본 연구는 새로운 부구조화 기법인 개선된 다단계 부구조화 기법에 재 해석 방법을 적용하여 반복적 해석이 필요한 과정에서 계산의 효율을 극 대화 하였다. 재해석 방법으로 섭동이 발생한 부구조물의 추가적 고유 주파수 해석 없이 초기 축소 기저에 변화된 시스템의 정적 해석으로 구 한 리츠 벡터를 확장적으로 이용하여 허용 오차 내의 정확성을 보장함을
Design variable no.
FULL (m)
ECB (m)
Error (%)
EMLS update (m)
Error (%)
dv 1 0.0303 0.0302 0.3002 0.0303 0.0114 dv 2 0.0299 0.0299 0.1258 0.0299 0.0088 dv 3 0.0295 0.0296 0.2401 0.0295 0.0436 dv 4 0.0344 0.0341 0.8981 0.0344 0.0060 dv 5 0.0385 0.0385 0.1734 0.0386 0.3598 dv 6 0.0160 0.0161 0.2513 0.0160 0.0384 dv 7 0.0161 0.0161 0.1326 0.0161 0.0126 dv 8 0.0156 0.0157 0.4265 0.0156 0.0158 dv 9 0.0174 0.0173 0.3897 0.0174 0.0842 dv 10 0.0185 0.0184 0.2802 0.0184 0.0421
25
확인하였다. 동시에 새로운 부구조화 기법을 이용하여 기존 방법 보다 계산 효율을 더욱 높일 수 있음을 확인하였다. 특히, 본 연구는 고정 경 계 노말 모드를 기반한 부구조화 기법에 적용되며, 부구조물 내부 영역 의 시스템 크기가 클수록 계산 효율을 높일 수 있다. 시스템 변화에 따 른 반복적 해석의 예로 고유 주파수를 구속 조건으로 하는 크기 최적화 문제에 적용하여 본 연구 방법의 활용 가능성을 확인하였다. 또한 최적 화 문제 외에 동적 해석을 반복적으로 수행하는 다양한 영역에서 사용될 수 있다.
참고 문헌
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부록 A
부록에서는 자유도 기반의 축소 시스템 기법에서 스프링이 연결된 시 스템의 주자유도 선정 문제에 대한 내용을 다룬다. 축소 시스템 기법 중 자유도 기반 방법은 부자유도를 주자유도로 대략화하고 이를 변환 과정 을 통해 시스템을 축소한다. 이때에 적절한 주자유도 선정은 해석의 정 확성에 직접적인 영향 요인이다. 주자유도 선정에는 순차적 소거법, 에 너지 판별 법 등 다양한 기법들이 있다. 그러나 특정 절점에 대해 측정 을 할 필요가 있거나 시스템 해석에 큰 영향을 준다고 판단되는 경우 주 자유도로 선정한다. 그러나 임의로 추가된 주자유도에 의해 오히려 해석 의 정확성이 저해되는 경우가 발생한다. 이러한 추가적으로 선정 혹은 임의로 선정된 주자유도에 의해서 축소 시스템의 정확성이 급격히 낮아 지는 원인을 수식적으로 증명하고 예제를 통해 검증한다.
A.1 축소 시스템 기법
비감쇠 시스템의 동적 평형식에서 주자유도(Primary degrees of freedom)와 부자유도(Secondary degrees of freedom)로 구성하면 다 음과 같이 표현된다.
pp ps p pp ps p
T T
ps ss s ps ss s
K K M M
K K M M
f f
é ùì ü é ùì ü
í ý= l í ý
ê úî þf ê úî þf
ë û ë û (26)
두 번째 열로부터 자주유도와 부자유도 관계식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
28
T T
ps ps p ss ss s
(K - lM )f +(K - lM )f =0 (27)
이를 통해 전체 자유도를 주자유도에 대한 변환식으로 나타낼 수 있고 이는 다음과 같다.
p
p p
s
I T( )
t( ) ì ü éf ù
F =í ý êî þf =ë l úûf = l f (28)
가장 기본적인 정적 시스템 축소는 식(28)의 변환 행렬에서 질량 효과 없이 다음과 같이 나타낼 수 있다.
