2. 채널저류층의 특성화
2.3 이산코사인변환법
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코사인 함수를 이용하고 계수의 개수도 같게 된다. 식 (2.9)는 변환된 자료인 𝑣(𝑘)를 넣어 원래의 자료인 𝑢(𝑛)으로 역변환(inverse discrete cosine transform, IDCT)하는 과정이다. 변환과 역변환 과정에서 원래 자료의 수만큼 코사인 계수를 사용한다면 자료손실 없이 온전히 원래 자료를 다시 얻는다.
하지만 대개의 경우 DCT로 변환한 모든 코사인 계수를 사용하지 않는다. 이는 코사인의 파장이 큰, 즉 저주파인 곳에서 에너지 집중 현상이 나타나는 것에 기인한다. 저주파의 코사인은 고주파의 것보다 전반적인 경향을 나타내는 정보를 갖는다. 사람이 육안으로 알아볼 수 있는 풍경이나 인물 등의 이미지 정보는 보통 일관된 경향이나 패턴을 가지므로 DCT계수의 일부만으로 이를 나타낼 수 있다.
특정 행렬을 DCT로 변환하여 계수를 얻을 때, 왼쪽 위의 성분일수록 저주파 코사인의 계수이며 오른쪽 아래의 성분일수록 고주파 코사인의 계수이다. 따라서 변환된 자료의 행렬에서 왼쪽
𝑣(𝑘) = 𝛼(𝑘) ∑ 𝑢(𝑛)𝑐𝑜𝑠 [𝜋(2𝑛 + 1)𝑘
2𝑁 ]
𝑁−1
𝑛=0 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1 (2.7)
𝛼(𝑘) ≡ {√2/𝑁 , 𝑘 = 0
√1/𝑁, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1 (2.8)
𝑢(𝑛) = ∑ 𝛼(𝑘)𝑣(𝑘)𝑐𝑜𝑠 [𝜋(2𝑛 + 1)𝑘 2𝑁 ] ,
𝑁−1
𝑛=0 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 (2.9)
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위의 일부 성분들만을 이용하더라도 이미지의 전반적인 특징이 파악된다.
Fig. 2.5는 8×8의 DCT 코사인 함수를 보여준다 (Jafarpour and
McLaughlin, 2007). 오른쪽으로 이동하면 가로방향으로 주기가
짧아지고 밑으로 이동하면 세로 방향으로 주기가 짧아진다. 왼쪽 위의 성분일수록 큰 경향을, 오른쪽 밑의 성분일수록 정보의 미세한 부분을 나타낸다.
Figure 2.5 Discrete cosine trasnform bases for 8 by 8 image representation (Jafarpour and McLaughlin, 2007).
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Fig. 2.6은 JPEG 이미지 파일을 DCT로 변환하고 그 중 좌측
상위 일부 성분만을 역변환하여 나타낸 예들이다. Fig. 2.6a는 원래 이미지로서 서울대 정문을 촬영한 흑백사진이다. Fig. 2.6b는 원래 변환된 계수 중에서 좌측 상위 300개의 성분, 전체 중 0.5%에 해당하는 성분만을 역변환하여 나타낸 것이다. 전체의 0.5%만으로도 구조물의 모양은 물론 선과 명암까지 구분할 수 있다. 손실되는 자료가 많아 질수록 선이나 배경의 구분이 모호해지고 미세한 부분은 파악하기 어려워지지만 전반적인 구조를 파악하는데 무리가 없다(Fig. 2.6c, 2.6d).
Figure 2.6 Examples of DCT application on JPEG file using part of upper left triangular coefficients.
(a) Original image (b) 0.5%
(c) 0.05% (d) 0.01%
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Fig 2.7은 75 × 75 격자시스템의 채널저류층 모델에 DCT를
적용하여 얻은 성분 중 전체의 8%만을 이용하는 과정이다. 첫째로, 원래 이미지 정보에 DCT를 적용하면 변환된 계수들을 얻는다. 이들 계수들은 코사인 함수에 따라 음이나 양의 값을 갖고 변화의 폭이 크기 때문에 절대값을 취하고 자연로그를 적용한 값으로 가시화하였다. 둘째 그림에서는 채널이라는 특정 패턴과 DCT의 특성 때문에 좌측 상위의 계수들이 큰 값들을 갖는다. 셋째로, 좌측 상위 행렬만을 선별한다. 마지막으로, IDCT를 수행하면 채널과 배경 간 경계의 뚜렷함은 약해지지만 패턴은 확실히 파악되는 이미지를 얻는다. 채널저류층 특성화 과정에서도 이와 같이 DCT를 적용하고 일부 DCT 성분만으로 채널특성을 파악할 수 있다.
Figure 2.7 Example of DCT application on a channel reservoir model in 75 by 75 grid system.
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DCT를 적용할 때 어느 부근의 성분을 이용하느냐에 따라
정보의 압축효율이나 세부적인 부분이 달라질 수 있다. Jafarpour와
McLaughlin(2007)은 계수의 크기 순으로 정렬하여 그 중 일정 수를
이용한 경우, 변환 성분들 중에서 좌측 상위 일정 수의 성분을 이용한 경우, 정보의 방향성을 파악하여 적합한 계수들을 이용한 경우를 비교하였다. 계수의 크기 순으로 정렬했을 때는 더 많은 계수를 쓸수록 실제 정보와의 오차가 감소하였다. 정보의 방향성을 파악한 경우는 좌측 상위 일정 부분을 아무 기준 없이 사용했을 때보다 채널 이미지를 더 효율적이고 세밀하게 나타낼 수 있었다.
Fig. 2.8은 저류층 유체투과율을 DCT계수 중 좌측 상위 대각
성분을 전체 중 몇 퍼센트 사용할 때 적절히 나타낼 수 있는가를 보인다. Fig. 2.8a~c는 75×75 격자, Fig. 2.8d~f는 39×39 격자이다. (c)와 (f) 에서는 1%만으로 채널패턴을 명확히 파악하기가 힘들고 (b)와
(e)의 4%로 패턴은 확인되지만 배경과 채널 간의 경계가 모호하다.
(a)와 (d)의 8%에서는 채널의 특성인 연결성과 패턴 모두 확인할 수
있다. 본 연구에서는 가로와 세로의 방향성을 모두 고려한 안정적 성분의 비율은 전체 중 8% 정도이다.
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Figure 2.8 Sensitivity analysis for the amount of DCT coefficients used for channel reservoir images: (a)~(c) 75 by 75 grid system, (d)~(f) 39 by 39 grid
system.
(a) 8% (b) 4% (c) 1%
(d) 8% (e) 4% (f) 1%
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