Selected Problems - Materials Science & Engineering
Ch. 9 Failure of Materials
9.1
What is the magnitude of the maximum stress that exists at the tip of an internal crack having a radius of curvature of 2.5 10-4 mm and a crack length of 2.5 10-2 mm when a tensile stress of 170 MPa is applied?
인장 응력 170 MPa가 발생한 재료의 내부에 있는 직경 2.5 10-4 mm, 길이 2.5 10-2 mm 인 균열 끝에 발생하는 최대 응력은 얼마인가?
풀이)
Eq. 9.1을 이용한다.
m = 2 0 (a/t)1/2
= (2)(170 MPa) {[(2.5 x 10-2 mm) / 2] / (2.5 x 10-4 mm)}1/2
= 2404 MPa
9.3
If the specific surface energy for soda-lime glass is 0.30 J/m2, the using data in Table 7.1, compute the critical stress required for the propagation of a surface crack of length 0.05 mm.
7 장에 수록된 Table 7.1(in p259)의 정보를 활용, 표면에 길이 0.05 mm 의 균열이 있는 비표면 Energy 0.30 J/m2 인 Soda-lime Glass(Soda 석회 유리)의 균열 전파에 필요한 임계 응력 c 값을 계산하라.
풀이)
Eq. 9.3 을 이용하여야 한다. Soda-lime Glass 탄성계수의 값 E = 69 GPa 을 인용하여 Eq. 9.3 에 대입한다.
c = (2Es/a)1/2
= [(2) (69 x 109 N/m2) (0.30 N/m2) / (3.14) (0.05 x 10-3 m)]1/2
= 16.2 MPad0라고 하면 단면적 A0는 A0 = (d0/2)2 = d02/4가 된다.
9.11 Briefly explain
아래의 물음에 간단히 답하라.
(a) Why there may be significant scatter in the fracture strength for some given ceramic material
같은 요업 재료라 하더라도 파단 강도의 산포가 심한 이유는 무엇인가?
풀이)
파단 강도는 요업 재료 내에 균열을 일으킬 수 있는 작은 결함이 존재하는 확률에 의존하게 되는데 같은 종류의 재료라 하더라도 시편 내에 결함이 존재하는 확률이 다를 수 있기 때문에 파단 강도의 산포는 불가피하다.
(b) Why fracture strength increases with decreasing specimen size
시편의 크기가 작을수록 파단 강도가 증가하는 이유는 무엇인가?
풀이)
시편이 작을수록 결함의 존재 확률이 낮아지므로 시편의 크기가 작을수록 파단 강도는 증가한다.
9.12
The tensile strength of brittle materials may be determined using a variation of Equation 9.1. Compute the critical crack tip radius for an Al2O3 specimen that experiences tensile fracture at an applied stress of 275 MPa.
Assume a critical surface crack length of 2 10-3 mm and a theoretical fracture strength of E/10, where E is the modulus of elasticity.
취성 재료의 인장 강도도 Eq. 9.1 에 의해 구할 수 있다. 275 MPa 의 인장력을 받고 있는 Al2O3의 균열 첨단의 곡률 반경을 계산하라. 표면 균열의 임계 길이는 2 10-3 mm, 이론적인 파단 강도는 E/10로 가정하라. E는 재료의 탄성계수(Young의 계수)이다.
풀이)
Eq. 9.1에 의해
m = 2 0 (a/t)1/2
파단은 이 재료의 판단 강도(E/10)에 이르렀을 때 발생한다고 생각할 수 있다. 즉,
m = 2 0 (a/t)1/2 = E/10
구해야 하는 것은 t이므로 위의 식을 t에 대해서 풀어 쓰면 아래와 같다.
t = 400a0 /E2
= (400) (2 x 10-3 mm) (275 MPa)2 / (393 x 103 MPa)2 = 3.9 10-7 mm = 0.39 nm
Selected Problems - Materials Science & Engineering
Ch. 9 Failure of Materials (cont’d)
9.16
The following is tabulated data were gathered from a series of Charpy impact tests on a tempered 4140 steel alloy.
우측은 열처리된 4140 합금강에 대한 일련의 Charpy 충격 시험에서 얻은 실험치들이다.
(a) Plot the data as impact energy versus temperature.
충격 Energy -온도 관계를 나타내는 Graph를 그려라.
