2k++11 2k2k++33 3

3 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 + + k

k++11 kk++33 2

2--1. 次の式を部分分数分解せよ。1. 次の式を部分分数分解せよ。

1 1 (

( )) 11 n

n((nn++11)) ((22)) 11 n

n--11 nn++11 (

( ))(( )) 2

2--2. 次の式を部分分数分解せよ。2. 次の式を部分分数分解せよ。

1 1 (

( )) 11 2n

2n((2n2n++11)) ((22)) 11 3n

3n--22 3n3n++44 (

( ))(( ))

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3

3--1. 次の和を求めよ。1. 次の和を求めよ。

1

1 ++ ++ ++ ⋯⋯ ++ (

( )) 11 1 1⋅⋅22

1 1 2 2⋅⋅33

1 1 3 3⋅⋅44

1 1 n

n((nn++11)) 2

2 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 2k

2k--11 2k2k++11 (

( ))(( ))

3

3--2. 次の和を求めよ。2. 次の和を求めよ。

1

1 ++ ++ ++ ⋯⋯ ++ (

( )) 11 2 2⋅⋅33

1 1 3 3⋅⋅44

1 1 4 4⋅⋅55

1 1 n

n++11 nn++22 (

( ))(( )) 2

2 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 3k

3k--11 3k3k++22 (

( ))(( ))

4

4--1. 次の和を求めよ。1. 次の和を求めよ。

1 1 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 k k²²++2k2k 2

2 ++ ++ ++ ⋯⋯ ++ (

( )) 11 1 1⋅⋅22⋅⋅33

1 1 2 2⋅⋅33⋅⋅44

1 1 3 3⋅⋅44⋅⋅55

1 1 n

n((nn++11))((nn++22)) 3

3 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 k

k((kk++11))((kk++22))((kk++33))

5

5--1. 次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。1. 次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。

1

1 ,, ,, ,, ,, ⋯⋯ ,, (

( )) 11 1 1

1 1 1 1++22

1 1 1

1++22++33

1 1 1

1++22++33++44

1 1 1

1++22++33++44++ ⋯⋯ ++nn 2

2 ,, ,, ,, ,, ⋯⋯ (

( )) 33 1 1²²

5 5 1 1²²++22²²

7 7 1

1²²++22²²++33³³

9 9 1

1²²++22²²++33³³++44²² 3

3 ,, ,, ,, ,, ⋯⋯ (

( )) 33 1 1³³

5 5 1 1³³++22³³

7 7 1

1³³++22³³++33³³

9 9 1

1³³++22³³++33³³++44³³

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有理化、部分分数分解の利⽤ 解答 有理化、部分分数分解の利⽤ 解答

1

1--1. 次の式を計算せよ。1. 次の式を計算せよ。

1

1 -- ==11-- (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

k

k kk++11 nn++11 2

2 == --11 (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 + + k

k kk++11 nn++11 1

1--2. 次の式を計算せよ。2. 次の式を計算せよ。

1

1 -- == -- (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

2k

2k 2k2k++22 22 2n2n++22 2

2 == --

(

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 + + 2k

2k++11 2k2k++33 1 1 2

2 2n2n++33 33 3

3 == -- ++ -- -- (

( ))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 + + k

k++11 kk++33

1 1 2

2 22 33 nn++22 nn++33

2

2--1. 次の式を部分分数分解せよ。1. 次の式を部分分数分解せよ。

1

1 == -- (

( )) 11 n

n((nn++11)) 1 1 n n

1 1 n

n++11 ((22)) 11 == -- n

n--11 nn++11 (

( ))(( )) 1 1 2 2

1 1 n n--11

1 1 n n++11

2

2--2. 次の式を部分分数分解せよ。2. 次の式を部分分数分解せよ。

1

1 == -- (

( )) 11 2n

2n((2n2n++11)) 1 1 2n 2n

1 1 2n

2n++11 ((22)) 11 == -- 3n

3n--22 3n3n++44 (

( ))(( )) 1 1 6 6

1 1 3n 3n--22

1 1 3n 3n++44

3

3--1. 次の式を計算せよ。1. 次の式を計算せよ。

1

1 S S == (

( )) nn nn n n++11 2

2 S S == (

( )) nn nn 2n 2n++11

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3

3--2. 次の式を計算せよ。2. 次の式を計算せよ。

1

1 S S == (

( )) nn nn 2

2((3n3n++22)) 2

2 S S == (

( )) nn nn 2

2((nn++22)) 4

4--1. 次の数列の初項から第 n 項の和を求めよ。1. 次の数列の初項から第 n 項の和を求めよ。

1

1 S S == (

( )) nn nn 3n3n++55 4

4 nn++11 nn++22 (

( )) (

( ))(( )) 2

2 S S == (

( )) nn nn nn++33 4

4 nn++11 nn++22 (

( )) (

( ))(( )) 3

3 S S == (

( )) nn

n

n nn ++6n6n++1111 18

18 nn++11 nn++22 nn++33

2 2

(

( ))(( ))(( ))

5

5--1. 次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。1. 次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。

1

1 第 n 項は 第 n 項は (

( )) 22

n

n((nn++11))

11-- == n

n 1 1 n n++11

1 1 n

n((nn++11))

∑ ∑

ⁿⁿ == 22 -- ==

k=1 k=1

2 2 k

k⋅⋅((kk++11))

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 n n

1 1 n n++11

2n 2n n n++11 2

2 第 n 項は 第 n 項は (

( )) 66

n

n⋅⋅((nn++11))

∑ ∑

ⁿⁿ ==

k=1 k=1

6 6 k

k⋅⋅((kk++11))

6n 6n n n++11 3

3 第 n 項は 第 n 項は (

( )) 44 2n2n++11 n

n nn++11 (

( ))

2

2(( ))²²

11 -- == n

n²²

1 1 n n++11 (

( ))²²

2n 2n++11 n

n²²((nn++11))²²

∑ ∑

ⁿⁿ ==44 -- ==

k=1 k=1

4

4 2k2k++11 k

k kk++11 (

( ))

2

2(( ))²²

∑ ∑

ⁿⁿ

k=1 k=1

1 1 k k²²

1 1 k k++11 (

( ))²²

4n 4n nn++22

n n++11

( ( )) (

( ))²²

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