l∥m, m⊥n이면l⊥n이다.
② l
n
m
01
단계 채점요소 배점
a의 값 구하기 4점
b의 값 구하기 4점
a+b의 값 구하기 2점
AB”와 꼬인 위치에 있는 모서리는CD”, CF”, DG”, EF”,
EG”, FG”의6개이므로a=6 yy`
DG”와 꼬인 위치에 있는 모서리는AB”, BC”, AC”, EF”의4개
이므로b=4 yy`
∴a+b=6+4=10 yy`
10
16
단계 채점요소 배점
a의 값 구하기 4점
b의 값 구하기 4점
a+b의 값 구하기 2점
△ACE와 △DCB에서 AC”=DC”, CE”=CB”
∠ACE=∠ACD+∠DCE=60˘+∠DCE
=∠BCE+∠DCE=∠DCB
∴ △ACE™△DCB(SAS합동) 또,△DCB에서 ∠DCB=120˘이므로
∠CDB+∠CBD=∠CAE+∠CBD=60˘
∴ ∠AFB=180˘-(∠CAE+∠CBD)
=180˘-60˘=120˘ ④
11
AD”=BE”=CF”, AB”=BC”=CA”이므로 AF”=BD”=CE”
△ABC가 정삼각형이므로
∠A=∠B=∠C=60˘
∴ △ADF™△BED™△CFE(SAS합동)
또한, FD”=DE”=EF”이므로 △DEF는 정삼각형이다. ③
12
사각형ABCD와 사각형EFGC가 정사각형이므로 BC”=DC”, GC”=EC”
∠BCG=90˘-∠GCD=∠DCE
∴ △GBC™△EDC(SAS합동)
∠GBC=90˘-64˘=26˘이므로 △GBC에서
∠BGC=180˘-(26˘+36˘)=118˘
따라서 ∠DEC=∠BGC=118˘이므로
∠DEF=∠DEC-90˘=118˘-90˘=28˘ 28˘
13
∠ABE=∠DCE=90˘-60˘=30˘이고, AB”=EB”=EC”=DC”이므로
∠AEB=∠DEC=;2!;_(180˘-30˘)=75˘
∴ ∠x=360˘-(75˘+60˘+75˘)=150˘ 150˘
14
△CHQ와 △BHP에서 ∠CHQ=90˘-∠BHQ,
∠BHP=90˘-∠BHQ이므로
∠CHQ=∠BHP yy`
또한, HC”=HB”, ∠HCQ=∠HBP=45°이므로 yy`
△CHQ™△BHP(ASA합동) yy`
∴PB”=QC”=4 cm yy`
4cm
16
a-2<a<a+3이므로 가장 긴 변의 길이는a+3이다.
yy`
따라서(a-2)+a>a+3이어야 하므로
a>5 yy`
a>5
15
③AB”의 대각은 ∠C이고, ∠C는 직각이다. ③
02
①CA”=2 cm인 경우 2+5=7
이므로 삼각형을 작도할 수 없다. ①
03
① 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같으므로 두
삼각형은 합동이다. ①
04
ABCD™ FGHE이므로
EF”=DA”=8 cm ④
05
다음 그림과 같이 서로 다른2개의 삼각형을 작도할 수 있 다.
