Engineering Mathematics II

(1)

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch 13 Complex Numbers and Functions Ch 13 Complex Numbers and Functions Ch. 13 Complex Numbers and Functions Ch. 13 Complex Numbers and Functions

13 1 Complex Numbers Complex Plane 13.1 Complex Numbers. Complex Plane

13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots 13.3 Derivative. Analytic Functiony

13.4 Cauchy-Riemann Equations. Laplace’s Equation 13.5 Exponential Function

13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions 13.7 Logarithm. General Power

2

(3)

Ch 13 Complex Numbers and Functions Ch 13 Complex Numbers and Functions Ch. 13 Complex Numbers and Functions Ch. 13 Complex Numbers and Functions

13 1 Complex Numbers Complex Plane 13.1 Complex Numbers. Complex Plane

13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots 13.3 Derivative. Analytic Functiony

13.4 Cauchy-Riemann Equations. Laplace’s Equation 13.5 Exponential Function

13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions 13.7 Logarithm. General Power

3

(4)

Ch. 13 Complex Numbers and Functions Ch. 13 Complex Numbers and Functions C 3 Co p e u e s a d u c o s C 3 Co p e u e s a d u c o s

((복소수와 복소수와 복소함수 복소함수))

z 내용 : 복소수와 복소평면에서의 기하학적 표현,

Cauchy-Riemann 방정식에 근거한 해석성에 대한 검사법 Cauchy-Riemann 방정식에 근거한 해석성에 대한 검사법, 초등 복소함수

(5)

13.1 Complex Numbers.

13.1 Complex Numbers. Complex Plane33 Co p eCo p e uu e se s Co p eComplex PlaneCo p e a ea e

((복소수와 복소수와 복소 복소평면 평면))

z 복소수(Complex Numbers): 실수 x, y의 순서쌍 z=(x,y)= x+iy

• 실부(Real Part) : x = Re z

• 허부(Imaginary Part) : y = Im z

• 허수단위(Imaginary Unit) : i = (0,1)

• 순허수(Pure Imaginary) : z = iy (x = 0)

z 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈

• 덧셈 :

• 곱셈 :

(^x₁ ⁺^iy₁) (⁺ ^x₂ ⁺^iy₂) (⁼ ^x₁ ⁺ ^x₂) (⁺ⁱ ^y₁ ⁺ ^y₂)

(^x₁ ⁺^iy₁) (^⋅ ^x₂ ⁺^iy₂) (⁼ ^x₁^x₂ ⁻ ^y₁^y₂) (⁺ⁱ ^x₁^y₂ ⁺ ^x₂^y₁)

곱셈 :

• 뺄셈 : 나눗셈

(^x₁ ⁺îy₁) (^x₂ ⁺îy₂) (^x₁^x₂ ^y₁^y₂) (⁺ⁱ ^x₁^y₂ ⁺ ^x₂^y₁) (^x₁ ⁺îy₁) (⁻ ^x₂ ⁺îy₂) (⁼ ^x₁ ⁻ ^x₂) (⁺ⁱ ^y₁ ⁻ ^y₂)

( ₁ ₁)( ₂ ₂) ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ ₁ ₂

1

1 x y x y

y i y x x iy

x iy x iy

x + + − + −

• 나눗셈 : ( )( )

( ₂¹ ¹₂)( ²₂ ²₂) ¹₂²² ¹₂²² ²₂²¹ ¹₂²²

2 2

1 1

y x

y i y

y x

y y iy

x iy x

y y

iy x

y

+ +

= +

−

= + +

(6)

((복소수와 복소수와 복소 복소평면 평면))

Ex. 1, 2 Sum, Product, Difference and Quotient of Complex Numbers z₁ = 8+3i, z₂ = 9-2i

(7)

((복소수와 복소수와 복소 복소평면 평면))

Ex. 1, 2 Sum, Product, Difference and Quotient of Complex Numbers z₁ = 8+3i, z₂ = 9-2i

z₁+z₂ = 17+i, z₁-z₂ = -1+5i, z₁z₂ = 78+11i, z₁/z₂ = 66/85+(43/85)i

(8)

((복소수와 복소수와 복소 복소평면 평면))

z 복소평면(Complex Plane) : 복소수를 평면상의 점으로 기하학적으로 표시한 것 z 복소평면(Complex Plane) : 복소수를 평면상의 점으로 기하학적으로 표시한 것

(9)

