Геометрический смысл определителя центролинейного преоб

НА-!)

3. Геометрический смысл определителя центролинейного преоб

разования. П усть на плоскости а определено центролинейное пре­

образование радиус-векторов, имеющих начало в точке О:

г ' = ф (г).

Выберем базис e it е 2 с началом в точке О. Тогда относительно этого базиса координатное представление будет иметь вид:

Xj = "I- ^12^21

Х 2

= ^2 А

Базисны е векторы e it е 2переводятся соответственно в векторы f?l = а и е 1 а 21е 1<

е ч — йі2еі ai2et'

107

О пределитель матрицы

А = ( а и

\ fl21 а 22І

будем назы вать определителем линейного преобразования (р. В д а л ь ­ нейшем наряду с обычным обозначением определителя матрицы А :

будем использовать обозначение det.4.

Пусть п — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости а и та­

кой, что векторы е х, ег, п в пространстве образуют правую тройку. Тогда вектор п по направлению совпадает с векторным произведением [ev е 2\- Обозначим через S0 площадь параллелограмма, построенного на векторах е и ег, тогда

[*?!, fi2] = S 0n. ( * )

Обозначим через S'0 площадь параллелограмма, построенного на векторах е I = ф (е х), е'2 = у (fi2); тогда

\е[, e'2] = ± S ' 0n. С )

З н ак плюс в этой формуле соответствует случаю, когда тройка векторов е ,, е 3, п правая, а знак минус, когда эта же тройка векторов левая. В первом случае мы будем говорить, что пары векторов е х , е 2 и е х, е 2 на плоскости а ориентированы одинаково, а во втором случае — противоположно. Если So' = 0, то векторы е х и е 2 коллинеарны, и вопрос об ориентации пар е х , е2 и e lt е 2 отпадает.

И спользуя свойства векторного произведения, известные из курса ана­

литической геометрии, получим:

[е \> е 2І= = \а и е 1 + a 2 le 2< «12е 1 ~Ь °2 2 fi2 ] == а 11«22 [fil,

+ «21а12 ^\е2< fill — («п«22 — ^Ol2a2l) [fill fi2]•

Отсюда с учетом равенств (*) и ( J ) будем иметь:

+ S ' = | а “ "I2 I S0.

0 I «21 «22 1

Ориентированной площадью параллелограмма, построенного на век­

торах е и fi5, будем называть число S 0, если пары е х, е? и е г, е 2 ориентирова­

ны одинаково, и — S ' 0> если эти пары ориентированы противоположно.

Ориентированную площадь будем обозначать буквой a'Q. Тогда Оа = _о

I

_{I a 2l а 22}^{° 12 |S0.} _{1 0}

Отсюда вытекает геометрический смысл определителя линейного пре­

образования

х[ = an x t + а12х 2, Х% — 021-^1 ~f“ «22-^2*

Именно det А есть отношение ориентированной площади параллелограмма, построенного на образах элементов базиса е х, е 2 к площади параллелограмма, построенного на базисных векторах е х, е2.

108

Пусть теперь г , S — пара радиус-векторов на плоскости а , исходящих из точки О, и пусть

г = х1е 1 4 - *2^ 2.

S = Vl^l + У2<?2

— разложения этих векторов по базису e lt е г. Если через S обозначить пло­

щадь параллелограмма, построенного на векторах г , S , то

[г, s ] = ± S n . (Л )

Так же, как и выше, пары векторов г, s и e lt е 2 будем считать ориентирован­

ными одинаково, если в формуле (***) стоит знак плюс, и ориентированными противоположно, если в формуле („%) стоит знак минус. В первом случае ориентированной площадью параллелограмма, построенного на векторах г и s, будем называть число + S , а во втором случае — S . Ориентированную площадь этого параллелограмма обозначим через а. Тогда из соотношения

[r,s] = + x 2e 2t yjCi + У2*2І = (*іУг — *2Уі) [ev e 2\

гытекает, что Пусть, далее,

г =

*і Уі 1*2 У 2 I

oh S' :

So.

УІ> У2І образы векторов г и s при преобразовании ф.

Ориентированная площадь о ’ торах г ' и s ' , равна

параллелограм ма, построенного на век-

*1 У, 4 У2 Т ак

то,

; «11*1 + «12*2. Уі = «пУі + аігУа.