③
A B
C
30˘
6 cm A 4 cm
C 30˘ B
6 cm 4 cm
06
③ 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어진 경우
⑤ 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 주어진 경우 ③,⑤
07
ㄴ. ∠B=∠E이면SAS합동
ㄹ. AC”=DF”이면SSS합동 ④
09
④,⑤
08
(2, 3, 4), (2, 4, 5), (3, 4, 5)의3개 ③
10
03작도와 합동
④10=6+4이므로 삼각형을 만들 수 없다. ④
01
단계 채점요소 배점
가장 긴 변의 길이가a+3임을 알기 4점
a의 값의 범위 구하기 6점
RPM
알 피 엠120˘+85˘+(180˘-∠x)=360˘
∴ ∠x=25˘ ①
구하는 다각형을n각형이라 하면 n-3=10 ∴n=13
따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다. ④
02
오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘이므로
102˘+98˘+74˘+(180˘-∠x)+70˘+110˘
=540˘
∴ ∠x=94˘ ④
08
구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
=36˘ ∴n=10
따라서 정십각형의 대각선의 총 개수는
=35(개) ∴a=35
또,내각의 크기의 합이1080˘인 정다각형을 정m각형이라 하 면
180˘_(m-2)=1080˘ ∴m=8 따라서 정팔각형의 한 외각의 크기는
=45˘ ∴b=45
∴2a-b=2_35-45=25 ③
114360˘8 10_(10-3) 11411122 114360˘n
09
∠ABC+∠ACB=180˘-50˘=130˘
∠BCD+∠CBE
=(180˘-∠ACB)+(180˘-∠ABC)
=360˘-130˘=230˘
∴ ∠PCB+∠PBC=;2!;_230˘=115˘
따라서 △PCB에서
∠x=180˘-115˘=65˘ ②
10
오른쪽 그림에서 삼각형의 외각 의 성질과 사각형의 내각의 크기의 합 은360˘임을 이용하면
(∠a+∠e)+∠c+∠d +(35˘+∠b)=360˘
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=325˘ ③ a
b c d
e 35˘
35˘+b a+e
11
오른쪽 그림에서
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e +∠f+∠g+∠h+∠i+∠j
=(오각형의 외각의 크기의 합)
=360˘
③ a b
c
d e f
g h j i+j
c+d g+h a+b
e+f i
12
180˘_(15-2)=2340˘ ③
03
육각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(6-2)=720˘
이므로
125˘+135˘+∠a+120˘+∠b+130˘=720˘
∴ ∠a+∠b=210˘ ②
04
오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘
이므로
(180˘-80˘)+115˘+∠x+90˘+(180˘-65˘)=540˘
∴ ∠x=120˘ ②
05
△ABC에서
∠DCE=;2!;∠ACE
=;2!;_(70˘+2∠DBC)
=35˘+∠DBC yy㉠
△DBC에서
∠DCE=∠x+∠DBC yy㉡
㉠,㉡에서 ∠x=35˘ ④
06
△PBC에서
∠PBC+∠PCB=180˘-120˘=60˘
사각형ABCD에서 ∠DAB=180˘-∠x이므로 2∠PBC+2∠PCB+85˘+(180˘-∠x)=360˘
07
단계 채점요소 배점
∠CHQ=∠BHP임을 알기 3점
HC”=HB”,∠HCQ=∠HBP임을 알기 2점
△CHQ™△BHP임을 알기 2점
PB”의 길이 구하기 3점
04 다각형
140˘+100˘+∠x=360˘에서 ∠x=120˘
2∠y-30˘=40˘+90˘에서 ∠y=80˘
∴ ∠x-∠y=120˘-80˘=40˘ ②
01
102˘
98˘ 110˘
74˘ x 70˘
사각형의 내각의 크기의 합은360˘이고,
∠EBA=∠EBC=∠a, ∠ECD=∠ECB=∠b라 하면 110˘+2∠a+2∠b+(180˘-80˘)=360˘
∴ ∠a+∠b=75˘
△EBC에서
∠x=180˘-(∠a+∠b)
