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이학석사학위논문
엑셀 VBA를 이용한 로그선형분석 프로그램
Appl i cat i on Fr amef orLogl i nearAnal ysi swi t h ExcelVBA
2013년 2월
서울대학교 대학원 통 계 학 과
김 성 민
엑셀 VBA를 이용한 로그선형분석 프로그램
지도교수 조 신 섭
이 논문을 이학석사 학위논문으로 제출함 2012년 10월
서울대학교 대학원 통 계 학 과
김 성 민
김성민의 이학석사 학위논문을 인준함 2012년 12월
위 원 장 박 병욱 (인)
Appl i cat i on Fr amef orLogl i nearAnal ysi swi t h ExcelVBA
by
Sung-min Kim
A thesis
submittedin partialfulfillmentof
therequirementforthedegreeofMasterofScience in theDepartmentofStatistics
SeoulNationalUniversity December,2012
국 문 초 록
자료 분석을 위해서 주로 사용되는 통계 분석틀(package)로 는 SAS,SPSS,R 등을 들 수 있다.하지만 대부분 사용이 어 렵거나,영문으로 되어 있어 일반인들이 사용하기에는 어려움 이 있으며,고가의 비용을 들여서 구입해야 한다는 부담이 있 다.
본 논문에서는 통계 분석을 위한 분석틀 개발에 필요한 기 본 개념들을 정리해 보고,이러한 개념을 적용하여 로그선형분 석에 적합한 분석틀을 개발하였다.일반인들이 보다 편리하고 쉽게 통계 자료 분석을 할 수 있도록 입출력의 용이성 및 사 용의 보편성을 갖춘 엑셀(EXCEL)을 개발의 기본도구로 삼았 다.
주요어 :통계 분석틀,엑셀,로그선형분석
차 례
1.서론
2.로그선형분석
3.KESS의 로그선형분석과 패키지별 비교
4.KESS에서 로그선형분석 실행 방법
5.맺음말 및 추후과제
참고문헌
Abstract
1.서 론
로그선형분석(loglinear analysis)은 변수들 사이의 독립성을 알아보는 통계적 방법이다.즉,카이제곱검정(교차분석)의 확장 형태로서 적어도 두 개 이상의 범주형 변수가 반응변수인 경 우에 널리 쓰이는 분석이다.특히,의료 산업에서 특정 질병에 대한 환경 및 유전요소의 영향이나 서로 간의 독립성을 추정 하기 위한 목적 등으로 쓰인다.
이러한 경우,현재 가장 많이 사용되고 있는 통계 패키지는 SAS,R과 SPSS 등을 들 수 있다.위 통계패키지들은 로그선 형분석에 필요한 여러 가지 기능들을 다양하게 제공하고 있으 나 대부분 사용이 어렵거나,영문으로 되어 있어 일반인들이 사용하기에는 어려움이 있으며 고가의 사용료를 들여서 구입 해야 한다는 부담이 있다.
서울대학교에서는 일반인들이 보다 편리하고 쉽게 통계 자료 분석을 할 수 있도록 Excel에서 구동되는 교육용 한글 통계 소프트웨어인 KESS(2007)를 개발하여 제공하고 있다.본 논문 에서는 로그선형분석을 위한 프로그램을 ExcelVBA를 통해 구현하였고,이를 KESS에 부메뉴로 추가함으로써 KESS에서 로그선형분석이 가능하도록 하였다.
본 논문은 총 5장으로 구성되어 있다.먼저 연구의 배경 및 목적을 제시하였고,로그선형분석에 대한 설명,KESS의 로그 선형분석과 다른 패키지별 비교,마지막으로 KESS에서의 실 행 방법과 연구의 결론 및 향후 전망에 대해 기술하였다.
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2.로그선형분석
자료들을 세 개의 범주형 변수들에 따라 교차 분류한
× × 분할표를 고려해 보자.이 세 변수들의 수준수는 각 각 ,, 임을 나타내며,와 는 각각 번째 행,번째
열,번째 층에서의 칸도수와 기대도수를 의미한다.세 변수가
통계적으로 독립일 때,각 칸에 대한 기대도수 {}는 행과 열,층의 주변합에 의하여 다음과 같이 정의된다.
(2.1)식 (2.1)에 자연로그를 취하면
ln ln ln ln ln (2.2)
여기서 로그선형모형이라는 말이 유래되었고,다시 이 방정식 을 다음과 같이 분산분석형태의 기호를 써서 표현할 수 있다.
ln
모수 는 변수 의 번째 수준의 효과를 나타내고 모수 와 는 각각 변수 와 의 ,번째 수준의 효과를 나타낸 다.만약 세 변수가 독립이 아니라고 가정하면 세 변수들 간의 구조적 관계를 표현할 수 있는 다른 형태들은 다음과 같다.