1 T
S ss ps
t = -K K- (29)
동적 시스템 축소는 다음과 같이 식(27)을 주자유도로 전개한 변환 관 계식에서 출발한다.
1 T T
D ss ss ps ps
t ( )l = -(K - lM ) (K- - lM ) (30)
식(30)은 테일러 급수에 의해 다음 식과 같이 표현된다.
1 T 1 T 1 T
ss ps ss ps ss ss ps
1 1 T 1 T 2 3
ss ss ss ps ss ss ps
t( ) K K K (M M K K )
K M {K (M M K K )} O( )
- - -
- - -
l = - + - l
+ - l + l (31)
식(31)에서 미지수인 고유치에 대해 첫째 항만을 고려하고l»M Ks-1 s로 대략적으로 나타냄으로 식(32)과 같이 나타낼 수 있고 이를 IRS(Improved Reduced System)기법으로 부른다.
1 T 1
IRS S ss ps ss S s s
t = - +t K (M- -M t )M K- (32)
29
A.2 주자유도 선정 방법
축소 시스템 기법을 이용한 해석의 정확성 보장을 위해서는 주자유도가 적절히 선정되어야 한다. 대표적인 주자유도 선정 방법으로 순차적 소거 법이 있다. 이 방법은 시스템의 대각 항에 대해서 강성 대 질량 비가 가 장 큰 값을 부자유도로 하나씩 소거한다. 목표 주파수 값에 이를 때까지 반복하여 부자유도로 하나씩 소거한 후 남은 자유도를 주자유도로 선정 한다. 그 밖에 주자유도 선정 방법으로 에너지 판별 법과 요소 에너지 판별법 그리고 부구조화 기법을 적용한 방법 등이 있다.
A.3 자유도 선정에 따른 정확도 분석
주자유도 선정은 축소 시스템의 해석 신뢰성에 직접적 영향을 준다. 수 치 해석적 의미 외에도 주자유도는 구조물의 동적 해석에서 최적의 센서 위치로써의 의미를 가진다. 위에 언급한 주자유도 선정 방법 외에 주자 유도를 임의로 넣는 경우가 있다. 예를 들면, 물질 간의 특성이 변화하 는 경계 등 해석에 큰 영향을 준다고 판단되는 절점이나 시스템에서 측 정하고자 하는 관심 절점의 경우 주자유도로 선정한다. 그러나 이러한 경우 주자유도에서의 강성 차가 크면 해석의 정확성에 문제가 발생하며 이러한 원인을 스프링이 연결된 간단한 보 모델을 통해 살펴보고자 한다.
이는 그림 9 와 같다. 각 보 요소의 강성과 질량은 서로 같다.
30
Figure 9 Bar connected spring model
위의 시스템에서 강성과 질량의 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2 1 0 0
1 2 1 0
K k 0 1 2 1
0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0
M m 0 0 1 0
0 0 0 1 2
é - ù
ê- - ú
ê ú
= ´ê - - ú
ê - + aú
ë û
é ù
ê ú
ê ú
= ´ ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(33)
식(33)의 강성행렬 K 의 α는 스프링 강성 대 보의 강성 비를 나타낸다.
스프링과 보가 연결된 경계 점 N5 는 일반적으로 물리적 특성이 변화는 경계 점이고 해석의 큰 영향이 주는 동시에 관측을 위한 절점으로 주자 유도에 선정이 된다. 임의로 N5 를 주자유도 선정함으로써 축소 시스템 상태에 어떠한 영향을 주는지 확인한다. N5 주자유도 선정 여부 따라 다음 그림과 같이 나타내었다.