=180˘-75˘=105˘ 105˘
13
정육각형의 한 내각의 크기는
=120˘
이고,△ABC는B’A”=BC”인 이등변삼각형이므로
∠BAC=;2!;_(180˘-120˘)=30˘
마찬가지 방법으로 하면 ∠ABF=30˘
∴ ∠x=∠APB(맞꼭지각)
=180˘-(30˘+30˘)=120˘ 120˘
180˘_(6-2) 112221116
14
x：(2x-20)=6：9, x：(2x-20)=2：3
3x=2(2x-20), 3x=4x-40 ∴x=40 ③
02
21：35=45：x, 3：5=45：x
3x=225 ∴x=75 ④
03
BO”∥CD”이므로
∠AOB=∠ODC
=40˘(동위각)
오른쪽 그림과 같이OC”를 그으면 OC”=OD”이므로
∠OCD=∠ODC=40˘
또, BO”∥CD”이므로
∠BOC=∠OCD=40˘(엇각) 따라서 ∠BOC=∠AOB이므로
μBC=μAB=4 cm ③
A O D
B C
40˘
40˘
40˘
8 cm 40˘
04
△OBC에서OB”=OC”이므로 ∠OBC=30˘
∴ ∠AOB=30˘+30˘=60˘
∠AOD=∠180˘-60˘=120˘
따라서60：120=μAB：6이므로
1：2=μAB：6 ∴μAB=3(cm) ③
06
오른쪽 그림에서 OA”=OB”=AB”이면
△AOB는 정삼각형이므로 ∠AOB=60˘
따라서 반지름의 길이와 현의 길이가 같을
때, 부채꼴의 중심각의 크기는60˘이다. ③
07
∠x=360˘_ 3 =108˘ ③ 21222252+5+3
05
△AHD에서
∠a+∠b+55˘=180˘
∴ ∠a+∠b=125˘
yy`
△BDF에서 ∠c=30˘+55˘=85˘ yy`
△BIE에서 ∠d=30˘+35˘=65˘ yy`
△FJE에서 ∠e=35˘+∠c=35˘+85˘=120˘ yy`
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
=125˘+85˘+65˘+120˘
=395˘ yy`
395˘
a 30˘ e
b d
c 55˘
35˘
A
E H J
B G F
C
I D
16
한 외각의 크기는
180˘_ =30˘ yy`
주어진 정다각형을 정n각형이라 하면
=30˘ ∴n=12
따라서 주어진 정다각형은 정십이각형이므로 yy`
대각선의 총 개수는
=54(개) yy`
54개 12_(12-3)
211112352 2125360˘n
21255+11
15
단계 채점요소 배점
한 외각의 크기 구하기 3점
주어진 정다각형 구하기 3점
대각선의 총 개수 구하기 4점
단계 채점요소 배점
∠a+∠b의 크기 구하기 2점
∠c의 크기 구하기 2점
∠d의 크기 구하기 2점
∠e의 크기 구하기 2점
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e의 크기 구하기 2점
05 원과 부채꼴
② 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.
②
01
A
O B 60˘
RPM
알 피 엠정팔각형의 한 내각의 크기는 =135˘
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_4¤ _;3!6#0%;=6p(cm¤ ) ③ 180˘_(8-2)
08
8 강아지가 움직일 수 있는 영역은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같 으므로 구하는 넓이는
yy`
p_6¤_;4#;+p_2¤ _;4!;=28p(m¤ ) yy`
28pm¤
4 m 6 m 2 m
15
2 m(색칠한 부분의 둘레의 길이)
=2p_12_;3@6!0);+2p_6_;3@6!0);+6+6
=21p+12(cm) ④
09
오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓 이는 ㉠+㉡+㉢이므로
2_{4_4-p_4¤ _;4!;}+4_4
=2(16-4p)+16
=32-8p+16
=48-8p(cm¤ ) ⑤
8 cm
8 cm
10
세 종류의 꽃을 심는 밭의 호의 길이의 비는 (무궁화)：`(튤립)：(장미)
=40：30：20
=4：3：2 yy`
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 yy`
꽃을 심는 밭의 중심각의 크기는
(무궁화)=360˘_ =160˘, (튤립)=360˘_ =120˘,