((복소수와 복소수와 복소 복소평면 평면))

z 공액복소수(Complex Conjugate Number)

공액복소수

의

:

z x iy iy

x

z = − y = + y ^y₂ z = x + iy = 5 + 2i

5 x –2

y

z = x – iy = 5 – 2i z 공식

•

y

( ) ( )^z ^z

y i z z

z x

z = = + = = −

2 Im 1

2 ,

Re 1

•

( ) ( )

i 2

(^z₁ ⁺ ^z₂)⁼ ^z2₁ ⁺ ^z₂^,(^z₁ ⁻ ^z₂)⁼ ^z₁ ⁻ ^z₂

( ) ^⎜^⎛ ^z¹ ^⎟^⎞ ^z¹

• ( )

2 1 2

1 2

1 ,

z z z

z z

z ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

=

⋅

Ex 3 Complex Conjugate Numbers Ex. 3 Complex Conjugate Numbers

Z₁ = 4+3i, z₂ = 2+5i

(10)

((복소수와 복소수와 복소 복소평면 평면))

PROBLEM SET 13.1

HW 2 HW: 2

(11)

13.2

13.2 Polar Form of Polar Form of Complex Numbers.Complex Numbers.

Powers and Roots

((복소수 복소수의 의 극형식 극형식. . 거듭제곱과 거듭제곱과 근 근))

z 극형식(Polar Form) :

• 절대값 또는 크기(Modulus) :

(cosθ isinθ)

r iy x

z = + = +

z z y

x r

z = = ² + ² =

절대값 또는 크기(Modulus) :

• 편각(Argument) :

z z y

x r

z +

x z arctan y arg =

θ =

• 주값(Principal Value) :

x

π π < ≤

− z

z

z :arg , Arg

Arg

의 주값

• 삼각형부등식(Triangle Inequality) : z₁ + z₂ ≤ z₁ + z₂

• 일반화된 삼각형부등식 : ^y _z

2

z₁

z₁+ z₂

z z

z

z₁ + ₂ +"+ ≤ ₁ + ₂ +"+

x z₁

n

n z z z

z z

z₁ + ₂ + + ≤ ₁ + ₂ + +

(12)

13.2

((복소수 복소수의 의 극형식 극형식. . 거듭제곱과 거듭제곱과 근 근))

z 극형식에서의 곱셈과 나눗셈 z 극형식에서의 곱셈과 나눗셈

곱셈

(cos ₁ sin ₁), ₂ ₂(cos ₂ sin ₂)^에 ^대하여

1

1 r θ i θ z r θ i θ

z = + = +

( ) ( )

[^cos ^θ ⁺^θ ⁺ⁱ^sin ^θ ⁺^θ ]

r r z

• 곱셈 : z

곱의 절대값은 각 인자의 절대값들의 곱과 같다.

( ) ( )

[ ₁ ₂ ₁ ₂ ]

2 1 2

1⋅z = rr cos θ +θ +isin θ +θ z

(z1z2 = z1 z2 )

곱의 편각은 각 인자의 편각의 합과 같다.

나눗셈 z¹ r¹ [ (θ θ ) i i (θ θ )]

( )

( ârg ^z₁^z₂ ⁼ ârg^z₁ ⁺ârg^z₂ )

• 나눗셈 : [ ( ₁ ₂) ( ₁ ₂)]

2 1 2

1 = cos θ −θ +isin θ −θ

r z

2 1

1 1

1 , arg argz argz

z z z

z z

z = = −

2 2

2 z z

z

( )

[^r ^cos^θ ⁱ^sin^θ ]ⁿ ^rⁿ(^cosⁿ^θ ⁱ^sinⁿ^θ)

:

Moivre De

+ = +

∗

공식

θ θ

θ

θ cos sin , sin2 2cos sin 2

cos = ² − ² = Prove!