31
Figure 10 Bar connected with spring element showing PDOFs (+) and SDOFs (x) : (a) Selected N5 as PDOFs with N4 and (b) Selected N5 as SDOFs
with N2.
스프링 강성에 따른 축소 시스템 행렬식의 변화를 살펴보기 위해 Guyan 의 정적 시스템 축소 방법을 적용한다. 그림 10 의 모델에서 N5 를 주자유도로 선정한 축소 시스템은 다음 식과 같다.
R R
4k k 14m9 0
K 3 , M
k k(1 ) 0 m
2
é ù
é - ù ê ú
ê ú
=êë- + aúû = êêêë úúúû
(34)
N5 을 부자유도로 선정했을 경우 축소 시스템은 다음과 같다.
R
R
2
3k k
K 2
k k 2 1 1
5m 0
M 4
0 m 1 1
2(1 )
é - ù
ê ú
ê ú
=êêë- æçè - + aö÷øúúû
é ù
ê ú
ê ú
=êêë æçè + + a ö÷øúúû
(35)
N5 를 주자유도로 선정한 식(34)의 강성 시스템 KR을 살펴보면 α값이 커짐에 따라 해당 행렬의 요소 값이 무한히 커짐을 확인할 수 있다. 반
32
면 N5 를 부자유도로 선정한 경우에는 α값의 증가 여부에 상관없이 행 렬 요소가 수렴 값을 가진다. 이렇게 수렴된 값을 가지는 시스템은 스프 링 요소를 고정 경계 조건으로 대체한 축소 시스템과 일치하며 이와 관 련 식은 다음과 같다.
3k k
3k k 2
2 lim
k k 2 1
k 2k 1
a®¥
é - ù
é - ù ê ú
ê ú= ê ú
ê- ú ê- æ - öú
ë û êë çè + a÷øúû
(36)
위의 구성된 축소 시스템 식(34)와 식(35)의 고유 주파수 값을 분석적 방법으로 계산하였다. 식(34)와 식(35)로부터 계산한 고유 주파수 값은 각각 식(37)와 식(38)으로 표현된다.
2 2
1,2 2
2
(20 14 )km 36 168(1 )km 4Ak m 14m
where A 49 14 28
+ a ± + + a +
l =
= a + a +
(37)
2 2
1,2
2
2
4 3 2
1 3 2 3
4 5 km 16 5 km Bk m
4(1 ) (1 ) 1 1
5 1
2m 1 2(1 )
9 15 55 15
where B 10
16(1 ) 8(1 ) 16(1 ) 2(1 )
ì + æ - ö ü± + æ - ö +
í + a çè + a ÷ø ý + açè + a ÷ø
î þ
l = æ ö
ç + + a ÷
è ø
æ ö
=çè + a + + a - + a + + a - ÷ø
(38)
수치적 계산을 통한 계산 값은 표 3 에 나타내었다. 수치적 편의성을 위 해 각 요소의 k, m 값을 각각 1 로 계산하였다.
33
Table 3 Comparison of 1st Eigenvalue between from full system and from reduced system at Fig. 10(a) and (b) as relative error
1st Eigenvalue
α Full Reduced Relative error
N4,N5 as PDOFs
10-1 0.198 0.211 0.062
100 0.407 0.491 0.205
101 0.561 0.797 0.419
102 0.583 0.851 0.459
103 0.586 0.857 0.463
N3,N4 as PDOFs
10-1 0.198 0.204 0.026
100 0.407 0.421 0.033
101 0.561 0.592 0.054
102 0.583 0.617 0.058
103 0.586 0.620 0.059
N5 를 주자유도로 포함하는 축소 시스템 계산에서 스프링 강성이 올라 감에 따라 1 차 모드 고유치의 오차가 커짐을 확인할 수 있다. N5 가 부 자유도로 선정된 경우에는 스프링 강성 변화 상관없이 정확성이 보장된 다.