미분과 도함수

1. 미분의  정의  

2. 다항함수의  미분   3. 미분의  성질

미분과 도함수

미분의 응용

(

변화율

)

다음과같이  수조에  물을  채울때   시간당  높이의  변화율을  구하시오
 (교과서  60  페이지  연습문제  5.10)   높이의  변화율  (dh/dt)

h 40 m

5 m³/s

미분의 응용

(

함수의 최대값

,

최소값

)

모든  미분가능한  함수  (  f  )는     극값  (최대값,  최소값)에서  


도함수  (f  ’)가  0  의  값을  갖는다.  





y    =    x³  -  4x   y’  =  3x²  -  4





(“도함수가  변화율을  나타난다”

고  생각하면  너무  자명한  결과...)

-5 -2.5 0 2.5 5

-2.5 2.5

y=x³  -  4x (x³  -  4x)’

미분의 응용

(

함수의 최대값

,

최소값

)

지면에서  쏘아올린  물체의  높이가   x  =  30  t  -  5  t²    로  나타날때    물체 가  가장  높은지점에  도달할때의  시 간과  그  최대  높이를  구하시오  

0 2.5 5 7.5

8 16 24 32 40 48

h

t

미분의 응용

(

함수의 최대값

,

최소값

)

미분의 응용

(

함수의 최대값

,

최소값

)

-1 0 1 2 3 4

2.5 5 7.5

10

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 1

2 3

적분의 응용

다음과  같은  구조의  지형이  있을때


B  지역의  흙을  이용하여  A  를  채우려한다면
 B  지역을  어디까지  깎아야하는가?

A

B

h=xe^x

x?

-0.5π -0.25π 0 0.25π 0.5π

-0.8 -0.4 0.4 0.8

적분의 응용

어떤  통의  내부  반지름과  높이가  다음과  같을때  

이  통안에는  와인을  최대  몇  리터까지  담을수  있는지  계산하시오.  


길이  단위는  미터  (m)이며  m³  는  1000  리터  이다.  


y=0.5 cos(x)

x=π/4 x=-π/4

x=π/2

적분의 응용

고도  (z)  에  따른  대기압  (p)은  다음  식을  따른다.  

위  식은  아래와  같이  나타낼  수  있고  

대기의  온도를  상수로  (T=261  K)  가정하여     RT/g  =  7,500  (m),  그리고  지구의  지표면  
 기압이  1000  hPa  이라고  할때  대기압이  
 500  hPa일  때와  100  hPa일  때의  


대략적인  고도를  구하시오.  

(*  ln  2  ~  0.7;      ln  10  ~  2.3)

dp(z)

dz = −ρg p=ρ^RT

ρ  밀도,  g  중력가속도  (10  m  s^-2)


T  대기온도,  R  기체상수  (287  m²  s^-2  K^-1)  

0 250 500 750 1000

-4 4 8 12 16 20 24

z (km)

pressure (hPa)

RT g

dp(z)

dz = −p