(13)

13.2

((복소수 복소수의 의 극형식 극형식. . 거듭제곱과 거듭제곱과 근 근))

z 근(Roots)

•

( 0 1 1)

sin 2 cos 2

: ) Root th (

−

⎟ =

⎜ ⎞

⎛ + + +

=

n k k

k i r

z

w w

z n

n

n n

n

"

π θ

값들 만족하는

을 제곱근

( 0, 1, , 1)

, sin

cos

⎟ =

⎜ ⎠

⎝ +

= k n

i n r n

z

( ⁰ ¹ ¹)

i 2 1 2

: + k k

k i

n π π

제곱근

• 단위 ^: ¹ ⁼^cos ⁺ ^sin ^,(^k ⁼ ⁰^,¹^, ^, ⁿ⁻¹)

i n

n제곱근 ⁿ n "

단위

한 꼭지점이 1에 있으면서 단위원에 내접한 n개의 변을 가진 정다각형의 꼭지점들

y w

y

2

w

y w²

w x

1 w²

1 x w²

w³

1 x

w⁴ w³

n = 3 n = 4 n = 5

(14)

13.2

((복소수 복소수의 의 극형식 극형식. . 거듭제곱과 거듭제곱과 근 근))

HW 26 ( ) (b) ( ) 35 HW: 26 (a), (b), (c), 35

(15)

13.3

13.3 Derivative. Analytic Function Derivative. Analytic Function yy

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

z 원과 원판, 반평면

• 단위원(Unit Circle) : z =1

• 열린 원판(Open Circular Disk) :

• 닫힌 원판(Closed Circular Disk) : 근방(N i hb h d)

ρ

<

−a z

≤ ρ

−a z

원판 열린 ρ인

• 근방(Neighborhood) : <

• 열린 환형(Open Annulus) :

• 닫힌 환형(Closed Annulus) :

원판 열린 ρ인

<

−a z

2

1 ρ

ρ < z −a <

2

1 ρ

ρ ≤ z−a ≤

• (열린)상반평면((Open)Upper Half-Plane) :

• 하반평면 :

집합 점들의 인

>0 y 집합

점들의 인

<0 y

• 우반평면 :

• 좌반평면 : x<0인점들의집합 집합 점들의 0인

>

x

(16)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

z 복소평면에서 집합과 관련된 몇 가지 개념

• 점집합(Point Set) : 유한 또는 무한의 많은 점들의 집합

• 열렸다(Open) : 집합의 모든 점이 오로지 집합에 속해 있는 점들로만 구성된 근방을 가지고 있을 때열렸다(Open) : 집합의 모든 점이 오로지 집합에 속해 있는 점들로만 구성된 근방을 가지고 있을 때

• 연결되었다(Connected) : 집합의 어떤 두 점도 집합에 속하는 점들로만 이루어진 유한한 선분의 파선(Broken Line)으로 이어질 때

• 영역(Domain) : 열린 연결집합(Open Connected Set)

• 여집합(Complement) : 집합에 속하지 않는 복소평면 내의 모든 점들의 집합

경계점(B d i ) 점의 모든 근방이 집합에 속하는 점과 속하지 않는 점을

• 경계점(Boundary point) : 점의 모든 근방이 집합에 속하는 점과 속하지 않는 점을 둘 다 포함하는 점

• 경계(Boundary) : 모든 경계점의 집합경계( y) 든 경계점의 집합

• 영역(Region) : 영역(Domain)과 그의 경계점의 일부 또는 전부의 합으로 이루어진 집합

(17)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

z 복소함수(Complex Function): 복소수 집합의 각각의 원소에서의 함수값이라 불리는 복소수 w를 지정해 주는 규칙

( ) ( )z u x y iv( )x y f

w = = , + ,

• 복소변수(Complex Variable) : z

정의역(D i ) 복소변수의 집합 S

( ) ( )y ( )y f

• 정의역(Domain) : 복소변수의 집합 S

• 치역(Range) : 함수의 모든 값의 집합

Ex. 1 복소변수의 함수

( )^z ^z² ³^z^라 ^하자^. ^u^와 ^v^를 ^구하고^, ^z ¹ ³ⁱ^에서 ^f ^의^값을 ^{계산하여라}^.

f

w= ^f( )^z = ^z +³^z^라^하자^. ^u^와 ^v^를 ^구하 ^, ^z =¹+³ⁱ^에서^f ^의^값을 ^{계산하여라}^.

w + +

(18)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

z 복소함수(Complex Function): 복소수 집합의 각각의 원소에서의 함수값이라 불리는 복소수 w를 지정해 주는 규칙

( ) ( )z u x y iv( )x y f

w = = , + ,

• 복소변수(Complex Variable) : z

정의역(D i ) 복소변수의 집합 S

( ) ( )y ( )y f

• 정의역(Domain) : 복소변수의 집합 S

• 치역(Range) : 함수의 모든 값의 집합

Ex. 1 복소변수의 함수

( )^z ^z² ³^z^라 ^하자^. ^u^와 ^v^를 ^구하고^, ^z ¹ ³ⁱ^에서 ^f ^의^값을 ^{계산하여라}^.