① 두 개의 변수의 결합과 나머지 한 변수가 독립
② 하나의 변수가 조건으로 주어졌을 때,나머지 두 변수의 조건부 독립
③ 두 변수의 교호작용이 세 번째 변수값에 영향을 받지 않 는 모형
④ 세 변수들과 관계있는 2차 교호작용으로 어떤 두 변수들 간의 교호작용이 세 번째 변수값에 종속적인 모형
위의 모든 항들은 특별한 경우이고,일반적인 로그선형모형의 형태는 다음과 같이 두 가지로 나타낼 수 있다.
ln
ln
는 0과 1로 이루어진 × 행렬을,′
,′
는 각각 × , × 벡터를 의미한다.2-1.모수의 추정 및 유의성 검정
로그선형모형의 일반적인 형태는 아래와 같다.
ln
앞에서 예로 든 것처럼 단순성을 위해 각 셀에 대한 모형을
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사용하는 경우도 있으나,여러 변수들을 모두 고려한 다차원의 일반적인 형태는 위에서처럼 행렬로 표현한다.여기에서 는 각각 독립인 포아송 확률변수를 가정하고 아래와 같은 기댓값 을 가지며,
exp′
모수 의 추정을 위해 최대 가능도(maximum likelihood)방 법을 사용한다.
각 표본이 포아송 분포를 따르므로,각 표본의 확률 분포는 다음과 같다.
,
exp′,
′
,′
를 의미하고 반응변수 는 포아송 확률변수(Poissonrandom variable)로 가정 한다.각 관측값들이 독립이므로,가능도 함수는
이며,로그 가능도 함수는 다음과 같다.
ln ln
ln
ln
exp′ 이므로 로그 가능도는 다음과 같이 표현될 수 있다.
ln
′
exp′
exp
ln
로그 가능도의 최댓값을 구하기 위해서는,이것의 도함수,즉, 기울기함수(gradientvector)g()값을 0으로 만드는 를 찾 으면 된다.로그선형모형의 로그 가능도 함수는 오목(concave) 하기 때문에 미분해서 0이 되는 점이 모든 정의역에서의 최댓 값이다.따라서 방정식
ln
의 해가 구하려는 값이 된다.그리고 이 방정식의 해를 구하기 위해 수치 해석적 방법인 뉴턴의 방법(Newton’s method)이 사용되는데,이를 위해 이계도 도함수 (Hessianmatrix)
ln
- 6 -
가 사용되며,다음을 만족한다.
ln
뉴턴의 방법은 주어진 점화식에 값을 반복(iteration)해서 대 입함으로써 값이 정확한 해로 수렴해 가도록 하는 근사법으로 서 그 점화식은 다음과 같다.
′ ′
이 점화식에 들어가는 초기 값은 일반적으로,절편(intercept) 을 제외한 모든 회귀계수가 0인 상수로 정한다.그리고 상수를
ln
로 정하고, 로 시작하여
Pr exp
가 되도록 하는 것이 일반적인 방법이다.
이제 가능도가 최댓값을 갖게 하는 모수의 값,즉 최대가능도 추정 값을 이라 하면,점근적으로 아래와 같은 등식이 성립
한다.
′
여기서 행렬 는 × 대각행렬로서,각 관측에서의 추정된 분산 값을 가진다.즉,포아송 가정하에서 행렬 는 다음과 같은 형태를 가진다.
′
위에서 설명한 뉴턴의 방법을 통해 로부터 이 계 산되고,로그가능도 함수는 오목한 형태이므로 이 커짐에 따라 와 는 각각 과 에 빠르게 수렴한다.단, 인 경우에는
과 같이 조정을 하기도 한다.
추정된 선형 측정자의 값이 exp′ 이므로,이를 확장 하면 반응변수 의 추정치는 아래와 같이 주어지게 된다.
exp .
2-2.적합성 검정
(1)가능도 검정(LikelihoodRatioTests)
가능도 검정은 완전모형(full model : FM)과 축소모형
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(reducedmodel:RM)의 비교에 사용된다.완전모형의 최대가 능도 함수에 로그를 취한 값의 2배와 축소모형의 최대가능도 함수에 로그를 취한 값의 2배를 비교하는 값이 검정통계량으 로서 아래와 같다.
lnR M
ln lnR M
표본의 개수가 크고 축소모형이 정확하다면,위 통계량은 완전 모형과 축소모형의 모수의 차이만큼의 자유도를 가지는 카이 제곱 분포를 따르게 된다.따라서,만약 값이 카이제곱 분 포의 유의수준 에 해당되는 값보다 커지면,축소모형이 정확 하다는 가설이 기각된다.
