내용의 위계성이 강하고 학생간의 수준 차이가 큰 수학 교과에서 수준별 수업은 이에 대처할 수 있는 수업방법 중의 하나이다. 그러나 우리나라에 서는 대부분 시험 성적에 따라 일괄적으로 반을 구분하여 일정기간 고정 적으로 유지되는 형태로 운영되어왔다. 이와 같은 수준별 수업에 대해 많 은 비판이 있었고, 그 효과에 대해서도 일관되지 않은 결과들이 보고되었 다. 본 연구는 기존 수준별 수업의 문제점을 보완하면서 취지는 살릴 수 있는 수업방법에 대해 탐색하고, 이차방정식의 근의 공식을 주제로 수업을 실시하였다.
제Ⅱ장에서는 수준별 수업에 대한 선행연구들을 통해 기존 수준별 수업 의 문제점을 진단하고 이를 보완할 수 있는 방법으로 학급 내 수준별 수 업을 제안하였다. 그리고 이차방정식의 근의 공식 지도의 수준별 지도와 관련하여 증명 수준 이론에 대해 살펴보았다. 제Ⅲ장에서는 Ⅱ장에서 살펴 본 내용을 바탕으로 형식적 증명을 수준별로 지도해야 하는 이유를 설명 하였다. 증명 수준 이론을 토대로 이차방정식의 근의 공식 단원에서 수준 별 학습지를 설계하고, 실재 수업을 통해 그 효과를 확인하였다. 각 장의 세부적인 결과를 정리하면 다음과 같다.
제Ⅱ장에서는 수준별 수업과 증명 수준 이론 및 문자 수준 이론에 대해 살펴보았다. 동질집단편성으로서의 수준별 수업에 대한 찬반 논쟁은 여전 히 합의점이 보이지 않고 있다. 같은 맥락에서 수준별 수업이 수학 교과에 미치는 인지적, 정의적 측면의 영향에 대해서도 연구자마다 다양하게 나타 난다. 과거 동질집단 수준별 수업은 계열화(tracking)와 동일시되어 고정 적이고 불평등한 교육이며, 특히 낮은 수준의 학생들에게 차별적인 교육이 라는 비판을 받았다. 그러나 차별과 분류의 시각이 아닌, 학생들의 능력과 수준에 맞는 개별화된 수업을 제공한다는 점에서 수준별 수업은 필요에 따라 선택할 수 있는 유연한 집단 편성 방법 중의 하나이다. 학급 내 수준 별 수업은 이러한 수준별 수업의 장점을 유지하고 기존의 단점을 보완할 수 있다. 학급 내 수준별 수업은 학습 내용에 따라 필요한 경우에만 실시
할 수 있는 유연한 집단편성이고, 학생이 스스로 과제를 선택하게 할 수 있기 때문에 기존 수준별 수업의 문제점을 보완할 수 있다.
증명 수준과 관련된 선행연구로는 Branford의 증명 구분과 Miyazaki의 증명 수준 이론, van Hiele의 기하 사고 수준 이론에 대해 살펴보았다.
Branford는 증명의 수준을 실험적 증명, 직관적 증명, 과학적 증명의 세 범주로 구분하였다. 수학에서 말하는 엄밀한 증명은 과학적 증명에 해당하 지만, 학교 수학에서는 일반적이고 보편적인 정당화의 성격을 가지고 있다 는 점에서 직관적 증명부터 증명으로 간주될 수 있다고 하였다. Miyazaki 는 ‘내용’과 ‘표현’, ‘학생의 사고 과정’을 축으로 증명의 수준을 여섯 단계 로 구분하였다. 특히 학생의 증명 사고 수준 발달에 중요한 역할을 하는 증명 B는 ‘구체적 조작에서의 증명 B’와 ‘형식적 조작에서의 증명 B’로 나 누어지며, 구체적 조작에서의 증명 B에서 형식적 조작에서의 증명 B로의 수준 상승은 언어화를 통해 이루어진다. 구체적 조작에서의 증명 B는 Balacheff가 말한 포괄적 예에 해당하는 개념이며, 귀납 관찰에서 연역 추론으로 발전하는 중간 단계가 될 수 있는 것으로 보인다. 증명 B는 Branford의 직관적 증명과 관련된 것으로 보이며, 귀납적 사고에서 연역 적이고 형식적 사고로 진행하기 위한 중간 단계로 중요한 의미를 가진다.
Miyazaki의 이론은 증명에서 추론의 방식과 더불어 표현의 방법이 수준 상승에 중요한 역할을 할 수 있다는 점을 시사한다. van Hiele는 아동의 기하 사고 수준을 다섯 단계로 구분하고, 각 수준은 질적으로 차이가 있는 불연속적이고 위계적인 특성을 가지고 있다고 하였다. 그리고 각 수준은 그 단계 고유의 언어적 기호와 이를 연결하는 관계 체계가 있기 때문에, 서로 다른 수준에서 추리하는 두 사람은 서로를 이해할 수 없다고 하였다.
이와 같은 증명 사고의 특성을 미루어 볼 때, 사고 수준이 충분히 발달한 학생과 그렇지 않은 학생 사이 상호작용을 통해 증명 학습을 하는 것이 효과가 없을 수 있다는 시사점을 얻을 수 있었다.
van Hiele와 Miyazaki의 이론에서 증명의 수준 상승에는 언어도 중요한 역할을 한다는 것을 확인할 수 있었다. 형식적 증명에서 가장 중요한 표현 수단은 문자이다. 문자에 대한 이해 없이는 증명을 구성하는 것은 물론이
고, 증명을 읽고 정리를 이해하는 것도 어렵다. 따라서 Küchemann의 문 자 이해 수준을 중심으로 학생들이 문자 이해에 겪는 어려움에 대해 살펴 보았다. Küchemann은 문자 이해 수준을 총 4 단계로 구분하였고, 형식 적 증명에서 사용되는 문자는 수준 3 이상의 의미를 가진다. 그러나 학생 들의 문자 사용에 대한 다양한 연구들을 살펴보면, 학생들의 문자 이해 수 준은 수준 2 또는 수준 3에 머물러 있는 경우가 많았다. 즉, 형식적 증명 에 나타나는 문자의 의미를 이해하지 못하는 학생이 더 많다는 것이다.
