Автоматты реттеу звеноларының берілу функциялары

Жоғарыда айтылғандай звеноны күшейту коэффициенті қалыптасқан режимде кіру және шығу параметрлері арасындағы тәуелділікті орнатады, жалпы жағдайларда осы параметрлер арасындағы байланыс, соның ішінде қалыптаспаған режимде звеноның беріліс функциясын орнатады.

шығ

кір

шығ

кір шығ

Звеноның беріліс функциясын W шығу белгісінің кіру белгісіне қатынасы ретінде қарастыруға болады:

кіру шыѓу

X

W  X . (4.6.1) Мысалы, апериодты звеноның беріліс функциясын оның дифференциялды теңдеуі бойынша анықталады:

кіру шыѓу

шыѓу X КХ

dt

Т dX   .

Бұл теңдеуді операторлық түрде жазамыз:

кіру шыѓу

p X КХ

T 1) 

( .

Соңғы теңдеуден звеноның беріліс функциясын алуға болады:

1





кіру p шыѓу

T К Х

W X . (4.6.2) Звеноның беріліс функциясы есептеу жолымен звеноның жиілік сипаттамасын алуға мүмкіндік береді.

Беріліс функциясы формулада келтірілген апериодты звено үшін жасаймыз.

Осы формулада Р gw – ға ауыстырамыз, мұнда j – сызықты сандар, ал w – жиілік ауыстырған соң аламыз:

) 1

(  

gw

gw T

W K . (4.6.3) Яғни комплексті мән аламыз, ол амплитудалық – фазалық жиілік сипаттамасын мәні болып табылады.

Күшейткіш звено үшін беріліс функциясын анықтаймыз:

кіру

шыѓу КХ

Х  .

Беріліс функциясы мына формуламен анықталады:

Х К КХ Х

W X

кіру кіру кіру

шыѓу  

 . (4.6.4) Яғни күшейткіш звеноның беріліс функциясы оның күшейту коэффициентіне тең.

Тербелісті звено үшін беріліс функциясы.

Тербелісті звено мына теңдеумен сипатталады:

кіру шыѓу

шыѓу

шыѓу X КХ

dt T dX dt

X

T d ₂  ₁  

2 2 2

операторлық түрде жазғанда, тербелісті звеноның беріліс функциясын алуға болады:

1 1

2 2

2  



 Т р Т р

К Х

W X

кіру

шыѓу . (4.6.5) Дифференциалды звеноның беріліс функциясы.

Дифференциалды звено мына теңдеумен сипатталады:



 dt К dX

Х_шыѓу ^кіру операторлық түрде:

кіру

шыѓу КрХ

Х  . (4.6.6) 5 Автоматты реттеу жүйесінің теңдеуі

Автоматты реттеу мен өндірістік үрдістің реттегішін дұрыс таңдау үшін оның тек қана статикалық динамикалық сипаттамаларын ғана зерттемей, сондай – ақ реттеу объектісін де зерттеу керек: бұл былай түсіндіріледі, реттеу жүйесінің қасиеттері осы жүйені құрайтын барлық элементтердің қасиеттерімен, соның ішінде объектінің қасиеттерімен анықталады.

Егер реттелетін объектінің динамикалық қасиеттері берілсе, онда бүкіл жүйе қасиеттеріне реттегіш типін таңдау және оны күйге келтіру параметрлері есебінен ғана әсер етуге болады. Бұл үшін реттеу үрдісін зерттеу керек: жүйе тұрақтылығын анықтау керек, өтпелі үрдіс сапасы тиімді ме (реттелетін параметр ауытқуы қандай, өтпелі үрдіс ұзақтығы және т.б.).

Реттеу жүйесін зерттеу үшін осы үрдісті сипаттайтын теңдеу құру керек; біз көргендей, бұл теңдеу ары қарай дифференциалды болады. Мысал ретінде қарапайым объектінің дифференциалды теңдеуін құрастырамыз – деңгейді реттеу. Ыдысқа Q ^м3_сек мөлшерде су келеді, Q ^м3_сек мөлшерде су шығындалады.

Реттеу объектісі тепе – теңдікте болғанда, су ағуы су шығынына тең, яғни

Q_n Q_p. (5.1)

0

 _p

n Q

Q ; мұнда деңгей h өзгермейді, деңгейдің берілген мәннен ауытқуы h0. Егер ағып келетін және ағып кететін су мөлшері өзгеретін болса, онда ыдыстағы деңгей де өзгереді. Жаңа су ағуы Q_nt болса, ал жаңа су шығыны Q_nt болғанда:

Q_nt Q_n Q_n ; (5.2) Qpt Qp Qp, (5.3) мұнда Q_n және Q_p– ағуы мен шығынға сәйкес өсуі.

Деңгейді ұлғайтуға шығындалатын секундтағы су мөлшері су ағуы мен шығынының айырмашылығына тең.