최대가능도 방법은 로그선형모형에도 적용될 수 있다.현재 사용된 모델(currentmodel)을 완전모형,기댓값을 상수로 가 지는 모형을 축소모형으로 적용한다.기댓값을 상수로 가지는 모형은 상수항을 제외한 모든 회귀계수가 0인 모형으로서 다 음과 같다.
exp
이 모형의 최대가능도 추정에 의한 관측값은 이다.여기 서 는 칸도수를 의미하며,은 전체 관측수를 의미한다.이 것을 대입하여 구해지는 값은 다음과 같다.
ln
ln
이 값이 클수록 최소한 한 개 이상의 회귀변수(regressor variable)가 의미가 있다는 것을 의미한다.왜냐하면 회귀계수 가 모두 0이 아니라는 것을 의미하기 때문이다.
(2)모형의 적합도(Goodnessoffit)검정
적합도 검정에는 대표적으로 이탈도,피어슨-카이제곱이 있으 며 이들 통계량은 귀무가설
을 검정한다.
① 이탈도(Deviance)
이탈도 검정은 위의 최대가능도 검정과 비슷하나,최대가능도 검정이 현재 모형과 발생확률이 상수인 모형을 비교하는 반면, 이탈도는 현재의 모델(selected model)과 포화모형(saturated model)을 비교함으로써 이루어진다는 차이점이 있다.포화모형 은 개개의 관측치(또는 같은 설명변수를 갖는 그룹)가 각자의 모수를 갖는 모델로 이해하면 된다.예측치=관측치 인 이상적 인 모형이라고 생각하면 된다.이를 나타내는 변수인 이탈도는
exp′
- 10 -
로 추정한 현재의 모델과 포화모델의 로그 가능도의 차이의 두 배로 정의한다.즉,
ln
이탈도는 일반적인 선형회귀모형에서의 로 이해하 면 된다.이탈도는 표본크기 이 클 때 분포를 따른 다.
검정 통계량 카이제곱 분포에서 백분위 확률이 인 점을 초 과 하면 선택모형이 적합하다는 귀무가설을 기각한다.
② 피어슨 카이제곱(Pearsonchi-squarestatistic)
추정된 모수를 통한 기대치와,관측치의 비교로써 이루어지는 통계량으로 피어슨 카이제곱 통계량(Pearson chi-square statistic)가 있으며,아래와 같이 정의된다.
이 통계량은 점근적으로 의 분포를 따른다.이 통계 량이 작다는 것은 모델이 만족할 만한 적합도(goodnessoffit) 를 보인다는 의미이다.
검정 통계량이 카이제곱 분포에서 백분위 확률이 인 점을 초과 하면 선택 모형이 적합하다는 귀무가설을 유의수준 에 서 기각한다.
2-3.로그선형모형에서 변수 제약조건
우리가 쉽게 접할 수 있는 많은 통계자료들은 질적특성 (Qualitativenature)을 가지고 있다.이러한 자료들은 여러 개 의 변수별로 범주화하여 로그선형모형을 적용 분석할 수 있는 데,이를 위해 가변수(dummyvariables)를 이용한다.
간단한 예를 들기 위해, 개의 범주를 갖는 라는 요인만을 설명변수로 가지는 모형을 생각하자.식으로 나타내면 아래와 같다.
ln ⋯
가변수를 개만을 취하는 이유는 중복을 피하기 위해서
이라는 제약조건을 사용하기 때문이다.패키지별로 다 양한 제약조건을 사용하는데,KESS에서는 위와 같은 영합조 건을 사용한다. 이차 교호작용항이 포함된 모형에서는
과 같은 조건을 설정하기도 한다.
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3.KESS의 로그선형분석과 패키지별 비교
통계 자료 분석 도구가 갖추어야할 중요한 요건 중의 하나는 사용자에게 편리한 인터페이스 환경을 제공해야 한다는 것이 다.또한 다양한 종류의 자료파일을 불러오거나 자료를 직접 입력할 수 있어야 하고,분석 결과를 효과적으로 보고서화 할 수 있어야 한다.MicrosoftExcel은 이러한 측면에서 매우 우 수한 스프레드시트 프로그램이며,자료의 관리 및 계산,그래 프의 작성 등을 손쉽게 할 수 있다는 점에서 일반인들에게 가 장 널리 사용되고 있는 프로그램이다.