f

w= ^f( )^z = ^z +³^z^라^하자^. ^u^와 ^v^를 ^구하 ^, ^z =¹+³ⁱ^에서^f ^의^값을 ^{계산하여라}^.

w + +

( )

( ) ( ) ( )

f

y xy v

x y

x z f u

1 9

3 6 9 1 3 1 3 3

1 3

1

3 2

, 3 Re

2 2

2 − + = +

=

( ⁱ) ( ⁱ) ( ⁱ) ⁱ ⁱ ⁱ

f 1+3 = 1+ 3 ² + 31+3 =1−9+ 6 +3+9 = −5+15

(19)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

z 극한 연속성 도함수 z 극한, 연속성, 도함수

• ( )

( )^가 ^의^근방에서^정의되고 ^에 ^근접한 ^모든 ^에^대해 ^값이 ^에 ^근접

함수 lim

0

l f

z z

z z f l z

z f

z

⇔

→ =

( )^가 ^의^근방에서^정의되고 ^에 ^근접한 ^모든 ^에^대해 ^값이 ^에 ^근접

함수 ,

f z z₀ z₀ z f l

⇔

y v

z 실수의 경우에는 단지

실수축을 따라서만 가

␦ z₀

f(z)

⑀ l

실수축을 따라서만 x가 x₀로 접근할 수 있지만, z는 복소평면에서 임의 의 방향으로부터 z₀에

• 연속:

x u

( )^가 ^에서^연속 ( )^가 ^정의되고 ^lim ( ) ( )^이다

함수 f z z = z ⇔ f z f z = f z 접근할 수 있음.

• 연속:

• 도함수:

( ) ( ) ^lim ( ) ( )

₀ ₀

0

이다 정의되고

가 연속

에서 가

함수 f z z z f z f z f z

z

z =

⇔

= →

( ) ( ₀ ) ( )₀ ( ) ( )₀

0 lim0 lim

' f z z f z f z f z

z

f = −

Δ

− Δ

= + 함수 ( ) Δ

0 z ^z ^z₀ z z0

z^→ Δ ^→ −

Δ

(20)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

E 3 미분가능성 도함수 Ex. 3 미분가능성. 도함수

( ) '( ) 2 .

²은 모든 에대해 미분가능하고 도함수는 가 된다 함수 f z =z z f z = z

( ^Δ )² ² ² ² ^Δ ( )^Δ ² ² ( )

( ) ( ) ( ) ( ^z ^z ( )^z ) ^z

z

z z z

z z

z z z

z z

f z z 2 limz 2 2

lim lim

' ²

0 2 2

2 0 2 2

0 = Δ + Δ =

Δ

− Δ + Δ

= + Δ

− Δ

= +

→ Δ

z 미분 규칙

• ( )^' ^'^,( )^' ^' ^'^,( )^' ^' ^'^, ^' ^' ₂ ^'

g fg g f g

fg f g f fg g

f g f cf

cf ⎟⎟⎠ = −

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= +

=

•

• f( )z 가 z₀에서 미분가능이면 z₀에서 연속이다.

( ) ^이^성립

규칙 거듭제곱

연쇄법칙과 zⁿ ' = nzⁿ⁻¹

(21)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

Ex. 4 미분불가능성

( )^z ^z ^x ^iy^가^{미분불가능하다}^.

f( )= = − ^y f

( ) ( ) ( )

0 1

x y y

i x

y i x z

z z

z z z z

z f z z f

⎩⎨

⎧

= Δ

−

=

= Δ Δ + Δ

Δ

−

= Δ Δ

− Δ

= + Δ

− Δ +

.

0 1

않는다 존재하지

에서도 어떠한

극한은 z

x y

i x z

z z

∴

⎩ Δ

Δ + Δ Δ

Δ Δ

y ΙΙ z + Δz

x z Ι

복소함수의 미분가능성은 보다 엄격한 조건을 요구함.

(22)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

z 해석함수(Anaytic Functions)

• 해석적(Analytic) : 함수가 정의역의 모든 점에서 정의되고 미분가능일 때

• 해석함수(Anaytic Functions) : 정의역에서 해석적인 함수

E 5 다항식 유리함수 Ex. 5 다항식. 유리함수

( )

.