Яғни Q_nt - Qp_t. Бұл айырмашылық (5.2) және (5.3) ескере отырып тең болады:

Q_n1 - Q_р1= Q_n+ ∆Q_n- Q_р- ∆Q_р. (5.4) Басқа жағынан алғанда, су деңгейін ұлғайтуға ағымның уақыт бірлігіне су көлемі тең болады.

), (

1

1 dt

h S d

Q

Q_{n p} 



 (5.5) мұнда S – ыдыс негізінің ауданы;

  dt

h d( )

деңгей өзгеруінің жылдамдығы.

Біздің объектіде бактан шығын деңгей биіктігіне байланысты:

), (h f Q

егер ∆h аз болса, онда бірінші жуықтағанда есептеуге болады.

1

1 h

K Q_p  

 ,

мұнда  

dh

К₁ dQ^p тұрақты коэффициент (5.4) теңдеуді (5.5) ескере отырып, қайта жазамыз:

), (

dt h S d Q Q

Q

Q_pt  _pt  _n  _p  

осыдан ( ) ,

n

p Q

dt Q h

S d   

∆Q_р= ∆Q_n, соңғы теңдікке (5.6) формула мәнін қойып аламыз:

Qn

h dt K

h

S d    

1

)

( . (5.7)

Берілген сәтте ∆h берілген мәннен реттелетін шаманың ауытқуын Х_шыгу арқылы белгілейміз, берілген сәтте ∆Q_n (бу) судың ағуын өзгеруін Х_кіру арқылы белгілейміз, онда (5.7) теңдікті келесі түрде жазылуы мүмкін:

вх вых i

вых K X Х

dt

S dX   ,

мұнда   K

t S уақыт тұрақтысы;





1

1k

K объектіні күшейту коэффициенті.

Соңғы теңдеу – бірінші дәрежелі дифференциалды теңдеу, апериодты звено теңдеуі.

Осы теңдеуден көрініп тұрғандай зерттеу үшін тек Х_шыгуреттелетін шаманы ғана емес, оның туындысын

dt dХ_шыѓу

білу керек, яғни уақыт бойынша оның жылдамдығының өзгеруі.

Кейбір звенолар екінші дәрежелі теңдеумен сипатталады; мысалы пружиналы солиноид мына теңдеумен сипатталады:

0 ,

2 2 2

2 шыѓу кіру

шыѓу t

шыѓу X K X

dt T dX dt

X

T d   

мұнда X_шыгу – якордың ауытқуы;

X_кіру– соленоид катушкасының қысымындағы кернеудің өзгеруі;

Т₁ және Т2 – уақыт тұрақтысы;

К – күшейту коэффициенті.

Берілген теңдеу тербелісті звено қасиетін сипаттайды.

Автоматты реттеудің теория мен тәжірибесінде жоғары дәрежелі теңдеумен жиі кездесеміз.

Жалпы түрде сызықтық жүйенің динамикалық қасиеттерін сипаттайтын тұрақты коэффициенттермен кәдімгі дифференциалды теңдеу мына түрде болады:

, ...

...

1 0 1 1

0 1 1

кіру кіру

m t кіру m m m

кіру m m

шыѓу шыѓу

n шыѓу t n t n n

шыѓу n n

Х dt в

в dX dt

X в d

dt X в d

X dt a

a dX dt

X a d

dt X a d































(5.8)

мұнда X_шыгу– шығу (реттелетін) шама;

X_кіру– кіру шамасы (реттейтін немесе әсер ету);

a_n,a_n1,a₀;в_m;в_m1,...в₀- тұрақты коэффициенттер;

ⁿ_n  dt

X

d n дәрежелі уақыт бойынша туындысы;

^m_m  dt

X

d m дәрежелі уақыт бойынша туындысы.

(5.8) дифференциалды теңдеу операторлық түрде былай жазылады:

, ....

....

0 1

1

1 1

1

кіру кіру

кіру m t кіру m

m m

шыѓу шыѓу a

шыѓу n

шыѓу n n n

Х в в pX

X в p

X в p

X a pX

a X

p Q X

p a

























 (5.9)

немесе (a_npⁿa_ntp^n1....a_tpa_a)X_вх

(5.9) теңдеудегі көпмүше орнына белгілер ендіруге болады.

, ) ( )

(P X_шыѓу N P X_кіру

L  мұнда L(P) және N(P)операторлық көпмүше Х_шыгу көбейткіш болатын Р_t оператордан функциясының, Х_кіру де болатын Р₂ оператор функциясына қатынасын W(P) жүйесінің беріліс функциясы деп атайды:

0 1

1 1

...

) ...

( а P a P a P a

в Р в в P

в P X

P X W

t n

t n n n

о m

t m m m кіру шыѓу















 

 _



  . (5.10) Егер Р орнына jw қойсақ амплитудалық – фазалық сипаттаманың аналитикалық сипатын аламыз:

). (

) ( )

( ...

) ( )

(

) ( ...