위와 같은 점에 착안하여 KESS (2007)는 MicrosoftExcel을 개발의 도구로 삼았다.따라서 KESS에서는 Excel에서 제공되 는 모든 기능들을 그대로 이용할 수 있으며,일반인들이 편리 하게 통계분석을 할 수 있도록 한다는 점에서 통계 분석 도구 로써 상당한 장점을 갖고 있다.
기초적인 통계 분석은 Excel의 데이터 분석 도구를 통해서도 가능하다.그러나 KESS에서는 SAS,SPSS 등의 통계 패키지 에서와 같이 통계분석 도구를 메뉴 형식으로 제공함으로써, Excel의 데이터 분석 도구와는 차별화된 보다 통합적이고 체 계화된 형태의 통계 분석 프로그램을 제공하고 있다.그러나 현재까지 KESS에서는 로그선형분석을 제공하지 않고 있다.
이에 본 논문에서는 로그선형분석을 구현하였고 Excel의 [데 이터 분석]도구와 동일한 형태의 데이터 입출력 방식을 이용 하였다.또한 본 논문에서는 로그선형분석 도구를 독립적으로 제공하는 것에 그치는 것이 아니라 KESS에 부메뉴로 범주형 자료분석 도구에 로그선형분석을 포함시킴으로써 다른 분석들 과의 연계가 가능하도록 한 측면에서 본 논문의 개발의 의의
를 찾을 수 있다.
(1)개발에 사용된 툴과 프로그램의 구성
개발에 사용된 툴로는 MicrosoftExcelVBA(VisualBasic forApplication)를 이용하였다.VBA는 VisuaBasic편집기라 는 통합 프로그래밍 환경과 Basic 프로그래밍 언어를 조합한 것이다.
(2)개발 알고리즘 및 출력물의 구성
모수의 추정은 앞에서 언급되었듯,설명변수의 분포를 이항분 포로 가정하고 최대가능도를 Newton-Rhapsonmethod를 이용 하여 구한다.
출력형태는 모수 의 최대가능도 추정치가 주어지며 각 에 대한 검정 통계량과 유의확률,자료 요약표가 주어진다.그리 고 적합도를 판단하기 위한 통계량인 LR test, Deviance, Pearson및 AIC 등이 주어진다.
(3)패키지별 출력 가능한 결과들의 비교
SAS,한글 SPSS,R 및 본 논문에서 개발한 KESS의 패키지 별 로그선형분석의 내용과 출력 결과는 아래 <표 1>과 같다.
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SPSS SAS R KESS
데이터 개별 입력 *
교호작용 선택 * * * *
적합도
이탈도 * * * *
피어슨-
카이제곱 * * *
로그가능도 * * *
AIC * *
계획행렬 * * *
종속변수 요약표 * * *
<표 1> 패키지별 로그선형분석 내용 비교
(4)패키지별 로그선형분석의 출력 결과 비교
순환기질환 환자 400명을 대상으로 세 변수 성격유형(A,B, C),콜레스테롤(Normal,High),확장기 혈압(Normal,High)에 의해 교차 분류하였다.데이터를 바탕으로 각 변수들 사이의 이차 교호작용을 파악하고자 모형을 설정하였다.다음은 이에 대한 로그선형분석 출력 결과를 각 패키지 별로 비교한 표이 다.
SPSS SAS R KESS
모수추정
절편 3.285 3.2847 3.28472 3.2847
P1 -0.053 -0.0530 -0.05303 -0.053
P2 -0.034 -0.0339 -0.03387 -0.0339
C1 -0.196 -0.1961 -0.19614 -0.1961
B1 -0.538 -0.5380 -0.53803 -0.538
P1*C1 -0.163 -0.1627 -0.16273 -0.1627 P2*C1 -0.029 -0.0290 -0.02896 -0.029
P1*B1 0.103 0.1034 0.10343 0.1034
P2*B1 -0.074 -0.0740 -0.07400 -0.074
C1*B1 0.247 0.2467 0.24673 0.2467
LR test - - 178.2238 176.5532
Deviance 1.671 1.6706 1.6706 1.6706
Pearson 1.661 1.6609 - 1.6609
-2Log가능도 1090.900 1090.8997 - 1090.8997
AIC - - 83.154 83.15414
<표 2>패키지별 로그선형분석의 출력 결과 비교
P1*C1등 “*”을 써서 나타낸 항은 교호자용항을 의미하고,2 장에서 설명한 바와 같이 각 변수별로 영합조건을 적용하였기 때문에 “각 요인의 수준수 - 1”개만큼의 모수 추정값이 출력 되었다.