(장미)=360˘_ =80˘ yy`
무궁화：160˘, 튤립：120˘, 장미：80˘
21222254+3+22 21222254+3+23
21222254+3+24
16
(색칠한 부분의 넓이)
=(부채꼴BA'A의 넓이)+(지름이A'B”인 반원의 넓이) -(지름이AB”인 반원의 넓이)
=(부채꼴BA'A의 넓이)
=p_10¤ _;3¢6∞0;
=;;™2∞;;p(cm¤) ③
11
곡선 부분의 길이는 2p_6=12p(cm) 직선 부분의 길이는 12_3=36(cm)
∴(끈의 최소 길이)
=12p+36(cm) ③
12
△OBC에서OB”=OC”이므로
∠OCB=∠OBC=20˘
∠BOC=180˘-(20˘+20˘)=140˘
∠AOC=180˘-140˘=40˘
∴μAC：μBC=40：140=2：7 2：7
13
① 삼각뿔대-사다리꼴
② 사각뿔-삼각형
③ 오각뿔-삼각형
⑤ 정십이면체-정오각형 ④
02
원이 지나간 자리는 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
∴ ㉠+㉡+㉢
=p_4¤
=16p(cm¤ ) 이므로 구하는 넓이는
(20_4)_3+16p=240+16p(cm¤ )
(240+16p)cm¤
20 cm 4 cm A B C
14
단계 채점요소 배점
강아지가 움직일 수 있는 영역을 그림으로 나타내기 5점
영역의 넓이 구하기 5점
단계 채점요소 배점
세 종류의 꽃을 심는 밭의 호의 길이의 비 구하기 3점 호의 길이와 중심각의 크기의 관계 이해하기 3점 꽃을 심는 밭의 중심각의 크기 구하기 4점
06다면체와 회전체
① 오각뿔대：7개
② 육각뿔대：8개
③ 육각기둥：8개
④ 칠각뿔대：9개
⑤ 정팔면체：8개 ④
01
12 cm
12 cm 12 cm
120˘ 120˘
120˘
03
③①, ②, ③, ④12개
⑤15개 ⑤
04
⑤ 원뿔-이등변삼각형 ⑤
06
① 각 면이 정오각형인 정다면체는 정십이면체이다.
② 정팔면체는 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가4개이고,정이 십면체는 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가5개이다.
④ 정다면체의 각 면은 정삼각형,정사각형,정오각형뿐이다.
⑤ 각 면이 정삼각형인 정다면체는 정사면체,정팔면체,
정이십면체이다. ③
07
주어진 전개도로 정팔면체를 만들면 오른쪽 그림과 같으므로 FG”와 겹치는 모서리는AB”이다.
① J(H)
D
A(G) C(E) B(F)
I
08
09
①⑤ A A
B C
B C l
⇨
10
④
③ ①
②
11
⑤12
③어떤 각뿔대를n각뿔대라 하면 3n-(n+2)=20, 2n=22
∴n=11
따라서 주어진 입체도형은 십일각뿔대이므로 꼭짓점의 개수는
11_2=22(개) 22개
13
v-e+f=2에 f=;5@;e, v=;3@;e를 대입하면
;3@;e-e+;5@;e=2
∴e=30
∴f=;5@;e=;5@;_30=12
따라서 구하는 정다면체는 정십이면체이다. 정십이면체
14
회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 오른쪽 그림과 같다.
yy`
(큰 원의 넓이)=p_7¤
=49p(cm¤ ) (작은 원의 넓이)=p_2¤
=4p(cm¤ ) yy`
따라서 구하는 단면의 넓이는
49p-4p=45p(cm¤ ) yy`
45pcm¤
7 cm 2 cm
15
⑴
yy`
⑵ 부채꼴의 중심각의 크기를x˘라 하면 2p_9_;36{0;=2p_3
∴x=120(˘) yy`
⑴ 풀이 참조 ⑵120˘
9 cm
3 cm
16
ㄴ. 원기둥의 단면은 자르는 방향에 따라 직사각형, 원, 타 원 등 여러 가지이다.
ㄹ. 원뿔, 원뿔대의 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 모두 원이지만 그 크기는 다르다.
②
05
단계 채점요소 배점
단면의 모양 이해하기 4점
큰 원과 작은 원의 넓이 구하기 4점
단면의 넓이 구하기 2점
단계 채점요소 배점
전개도 그리기 5점
부채꼴의 중심각의 크기 구하기 5점
07 입체도형의 겉넓이와 부피 밑면인 원의 반지름의 길이를rcm라 하면 2pr=6p ∴r=3(cm)
따라서 구하는 원기둥의 부피는
p_3¤ _4=36p(cm‹ ) ④