х'2 = a2lXy -|- 022*2. Уг = «зіУі + «22У2.

используя умножение матриц, имеем:

*! у! (Xl М

Х2 У2 / \ « 2l «22 / \ *2 у2/-

Так как определитель произведения матриц равен произведению определи­

телей перемножаемых матриц, то / /

*; У; ^11 Я12 1 ЛЧ Уі

*2 Уг ^21 ^22 х 2 Уг

Умножая обе части последнего равенства на S0 и используя соотношения (***) ( * * ), получим:

а ' — a-d et А.

Таким образом, при линейном преобразовании г ' = <р (г) все п аралле­

лограммы изменяются так, что их ориентированные площади изменяются пропорционально; общим коэффициентом пропорциональности является определитель преобразования.

Из формулы а' = adet А видно такж е следующее: если det А > 0, то преобразование сохраняет ориентации всех пар векторов плоскости а , если же det А < 0, — меняет па противоположные. Очевидно, что если det А ф 0, то линейное преобразование <р невырожденное.

10!)

Пусть теперь линейное преобразование г ' =»Ф(іг) имеет равный нулю опре­

делитель. И з формулы а = | уі | S0 следует, что ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах е [ — <f (£ х) и е \ = <р (е % ), равна ну­

лю. Следовательно, векторы е [ и е'2 коллинеарны. Обозначим через а ' прямую, на которой лежат эти векторы. Для любого радиус-вектора t справедливо разложение

г = х хе х - f х 2 е2.

Из линейности преобразования тогда следует, что вектор г ' = х 1е [ + х 2 е'2

лежит на прямой а '. Итак, в случае, когда, det /4 = 0, вся плоскость а отоб­

раж ается в некоторую прямую. Такое линейное преобразование плоскос­

ти называется вырожденным.

Рассмотренные выше факты раскрывают геометрический смысл опреде­

лителя линейного преобразования.

4. Координатное представление линейного преобразования.

В п унктах 2 и 3 настоящего параграф а было рассмотрено центро­

линейное преобразование. В настоящем пункте результаты , по­

лученные в пп. 2 и 3, будут перенесены на общие линейные преобра­

зования.

И так, пусть

г ' = ф (г)

— линейное преобразование, переводящее радиус-векторы г £ Ro в радиус-векторы r ' ^ R o ’. Пусть g i = 0 'G l и g 2 = 0 'G2 — векторы, равные соответственно векторам = OEt и е 2 = ОЕ2. Векторы и е 2 предполагаются неколлинеарными. Таким образом, на плоско­

сти выделяются два базиса e it е 2 и g t, g 2, начала которых нахо­

дятся в точках О и О'. Пусть М — произвольная точка плоскости.

Тогда координаты ее относительного базиса e t, е 2 будем обозна­

чать (хи Xj), а относительно базиса g it g 2 — (у,, у ^ . В соответствии с этим радиус-вектор г — ОМ имеет координаты {xv х2), а радиус- вектор г ' = О 'М — координаты \у {, y2j.

Пусть е *= ф ( е 4) и « ’ = f ( е ^ — образы базисных векторов при преобразовании ф и пусть

<?' = aHg t - f a2lg 2,

= a iz£ l “Ь °2ig2

— разложения векторов ел' и е ’ по базису g v g 2. Пусть теперь г = { х „ х 2] — произвольный вектор и г ' — | у \, y'2j — его образ.

Тогда

Г' = y[gi + У ^ 2 = ф (Г) = Ф ( х ^ + хге^.

п о

Так как ф — линейное преобразование, то

Ф f o e , + * 2е 2) = ф ^ е , ) + ф (х2е ^ =

= дс»ф (е ,) + * 2ф ( е 2) = + х 2е ' . Следовательно,

г ' = *!«' + х2е'г = y 'ffd -y 'fiV

г f Подставляя в левую часть последнего равенства вместо е х, е2их разложения (*), получим:

г ' = я , ( а ж + a 21g-2^ + *2 (a12g t - f a22g 2) =

= (QjjXj - j- S ’, ”1“ ( ^ г Л l~ ^ 22^ 2) 2’

С другой стороны,

г ' = У ^ г Ь У ^ г - Отсюда

Ух == а і Л ~Ь a\txv>

У2 = QZiX i ~Ь ^22^2’ ' Пусть радиус-век­

тор ОЛТ (рис. 65) в базисе еи е2имеет ко­

ординаты) х[, х ’}, а вектор ОО' = йле х -f- + d 2e v

Д алее,

О М 7 = б б Г - f( У М '= Рис. 65

= 0 0 ' + ON,

где ON~— вектор, равный вектору 0 'М '\ вектор ON имеет коорди­

наты {у„ у2}. Поэтому

( * ' = у \ + d i,

\ x 2 = y'2 + d 2.