풀이)
종축을 충격 Energy, 횡축을 온도로 놓고 우측 표의 점들을
그려 넣으면 아래와 같이 명확하게 연 - 취성 전이를 보이는 충격 Energy-온도 관계를 나타내는 곡선을 얻는다.
(b) Determine a ductile-to-brittle transition temperature as the temperature
corresponding to the average of the maximum and minimum impact energies.
만일 연성 - 취성 전이 온도가 최대 Impact Energy와 최소 Impact Energy의 평균값에서 일어난다고 하면 그 온도는 얼마인지 결정하라.
풀이)
Impact Energy의 최댓값과 최솟값을
각각 IEMax, IEMin, 이들의 평균값을 IEave라고 하면 IEave는 아래와 같다.
IEave = (IEmax + IEmin) / 2
= (90 J +25 J) / 2 = 57.5 J
그림에서 57.5 J에 해당하는 온도 값을 읽으면 연성 - 취성 전이 온도는 어림잡아 ~ -75°C 로 볼 수 있다.
(c) Determine a ductile-to-brittle transition temperature as the temperature at which the impact energy is 70 J.
Impact Energy
만일 Impact Energy의 D-B전이 시 Impact Energy IEDBT가 70 J이라고 할 때 연성 – 취성 전이 온도를 구하라.
Temperature (°C) Impact Energy (J)
100 89.3
75 88.6
50 87.6
25 85.4
0 82.9
–25 78.9
–50 73.1
–65 66.0
–75 59.3
–85 47.9
–100 34.3
–125 29.3
–150 27.1
–175 25.0
9.17
A fatigue test was conducted in which the mean stress was 50 MPa and the stress amplitude was 225 MPa.
평균 응력 50 MPa, 응력 진폭 225 MPa의 조건으로 피로 시험을 수행하였다.
(a) Compute the maximum and minimum stress levels.
최대 및 최소 응력을 계산하라.
풀이)
피로 시험의 조건이 평균 응력 m = 50 MPa, 응력 진폭 a = 225 MPa 주어졌는데 최대, 최소 응력을 각각 max , min이라 하면 다음과 같은 관계가 성립된다.
m = (max + min ) / 2 = 50 MPa (1)
또한 Eq. 9.17에 따라
a = (max - min ) / 2 = 225 MPa (2)
위 (1), (2)의 두식을 연립하여 풀면 아래의 값을 얻는다.
max = 275 MPa
min = -175 MPa
(b) Compute the stress ratio.
응력비를 구하라.
풀이)
응력비 R은 Eq. 9.15로 표현된 정의에 의하여 R = min / max
= -175 MPa / 275 MPa = - 0.64
(c) Compute the magnitude of the stress range.
응력 범위를 구하라.
풀이)
응력 범위 r은 Eq. 9.1의 정의에 의하여 아래와 같이 계산된다.
r = (max - min )
= 275 MPa – (-175 MPa) = 450 MPa
Selected Problems - Materials Science & Engineering
Ch. 9 Failure of Materials (cont’d)
9.18
A cylindrical 1045 steel bar (Figure 9.27) is subjected to repeated compression-tension stress cycling along its axis. If the load amplitude is 22000 N, compute the minimum allowable bar diameter to ensure that fatigue failure will not occur. Assume a factor of safety of 2.0.
원통형의 1045 강봉 (Figure 9.27) 봉재가 장축을 따라 인장-압축 교번 하중이 가해질 때 응력 진폭이 22000 N 이라면 피로 파괴가 일어나지 않도록 하기 위한 직경의 최소치는 얼마가 되어야 하는지 계산하라. 안전계수는 2로 설정한다. (Figure 9.27의 종축을 교번 응력으로 해석하라.)
풀이)
Figure 9.2에서 1045 강재의 피로 파괴 주기를 읽어 보면 대략 310 MPa이다. 먼저 시편에 가해지는
최대, 최소 응력max, min 을 계산하면 아래와 같은 값을 얻는다. 원통형 시편의 형상을 적용한 응력의 정의식 Eq. 7.1으로부터 직경 d0에 대한 표현식으로 바꾸어 써야 한다.