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Pearson 통계량의 SAS,KESS,R에 의한 각각의 출력 값에 약간의 차이가 있으나,대부분 같은 값을 출력하고 있음을 확 인할 수 있다.
4.KESS에서 로그선형분석 실행 방법
3장에서 언급되었던 자료인,성격유형(A,B,C),콜레스테롤 (Normal,High),확장기 혈압(Normal,High)의 세 가지 건강 지표를 변수로 갖는 자료를 로그선형모형으로 분석하는 방법 에 대해 설명하고자 한다.
로그선형분석의 실행을 하기 위해서는 KESS.XLA 파일을 열 면 된다.자료의 입력 방식은 워크시트의 첫 번째 줄은 변수의 이름을 지정하고,두 번째 줄부터 자료를 입력하는 형태가 기 본이다.<그림 4-1>과 같이 자료를 입력하고,메뉴의 통계분 석에서 범주형 자료분석 중 로그선형분석을 선택하면 <그림 4-2>와 같은 [로그선형분석]폼이 뜨게 된다.
<그림 4-1> 로그선형분석 데이터 입력 및 메뉴실행 화면
자료가 입력된 워크시트의 첫 번째 행을 변수 명으로 인식하 여 이것이 ‘변수’란에 표시된다.분석할 변수와 필요한 옵션들
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을 선택한 뒤 확인을 누르면 프로그램이 실행된다.여기서는 결과값 비교를 위해 이차 포화모형을 선택하였다.
<그림 4-2> 로그선형분석 초기 대화상자
로그선형분석의 실행 결과는 ‘_통계분석결과_’라는 새로운 워 크시트에 출력된다.출력 결과물은 각 모수에 대한 추정치 및 유의성 검정을 위한 통계량을 표시하며,모형의 적합도를 판단 하는 통계량인 LR test,Deviance,Pearson-chisquare,AIC 등 을 아래와 같이 출력한다.
<그림 4-3> 로그선형분석 결과
5.맺음말 및 추후과제
로그선형분석은 여러 통계 패키지에서 제공하고 있으나,통계 비전공자들이 쉽게 활용할 수 있도록 Excel에서 구동되는 분 석 도구의 일환으로 제공하고자 하였다.본 논문에서는 Excel 에서 구동하는 로그선형분석을 개발하되,사용자 입장에서 사 용자의 요구를 만족시키고,보다 편리하게 사용할 수 있도록 한다는 부분에 개발의 주안점을 두었다.특히 분석 시에 초기 자료를 지정하는 데에 있어서 범위 지정이 다른 통계패키지에 비해 용이하다는 것이 큰 장점이다.
또한 본 논문에서는 로그선형분석을 KESS에 부메뉴로 추가 시킴으로써 보다 넓은 차원에서 다양한 분야의 통계분석이 가 능하도록 하여 KESS의 활용도를 높이는데 의의를 두었다.
하지만 본 논문에서는 세 변수로 이루어진 로그선형분석만을 다루고 있다는 데에 그 한계가 있으며,추후에 고차 로그선형 분석을 할 수 있도록 확장한다면 KESS가 로그선형분석의 도 구로서 보다 높은 완성도를 가질 수 있을 것이다.
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참 고 문 헌
A.Agresti(2002)CategoricalDataAnalysis,John Wiley &
Sons.
R. Christensen (1997)Log-Linear Models and Logistic Regression,Springer-Verlag.
D.W.Hosmer and S.Lemeshow.(2000)Applied Logistic Regression,JohnWiley& Sons.
D.C. Montgomery, E.A. Peck, and G.G. Vining (2006) IntroductiontoLinearRegressionAnalysis,John Wiley
& Sons.
Abstract
Sung-min Kim Statistics,TimeSeries
TheGraduateSchool SeoulNationalUniversity
Statisticalpackagessuch asSAS,SPSS,R havebeen wedely used fordata analysis.Since mostofthem are developed in English, it is difficult to be used by generalpublic.And they putsome burden ofcoston users.
In the thesis we summarize thefundamentalconcepts necessary for the developmentof statisticalpackages and develop an loglinear analysis package based on these concepts.Since mostofthe windows menu and results are provided in Korean,the package is more user-friendly.EXCEL is used as a basis toolfor the developmentsince itis the mostwidely used package and is easy to use for the input and output of the data.
keywords :Application Frame,Excel,LoglinearAnalysis StudentNumber :2010-23061
