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2015학년도 9월 고2 전국연합학력평가
정답 및 해설
수학 영역
나형 정답
1 ④ 2 ④ 3 ⑤ 4 ② 5 ⑤
6 ③ 7 ② 8 ⑤ 9 ⑤ 10 ①
11 ④ 12 ① 13 ① 14 ③ 15 ① 16 ② 17 ② 18 ③ 19 ② 20 ③ 21 ⑤ 22 49 23 24 24 15 25 80 26 40 27 256 28 5 29 12 30 22
수학 영역
나형 해설
1. [출제의도] 지수 계산하기
×
×
×
2. [출제의도] 로그 계산하기 log log log log
×
log 3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기
lim
→∞
lim
→∞
4. [출제의도] 등차수열 계산하기
공차를 라 하면 ,
따라서
5. [출제의도] 집합의 연산 이해하기
주어진 집합들을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.
따라서 집합 의 모든 원소의 합은
6. [출제의도] 등비수열의 극한 이해하기
lim
→∞
×
lim
→∞
×
따라서
7. [출제의도] 함수의 극한의 성질 이해하기
lim
→
lim
→
×
×
8. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
lim
→
lim
→
9. [출제의도] 로그의 성질 이해하기 log
log log
log loglog
10. [출제의도] 평균변화율 이해하기
이고 ′
,
가 양수이므로 =1
11. [출제의도] 진리집합의 포함관계 이해하기 명제 ∼ → 가 참이기 위해서는 ⊂
≤ 이고 ≤
따라서 ≤ 이므로 자연수 의 개수는 4 12. [출제의도] 지수를 이용하여 수학 외적 문제
해결하기
×
따라서
13. [출제의도] 함수의 극한 이해하기
함수 의 그래프가 직선 에 대칭이므로
≠
lim
→
이므로 ,
lim
→
lim
→
lim
→
따라서
14. [출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
함수 의 그래프는
O
(ⅰ) ≤ 또는 ≥ 일 때,
(ⅱ) ≤ ≤ 일 때,
따라서 자연수 의 최댓값은
15. [출제의도] 유리함수의 그래프 추론하기 삼각형 AFD 와 삼각형 EFC 는 닮음이므로
AD EC D F CF
≤ ≤
따라서 함수 의 그래프의 모양은
O
16. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기
이므로 절대부등식의 성질을 이용하면
≥
×
(단, 등호는
일 때 성립)
17. [출제의도] 급수의 성질 이해하기
,
≥
그러므로 ≥
lim
→ ∞
→ ∞lim
lim
→ ∞
따라서
∞
18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기 (ⅰ) 일 때,
(좌변) , (우변)
이므로 (★)이 성립한다.
(ⅱ) ≥ 일 때 (★)이 성립한다고 가정하면
고 2 정답 및 해설 2015학년도 9월 전국연합학력평가
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⋯ 이므로
⋯
이다. 따라서 일 때도 (★)이 성립한다.
그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
≥ 인 모든 자연수 에 대하여
⋯ 이 성립한다.
, ,
따라서
×
19. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
함수
≥ 의 역함수는
이고 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 직선 위에 있다.
은 음이 아닌 서로 다른 두 실근 을 가져야 하므로
≥ ,
≤
이므로 정수 의 개수는
20. [출제의도] 부분집합의 개수 추론하기
은 원소 을 최소의 원소로 갖는 집합 의 부분집합의 개수이므로
ㄱ. (참)
ㄴ. , 이므로 (거짓) ㄷ. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
21. [출제의도] 등비급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
은 삼각형 PBR의 넓이와 삼각형 BCQ의 넓이의 합이므로
선분 BC의 중점을 M이라 하고
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 이라 하자.
A A D D
M
B C
R
B C
M
삼각형 RBM과 삼각형 RC M 은 닮음이므로
BM RM C M RM
BM
, RM
C M
, RM
AB A B RM RM
그러므로
따라서
lim
→ ∞
22. [출제의도] 합성함수 계산하기
∘
23. [출제의도] 도함수 계산하기
′ 이므로 ′
따라서
24. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기
lim
→∞
이므로 →∞lim
따라서
lim
→∞
25. [출제의도] 연속함수의 성질 이해하기 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
lim
→
lim
→
이므로
lim
→
,
lim
→
, 따라서
26. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
(가)에서 함수 은 이차항의 계수가 인 이차함수이고
(나)에서
lim
→
이므로
lim
→
lim
→
따라서 ′ 이므로 ′
27. [출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기 집합 의 원소 중에서 으로 나눈 나머지가
인 항을 작은 수부터 차례로 나열하면
⋯ 따라서
(별해)
,
이 의 배수가 되어야 하므로
⋯ ,
⋯ 따라서
28. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
점 A, B 이므로
AB
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이므로
,
따라서
29. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
역함수가 존재하려면 함수 가 일대일 대응 이어야 하므로
(ⅰ) ≥ 일 때, 함수 가 증가하여야 하므로
≤ , ≤
(ⅱ) 일 때, 함수 가 증가하여야 하므로
≥
(ⅲ) 는 에서 연속이어야 하므로
lim
→
lim
→
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
≤ , ≥ , 을 만족시키는 순서쌍
를 좌표평면 위에 나타내면 의 그래프가 을 지날 때 의 값이 최대가 된 다.
O
따라서 의 최댓값은 , 일 때
30. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
AB , BC , CD ,
DE , EF 이라 하면,
,
,
,
한편,
, AB ×
×
AB BC CD DE EF
,
따라서 오존은 광화학 반응에 의한 2차
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