A0 = (d0/2)2
= F/A0 = F/(d0/2)2
∴ d0 = (4F/)1/2
여기서고려해야할것이안전계수인데안전계수 S = 2 로 설계하도록 하였으므로 위의 식의 응력 값에 피로 강도를 대체하여야 한다. 피로 강도는 응력 값을 안전계수로 나눈 값, 즉 /N 이므로 d0S를 안전계수를 고려한 안전 직경이라 하면 다음과 같이 얻을 수 있다.
d0S = [4F/(S)]1/2
4∙(22000 N) 1/2 =
(3.14)(310 x 106 N/m2)/2 = 1.34 x 10-2 m = 13.4 mm
9.19
A cylindrical rod of diameter 8.0 mm fabricated from a red brass alloy (Figure 9.27) is subjected to reversed tension-compression load cycling along its axis. If the maximum tensile and compressive loads are 7500 N and - 7500 N, respectively, determine its fatigue life. Assume that the stress plotted in Figure 9.27 is the stress amplitude.
직경 8.0 mm 인 원통형 황동 합금 시편(Figure 9.27 in p407)이 길이 방향의 인장–압축 교번 하중을 받고 있다. 발생하는 최대(또는 인장), 최소(또는 압축) 응력이 각각 7500 N, -7500 N 일 때 피로 수명을 구하라. Figure 9.27의 종축을 응력 진폭으로 보고 문제에 답하라.
풀이)
먼저 시편에 가해지는 최대, 최소 응력max, min을 계산하면 아래와 같은 값을 얻는다.
max = Fmax / A0 = Fmax / (d0/2)2 = 7500 N / (3.14)(8.0 x 10-3 m / 2)2 = 150 x 106 N/m2 = 150 MPa
min = -150 MPa
응력 진폭a 를 구하면 아래의 결과를 얻는다.
a = (max - min ) / 2
= [150 MPa – (-150 MPa)] / 2
= 150 MPa
Figure 9.27로부터 a = 150 MPa에 해당하는 N값을 읽으면 피로 수명을 구할 수 있다.*1
*1 횡축의 눈금은 대수 눈금이므로 같은 지수 구간(10n) 내에서 직선적인 관계를 가지지 않음에 유의 – 따라서 일반 수의 눈금처럼 기하학적인 비례관계를 따져 정확하게 읽기는 힘들지만 대략 ~ 2 x 106 정도에 있는 것으로 추정할 수 밖에 없음
N = ~2 x 106 cycles
9.27
Cite five factors that may lead to scatter in fatigue life data.
피로 수명 시험 결과 Data가 심한 산포를 나타낼 수 밖에 없는 요인을5가지 열거하라. (교재 p407)
풀이)
1) 시편의 가공과 표면 처리의 상태
2) 금속학적인 변수(합금 조성의 균일도, 재료 내 성분의 분포, 결함의 분포, 재료 내 입도 분포 등)
3) 시험 시 시편의 정렬의 정밀도
4) 시험 시 평균 응력의 정확한 제어
5) 시험 시 Cycle(주기)의 정확한 제어
Selected Problems - Materials Science & Engineering
Ch. 9 Failure of Materials (cont’d)
9.32
A specimen 750 mm long of an S-590 alloy (Figure 9.40) is to be exposed to a tensile stress of 80 MPa at 815C.
Determine its elongation after 5000 h. Assume that the total of both instantaneous and primary creep elongations is 1.5 mm.
Figure 9.40(in p420)에 수록된 S-590 합금으로 만들어진 750 mm 길이의 시편이 815C 에서 80
MPa 의 인장 응력 상태에 있다. 초기(즉시) 및 1 차 Creep 에 의한 신장이 1.5 mm 일 때 이 시편이 5000 시간 경과 후 신장을 구하라.
풀이)
Figure 9.40에서 80 MPa의 응력 값에 해당하는 Creep Rate를 읽으면 대략 ~ 5 x 10-6 h-1로 추정된다.
정상(상태)의 Creep Rate
𝜺𝒔̇
가 주어져 있으므로 500 시간 경과 후 변형률
는 아래와 같이 알 수 있다.
s = 𝜺𝒔̇ x(Elapsed Time, 경과 시간) = 5 x 10-6 h-1 x 5000 h= 0.025
정상 Creep 에 의한 신장을 ls라 하면, ls는 Eq. 6.2 의 변형률과 신장의 관계에 의거하여 다음과 같이 구할 수 있다.
ls = l0
s= 750 mm x 0.025 = 18.75 mm
전체 신장 ltotal은 초기 및 1 차 Creep 에 의한 신장과 정상 Creep 에서 발생한 신장의 총합이 될
것이므로 아래의 결과를 얻는다.
ltotal = l0
s + 1.5 mm = 18.75 mm + 1.5 mm= 20.25 mm
9.34
If a component fabricated from an S-590 alloy (Figure 9.39) is to be exposed to a tensile stress of 300 MPa at 650C, estimate its rupture lifetime.