제Ⅲ장에서는 Ⅱ장에서 살펴본 선행연구들을 바탕으로 근의 공식을 수준 별로 지도해야할 필요성에 대해 설명하고, 증명 수준 이론을 토대로 학습 지를 설계하여 수업을 실시한 결과를 분석하였다. 앞에서 살펴본 증명 수 준 이론을 통해 알 수 있는 것은 첫째, 귀납 추론에서 형식적 증명으로 발 달하는 과정을 위계적이고 순차적인 단계로 구분할 수 있다는 것이다. 둘 째, 형식적 단계로 넘어가는 단계에서는 구체적인 예에서 일반성을 파악할 수 있는 것이 중요하다. 셋째, 증명 사고의 수준 상승에는 언어가 중요한 역할을 한다. 이와 같은 각 요소들은 학생들의 수준 차이를 분명하게 구분 하고, 증명 학습의 성공 여부에 결정적인 역할을 한다. 따라서 형식적 증 명을 할 수 있는 학생과 그렇지 못한 학생을 구분하여 수준별로 지도해야 한다. 형식적 증명을 수행할 수 있는 학생들에게는 과학과 구분되는 수학 적 사고를 발달시킬 수 있도록 하고, 형식적 증명을 수행할 준비가 되지 않은 학생들에게는 전형식적 증명을 통해 증명의 아이디어를 직관적으로 이해할 수 있는 기회를 제공하는 것과 함께, 일반화의 아이디어를 통해 형 식적 증명의 수준으로 나아갈 수 있는 토대를 마련해 주어야 한다.
중학교 3학년 과정에 나오는 이차방정식의 근의 공식은 기하와 달리 조 작 가능한 눈에 보이는 대상을 찾는 것이 불가능하다. 또한 유도 과정에 사용되는 문자가 많고, 분수 형태와 여러 항으로 이루어진 문자식을 조작 해야한다는 점에서 매우 어려운 증명 중의 하나라고 볼 수 있다. 수업의 전반적인 흐름은 ‘근의 공식을 이용한 이차방정식의 풀이’라는 학습 목표 를 학급 전체가 공유하고, 근의 공식을 유도하는 부분을 수준별로 나누어 학습지를 이용하여 학습한 뒤 마지막엔 학급 전체로 학습한 내용을 정리
한다. 학습지는 세 수준으로 제작하였으며, 하 수준(A 유형)은 계수가 간 단한 정수인 경우에 대해 완전제곱식을 이용하여 방정식의 해를 찾아보고, 제시된 근의 공식에 계수를 대입하여 해를 구하는 내용으로 이루어졌다.
중 수준(B 유형)은 문자를 이용한 유도 과정을 일부분 제시하고, 계수가 정수인 경우의 풀이를 참고하여 나머지 부분을 완성할 수 있도록 하였다.
상 수준(C 유형)은 이차방정식의 일반적인 형태를 쓰고 처음부터 끝까지 스스로 문자를 이용하여 유도해보고, 이와 관련된 심화 탐구를 할 수 있도 록 하였다. 문자를 이용한 유도 과정을 학습지의 수준은 학생들이 직접 선 택하도록 하였으며, 본인의 학습 준비도에 근거하여 선택할 수 있도록 선 수 학습 확인 자료와 문자 이해 수준 확인 자료를 제공하였다.
수업 결과, 학생들은 본인이 선택한 학습지의 수준에 대해 만족했으며, 적절한 도전감을 얻었다. 하 수준 학생들의 경우 완전제곱식을 이용한 풀 이를 완전히 일반화했다고 할 수는 없지만, 같은 방식으로 다른 식을 풀 수 있다는 것을 깨달았다는 점에서 개별적인 사례 관찰에서 조금 더 발전 했다고 볼 수 있다. 그리고 중 수준의 학생들은 쉽지는 않았지만 문자 표 현을 통해 형식적 증명을 시도하였다. 상 수준의 학생들은 심화 문제에서 다양한 응답을 보여주었으며, 도전감을 제공하는 심화 학습을 통해 수학적 능력을 더욱 발휘할 수 있었다. 그리고 증명의 일반성을 파악하는데도 성 공하였다. 이와 같은 결과는 수준별 지도의 필요성을 확인할 수 있게 하였 다. 한편, 학습지 활동시간에 같은 유형의 학습지를 푸는 학생들끼리 함께 풀이하도록 권고하였다. 그 결과 학생들은 주로 같은 유형의 학습지를 푸 는 친구들과 서로 논의하였는데, 낮은 수준의 학생들은 더 높은 수준의 학 생들에게 질문하기도 하였다. 그러나 계산 결과를 확인하거나 구체적인 식 조작 방법을 교정 받는 종류의 상호작용일 뿐, 증명의 아이디어를 교류하 거나 표현 방법에 대해 논의하는 상호작용은 아니었다.
학생들 개별의 능력을 최대한 발휘할 수 있게 하는 수업은 매우 중요하 다. 학습 내용, 학생들의 학습 특성, 학습 환경 등에 따라 적절한 수업 방 식을 선택해야 하고, 학급 내 수준별 수업은 기존 수준별 수업의 문제점을 보완하면서 학습 준비도에 따른 수업을 제공할 수 있다. 학생들의 학습 준