Отсюда координатное представление линейного преобразования г ' = ф (г) в базисе ех, е2имеет вид:

| Х^ = Я і Л "Ь а 12*2 Ч” d lt ^

I *2 = a 2iXl “f" а 22Х2 ~ b d 2’

И з полученных формул видно, что общее линейное преобразова­

ние складывается из последовательного выполнения цент ролиней­

ного преобразования

III

— ОцХ, “f" а і2Х2>

— а гіХі _Ь ^22^2

и параллельного переноса на вектор ОО' = d ,e ,- j- r f 202.

Очевидно, что верно и обратное утверждение: (*) определяет в базисе е х и е 2 линейное преобразование совокупности векторов с началом в точке О (0, 0) в совокупность векторов с началом в точке О' ( d u d 2). П ри этом матрица

получаю щ аяся транспонированием матрицы А координатного пред­

ставления преобразования <р:

представляет собой коэффициенты разложения образов элементов базиса е {, е 2 по векторам g t = 0 'G t и g 2= 0 'G 2, равным соответ­

ственно векторам e t и е 2.

Т ак как при параллельны х переносах конгруэнтность фигур на евклидовой плоскости сохраняется, то, очевидно, геометриче­

ский смысл определителя общего линейного преобразования ф тот ж е, что и у центролинейного преобразования. Именно,

есть отношение ориентированных площадей параллелограммов о ' и а, построенных соответственно на векторах

где г и s — любые неколлинеарные между собой радиус-векторы с на­

чалом в точке О (см. рис. 66).

— а і Л +

* 2 = +

и

r , S,

0

r '= f{ r l'

112

Рис. 66

Д алее, если

а 2і а 22

то формулы (*) определяю т линейное невырожденное преобразова­

ние; если же

4 1 12 = 0,

то те ж е формулы определяю т линейное вырожденное преобразова­

ние.

5. Координатное представление аффинного преобразования.

Т е о р е м а 2. Пусть <р — аффинное преобразование евклидовой плоскости и e it е2— произвольный базис на этой плоскости. Тогда координатное представление tp относительно базиса е и е 2 задается формулами:

х = a nx t -f- a l7x 2 -f- d„ где

*"f* ^22*2 dfy

*11 u12 ф 0.

hi °22

Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы непосредственно выте­

кает из результатов, полученных в п. 4. Д ействительно, аффинное преобразование <р в координатах Xi, х 2 относительно базиса е 2 имеет то же самое координатное представление, что и порождающее его линейное невырожденное преобразование радиус-векторов г ' — tp (г). А преобразование /*'=<р (г) имеет в базисе е и е г коор­

динатное представление

| х = a tlxt + аіг*а + ^і.

= а гіх і + a ‘t & + d z, причем

a u а \г a 2\ ° 2 2

Ф 0.

Теорема доказана.

Имеет место и обратное утверждение.

Т е о р е м а 3. Пусть на *евклидовой плоскости фиксирован не- который базис е й е г и определено преобразование ср, которое каждой точке М ( х 1г х 2) относит точку М ' ( х {' , х 2 ) по правилу

= f l |l * l + « 1 2 * 2 + rfl, Xп = а 21х 1 ~Ь ^22Х2 “1“ d z>

113

П ри этом,

а Н Й12 ф О ,

ац й 22

Т огда ф есть аффинное преобразование.

Д о к а з а т е л ь с т в о непосредственно вытекает из того, что преобразование ф порождает линейное невырожденное преобразо­

вание совокупности радиус-векторов с началом в точке О (0, 0) на множество радиус-векторов с началом в точке O' ( dif d 2)\ по­

следнее утверждение доказано в п. 4 настоящего параграфа.

Т аким образом, из теорем 2 и 3 следует, что определение аф­

финного преобразования евклидовой плоскости можно дать в тер­

минах преобразований координат точек относительно фиксирован­

ного базиса в и е 2.

§ 3. Группа аффинных преобразований