) ( )

) ( (

0 1

1

0

jw L

jw N a

jw a jw

a jw a

B jw B jw

B jw jw B

W _{n t}

n n n

t t

m t m m

m 















  _



  (5.11)

Егер теңдеу (5.8) және (5.9) сол және оң жақтары болса, онда ол әсер ету арқылы өтетін өтпелі үрдісті сипаттайды.

Сол жақты теңдеуді шешу, яғни теңдеудің оң жағы нөлге тең,

. 0 )

...

(a_npⁿa_ntp^n1 a₁pa₀ X_шыы 

Сыртқы әсер жайылған соң жүйедегі өтпелі үрдісті бейнелейді (жүйенің еркін қозғалысы). Автоматты реттеу жүйесінің қозғалысын зерттеу үшін дифференциалды теңдеуді шешу керек. Бұл жүйе тұрақтылығын анықтау үшін, өтпелі үрдіс сапасын анықтау үшін керек. Үшінші дәрежедегі дифференциалды теңдеулерді шешу қиынырақ.

Сондықтан мұндай теңдеулерді шешуде есептеу машиналарын қолданады немесе есептеудің жеке әдісін қолданады.

Тәжірибеде экспериментті түрде динамикалық жиілік сипаттамасын дифференциалды теңдеу шешуге қарағанда жеңіл.

6 Автоматты реттеу жүйесінің тұрақтылығын зерттеу

Тұрақтылық түсінігімен байланысқан сұрақтарға дәл математикалық сипаттама берместен бұрын, тұрақтылық теориясының негізгі жағдайларымен азғантай қатаң тәртіпте реттеу теориясының қалай байланысқанын көрсетейік. Автоматтың жобалануына, ал дәлірек айтқанда басқару объектісінің қозғалысын суреттейтін теңдік:

).

, , , (X t P F

X   (6.1)

мұнда X(t)- фазалы кеңістікте ұшақ траекториясымен сипаттайтын вектор;

ξ – ауытқудың кездейсоқ векторы;

Р – басқару мақсаттарына жетуді қамтамассыз ету үшін конструктормен таңдалынатын автоұшқыштың конструктивті параметрлерінің векторы. Есептік траекторияны біле отырып, бұл траеторияның ауытқуы болмаған жағдайда фазалық вектордың нөлдік шамалары жауап беретіндей координаталардың түрленуін үнемі тоқырауда болады, яғни

F (0,t,P,0)≡0. (6.2) t = t_o уақытының кейбір сәтінде ұшақ ауалы орта түсті, яғни ауытқу нәтижесінде есептік траекториядан ауытқып кетті делік:

X (t0) = X0 ≠ 0. (6.3)

Сірә, мақсатқа қол жеткізудің қажетті шарт болып есептік фазалы траекториядан уақыт өте, ауытқудың нөлге ұмтылу шарты болып табылады.

Бұл есептік траекториялардан ауытқуды анықтайтын X(t) вектор- функциясы үшін келесі шарттың орындалуы дегенді білдіреді

. 0 ) ( lim

0

 X t 

t (6.4)

(6.4) шартты нақты өмірде басқару мақсаттарына қолд жеткізу үшін Т уақытының соңғы аралығында орындалуы қажет қандайда бір идеализация болып табылады. Бірақта ауытқудың бәсеңдеу уақыты ұшу ұзақтығынан көпке кіші болатын болса, онда мұндай идеализация мүмкін болады, ол t-∞

функциясының әрекетін зерттеу ақырғы интервалдағыға қарағанда қарапайымдау болып табылады.

(6.4) шартын (6.1) теңдігінің тривиальды (X=0) шешімінің асимптоталы тұрақтылығының шарты деп атайды. Конструкторды ұшақтың ұшуы нақты параметірмен орнықты ма деген сұрақ қана емес, обьект орнықты болатын авто ұшқыш параметрінің өзгеру аймағы да мазалайды (Р векторы). .

Орнықтылыққа зерттеуде алдыңғы тарауларда бірнеше қолданылған линеаризация әдісі жемісті. Шыныменде есептік траекториядан ауытқулар аз болғандықтан, 2-ші ретті болмашылардың мүшелерін ығысу арқылы мына түрдегі линеаризация (5.1) теңдігін аламыз:

Х = АХ, (6.5)

мұнда А={а_ij} (i=1,2,..., п, j=1,2, ..., п) - ∂F/∂Х |_{X=0, ξ=0}, коэффициенттері Р компонент векторымен t уақытының функциялары болып табылатын матрица.

Зерттеудің ең қарапайым түрі (5.1) теңдігінің оң жағы уақыттың нақты түрінде болмайтын стационарлы қозғалыстардың тұрақтылығы, сондықтанда матрица элементтері А тұрақты. Сонымен асимптоталы тұрақтылық сұрағы, төменде көрсетілгендеи, таза алгебралық есепке келтіріледі.

6.1 Тұрақтылық теориясының негізгі түсініктері (математикалық