, , , 1

2 2

해석적이다 도

다항식

해석적이다 복소평면에서

전 은 거듭제곱

정수

f

z z

n

"

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

) 0

) ( (

.

)

, (

Function) (Rational

.

₀ ₁ ₂ ²

점제외 인

해석적이다 도

다항식 는

유리함수

해석적이다 도

다항식

=

⇒

+ + +

+

=

⇒

z h

z h z z g

h z z g

f

z c z

c z c c z

f " _n ⁿ

) 0

) ( (

h z = 인점제외

(23)

13.3

((도함수와 도함수와 해석함수 해석함수))

HW 15 17 22 HW: 15, 17, 22

(24)

13.4

13.4 CauchyCauchy--Riemann Equations. yy Riemann Equations. qq Laplace’s Equation

Laplace’s Equation

z Cauchy-Riemann 방정식 : z Cauchy-Riemann 방정식

x y

y

x v u v

u = , = −

( ) ( ) ⁱ ( )^가 ^한 ^점 ⁱ ^의^어떤^근방에서^정의되고 ^연속이며^{미분가능하다}

f( ) ( ) ( )

.

Riemann Cauchy

1

,

만족한다 방정식을

존재하고 편도함수가

계 의 와 점에서 그

미분가능하다 연속이며

정의되고 근방에서

어떤 의 점

한 가

−

⇒

+

= +

=

v u

iy x z y

x iv y x u z f

( )^z û îv îu ^v

f = + = − +

∗ ' Prove!

z Cauchy-Riemann 방정식

( )^z û_x îv_x îu_y ^v_y

f = + = − +

∗ Prove!

( ) ( )

.

1

Riemann

Cauchy

,

갖는다 편도함수를

계 연속인 만족하는

방정식을 정의역에서

가 및

연속함수 가지는

실수값을 두

의 및

실변수 x y u x y v x y

−

( ) ( ) ( ) .

그 복소함수 f z =u x,y +iv x,y 는 해석적이다

⇒

(25)

13.4

Ex 2 Cauchy Riemann 방정식 지수함수 Ex. 2 Cauchy-Riemann 방정식, 지수함수

( ) ( ) ( )^z û ^x^,^y îv ^x^,^y ê (^cos^y ⁱ^sin^y)^는^{해석적인가}^?

f = + = ^x +

(26)

13.4

Ex 2 Cauchy Riemann 방정식 지수함수 Ex. 2 Cauchy-Riemann 방정식, 지수함수

( ) ( ) ( )^z û ^x^,^y îv ^x^,^y ê (^cos^y ⁱ^sin^y)^는^{해석적인가}^?

f = + = ^x +

sin sin

cos cos

sin

, cos

y e

v y

e u

y e

v y e

u

y e

v y e

u

x x

=

−

=

⇒

=

( ) ^-^Riemann ^.

Cauchy

sin

, sin

, cos

해석적이다 에서

모든 는

만족 방정식을

z z

f

y e

v y

e u

y e

v y e

u_x _y _y _x

⇒

( ) ^.

f z

는 모든

z

에서 해석적이다

⇒

(27)

13.4

Ex. 3 상수의 절대값을 갖는 해석함수는 상수

( )^z^가^정의역^D^에서^{해석적이고}^D^에서 ^f( )^z ⁼^k ⁼^상수이면^,^D^에서^f( )^z ⁼^상수가^된다^.

f

(28)

13.4

Ex. 3 상수의 절대값을 갖는 해석함수는 상수

( )^z^가^정의역^D^에서^{해석적이고}^D^에서 ^f( )^z ⁼^k ⁼^상수이면^,^D^에서^f( )^z ⁼^상수가^된다^.

f

( )

적용 미분

상수

= +

⇒

= +

=

⇒

=

vv uu

k v u iv u f

k z f

y y

x

x 0, 0

² ² ² ² ²

( ) ( )

적용 방정식

= +

⇒

= +

=

−

⇒

u v u u

v u

vu uu

vu

uu_x _y _y _x

0 ,

0

, 0

Riemann -

Cauchy

2 2 2

( 2 ) ( )

( ) ( )

적용 방정식

=상수

⇒

=

⇒

≠ +

=

⇒

=

⇒

= +

=

+ +

⇒

u u

u v

u k

f v

u v

u k

u v u u

v u

y x

0

ii

0

i

0 ,

0

2 2 2

상수

적용 방정식

=

∴

=

⇒

=

⇒ f

v v

v_x _y

0

Riemann

- Cauchy