수학 3-1
2012학년도 고등학교 반 배치고사 (2차)
수 학
<정 답>
1 ⑤ 2 ① 3 ⑤ 4 ④ 5 ⑤
6 ③ 7 ② 8 ③ 9 ② 10 ②
11 ⑤ 12 ③ 13 ② 14 ① 15 ⑤ 16 ④ 17 ① 18 ② 19 ④ 20 ③ 21 22 23 24 25
1. 준식
×
2. 준식 ×
3.
4. 준영 : , ∴
또는 정준 : , ,
, , ±, ∴ ±
5. 합이 짝수가 되는 경우는
ⅰ) 짝수+짝수+짝수
×
×
ⅱ) 짝수+홀수+홀수
×
×
ⅲ) 홀수+짝수+홀수
×
×
ⅳ) 홀수+홀수+짝수
×
×
ⅰⅱⅲⅳ를 모두 합하면
이다.
6. 의 한 근이 이므로
의 한 근이
이므로 두 식을 연립하여 계산하면 ,
주어진 방정식에 대입하면
에서 , 이므로
에서
, 이므로 따라서
7. 수직선에 가까운 쪽 점을 C라 하면 °회전시켰으므로 C는
원래 정사각형의 대각선의 중심에 위치한다.
따라서 AB
가 되어 A′의 좌표는 이다.
A
B A′
C
8. ㈎의 조건에서
㈏의 조건에서
㈐의 조건에서
도시의 전체 주민이 명이므로
이고
이므로
이다.
따라서 이다.
9. ㈎
10. 원뿔대를 대칭축을 중심으로 절단시키면 다음 그림과 같다.
이때, ∆AGE∆AFC이고, 닮음비가 이므로 모선의 길이의 비도 AE AC 이다. 또한, 점 E에서 선분 BC에 내린 수 선의 발을 H라 하면 CH 이고, EH
이므로 CE 이다.
따라서 AE AC 이다.
그러므로 원뿔대가 지나간 자리의 넓이는
∴
11.
변 AB와 호 BC가 만나는 점을 E, 삼각형 ABC의 꼭짓점 A 에서 BC에 내린 수선의 발을 F라 하고, AF 라 하자. 삼각 형 ABF에서
BF tan°
AF
AF
수학 3-2 이고, 삼각형 ACF에서
CF tan°
AF
AF
이다.
BC BF CF이므로
∴
이다.
한편, 삼각형 BCD는 직각삼각형이므로 CD 이며, 삼각형 ABC에 대하여 삼각형의 넓이 공식을 적용하면
× BC× AF
× AC× BD
AC
∴ AD AC CD
12. DBcos°×
AF DE DB BE
FC EF EC
tan° AF
FC
, ,
∴
13.
정의역
1.1 1 2 2
1.2 1 2 2
1.3 1 3 3
1.4 1 3 3
1.5 2 3 1.5
1.6 2 3 1.5
1.7 2 3 1.5
1.8 2 4 2
1.9 2 4 2
ㄱ. 치역은 정수가 아닌 수도 나올 수 있다.
ㄴ. 인 는 4개이다.
ㄷ. 이면 ≤ 인 것은 아니다.
14. ∩≠ ∅ 이므로 연립부등식
≤
은 해를 갖는다.
에서
, 에서 ≤
따라서 연립방정식이 해를 갖기 위해서는
이다.
따라서 이므로 자연수는 로 개다.
15.
이길 확률
가 이길 확률
따라서
16. ∆PAO ∆PBO는 원의 지름을 빗변으로 갖는 삼각형이므 로 ∠PAO ∠PBO °인 직각삼각형이다. 따라서 피타고 라스의 정리에 의해 PA 이다.
두 선분 AB와 PO가 만나는 점을 C라 하자. 이때, 선분 AB 는 선분 PO에 의하여 수직이등분 되고 있으므로 삼각형 PAO 에 대하여 넓이 구하는 방법을 적용하면
⋅PA⋅AO
⋅PO⋅AC
⋅⋅
⋅⋅AC, 즉, AC
∴ AB AC
17. 원래 케이크의 부피는
× × ×
×
이고, 각뿔대 모양으로 잘라낸 부분의 부피를 구하면
× ×
× ×
× ×
× ×
이므로 남은 부분의 부피는 이다.
18.
이므로 P 이고, A 이다. 직선 AP 의 방정식은 이고, 점 B 는 직선 AP와 축과의 교점이므로 B , 선분 AB의 길 이는 이므로 점 Q의 좌표는 이다.
19. 두 선분 GH와 AB가 만나는 점을 I라 하고,
수학 3-3 정사각형의 한 변의 길이 GH 라 하면 HI
이고, OI CI CO 이다. 또한, OH는 원의 반지름이므로 이다.
따라서 피타고라스 정리에 의해
,
±
∴
(∵ )
20. ㄱ. 선분 BD는 ∠B의 이등분선이므로 AB BC AD CD
ㄴ. 선분 BD와 AC는 수직이 아니므로 AD⋅CD BD는 성 립하지 않는다.
ㄷ. 그림과 같이 점 D에서 선분 AB, BC에 내린 수선의 발을 각각 G H라 하자.
∠BDE , ∠BDF 라 하면 ∠BDE ∠ADE ,
∠BDF ∠CDF 이다.
∠GDE ° , ∠FDH °
따라서 °이므로 °이고, ° °
° °, 즉, ∠GDE ∠FDH 그러므로 ∆GDE≡∆FDH이고, DE DF이다.
21.
이 유한 소수가 되기 위해서는
은
꼴이되어야 한다.
× ×이므로 × × × 이다.
따라서 의 최솟값 ,
가 되어
22. , , , 의 평균이 이므로
, , , 의 표준편차가 이므로
따라서
이고
따라서 최솟값은 이다.
23. 개의 케이크를 만들어 개를 판매하여야 원 이상 의 이익을 얻는다 하면,
≥ 이고, ≥ 이다.
따라서 구하고자 하는 최솟값은 이다.
24,
이고 P Q
∆PQB의 넓이가 ∆PQA의 넓이의 3배, PQ의 길이가 같으 므로 BQ OQ, OQ , BQ 이므로 B 이다. 점 B 는 의 그래프 위의 점이므로
이다.
(□PAQB의 넓이)(∆PQB의 넓이)(∆PQA의 넓이)
PQOQ BQ
×
× 이다.
25. 원의 중심 OO′에서 현 AB AC에 내린 수선의 발을 각각 DE라 하고, 선분 OO′의 중점을 F하자. 사각형 DOO′E은
OD O′E인 사다리꼴이고, 점 A는 변 DE의 중점, 점 F는 OO′의 중점이므로 AFOD O′E이다.
따라서 ∠EO′A ∠FAO′이고, 삼각형 AOO′은 직각삼각형이 므로 AF OF FO′이다. 또한 삼각형 AFO′는 이등변 삼각 형이므로 ∠AO′F ∠O′AF이다. 삼각형 AO′O와 삼각형 EO′A는 ∠AO′O ∠EO′A, ∠OAO′AEO′ °이므로 닮음이다. 따라서 AE AO′ OA OO′이므로 AE
이
다. 그러므로 BC AE
, , , 이다.