S-590 합금(Figure 9.39 in p420)이 650C, 300 MPa 의 인장 하중 아래 놓일 때 파단까지 시간을 예측하라.
풀이)
Figure 9.39 로부터 S-590 합금의 650C 곡선(청색)에서 종축 300 MPa 에 해당하는 횡축 파단점을
9.35
A cylindrical component constructed from an S-590 alloy (Figure 9.39) has a diameter of 12 mm. Determine the maximum load that may be applied for it to survive 500 h at 925C.
S-590 합금의 일부로 만들어진 직경 12 mm 의 원통형 시편이 925C 에서 500 시간을 버틸 수 있는
최대 하중은 얼마가 되는지 계산하라. (Figure 9.39 in p420 활용)
풀이)
Figure 9.39 의 925°C 시험 결과를 보면 횡축 500 시간에 해당하는 종축(응력)의 값이 50 MPa 로
나타난다. 시편의 단면적 A0는
A0 = (d0/2)2
응력을 정의하는 Equation 7.1에 근거하여 최대 하중 Fmax는 아래와 같이 계산된다.
Fmax =
A0 =
∙(d0/2)2= (50 x 106 N/m2) (3.14) (12 x 10-3 m / 2)2 = 5655 N
Selected Problems - Materials Science & Engineering
Ch. 9 Failure of Materials (cont’d)
9.38
Steady-state creep rate data are given in the following table for nickel at 1000C (1273 K): If it is known that the activation energy for creep is 272000 J/mol, compute the steady-state creep rate at a temperature of 850C (1123 K) and a stress level of 25 MPa.
Nickel의 1000C (1273 K)에서 정상 상태의 Creep Rate에 관한 Data 를 우측
표에 나타내었다. 활성화 Energy 가 272000 J/mol 이라면 850C (1123 K)에서 25 MPa 의 응력이 발생하는 경우 정상 Creep Rate를 계산하라.
풀이)
우선 Equation 9.23의 양변에 자연대수를 취하면 아래의 식을 얻는다.
𝜺𝒔̇ = K2
n exp (- 𝑹𝑻𝑸𝒄 ) (9.23)ln𝜺𝒔̇ = lnK2 + n∙ln
- 𝑸𝒄𝑹𝑻위의 식에서 미지수는 K2 와 n 두 개이다. 두 미지수를 먼저 구해야 하므로 위의 식에 주어진 표의 정보를 활용(대입)하여 아래의 두 식을 쓸 수 있다.
ln(10-4 s-1) = ln(K2) + n∙ln(15 MPa) - 𝟐𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐉/𝐦𝐨𝐥 (𝟖.𝟑𝟏 𝐉/𝐦𝐨𝐥∙𝐊)(𝟏𝟐𝟕𝟑 𝑲) ln(10-6 s-1) = ln(K2) + n∙ln(4.5 MPa) - 𝟐𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐉/𝐦𝐨𝐥
(𝟖.𝟑𝟏 𝐉/𝐦𝐨𝐥∙𝐊)(𝟏𝟐𝟕𝟑 𝑲)
위의 두 식을 연립하여 풀면 n = 3.825, K2 = 466s-1의 결과를 얻는다. 얻은 두 값과 Equation 9.23을 다시 한번 활용하여 새로운 조건 1123 K에서 25 MPa의 응력 조건에서 Creep Rate를 아래와 같이 구할 수 있다.
𝜺𝒔̇
= K2
n exp (- 𝑸𝒄 𝑹𝑻 )= (466 s-1)∙(25 MPa)3.825 x exp
[
- 𝟐𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐉/𝐦𝐨𝐥 (𝟖.𝟑𝟏 𝐉/𝐦𝐨𝐥∙𝐊)(𝟏𝟐𝟕𝟑 𝑲)]
= 2.28 10-5 s-1
𝜺̇(
s–1)
(MPa)10–4 15
10–6 4.5
