МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
2. Моделирование горения ацетилена в программе CWB
2.2 Моделирование возникновения вредных веществ при горении ацетилена в программе CWB
Дальнейшие эксперименты для моделирования проводились редуцированным механизмом. Редуцированный механизм состоит из 281 реакции, из них 10 - прямая реакция, 271 - обратимая реакция. Этот механизм описывает зарождение вредных веществ при условиях: 1350-2350 К температура и 1 ат давление, стехиометрическое отношение ацетилен / воздух =1.
Таблица 1. Размеры мехнизмов, полученных после редуцирования для реакции стехиометрического горения ацетилена в воздухе (=1) с начальной температурой 1050 К при давлении 1ат.
Механизм Реагенты Реакции
Полный 77 360
DRG 64 333
CSP 64 281
Рисунок 5. Зависимость времени индукции от температуры. (Полный и метод редуцирования DRG)
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
124
Рисунок 6. Изменение температуры зависимости от времени (Полный и метод редуцированиеCSP)
На схеме можно увидеть возникновение вредных веществ C2H2→C2H→ C4H2→ C4H→ C6H2
C2H2→C2H→ CO→ CO2
Из цепи зарождения вредных веществ можно увидеть, что ацетилен является основой их зарождения.
Сажа возникает при недогорании углеводородов и является мелкими частицами.
Это особый продукт природы, который играет важную роль в наши дни. А также является главными загрязняющими веществами. Углеводород лидирует как источник энергии, и поэтому эффективнее использовать его, и при этом уделение внимания маловыделенным вредным веществам актуально [3]. Основой модели образование сажи является модель Суровкина и Fusco, показанная на схеме 1.
Схема 1 Модель Fusco.
В состав продуктов, образующихся в реакционной зоне пламени при горении предварительно приготовленных смесей, могут входить не только конечные продукты сгорания CO2 и H2O. Реакция горения ацетилена завершается в более холодном внешнем конусе пламени и в области диффузионного пламени. Если же атмосфера, в который
125
происходит горение, не содержит необходимого количества кислорода, то среди продуктов сгорания обнаружатся заметное количество окиси углерода [8].
Как видно из рисунка 8, концентрация углекисленного газа больше чем оксид азота.
Рисунок 7. Концентрация вредных веществ, возникших при горении (CO, CO2 , C2H2, C2H4,
C2H5)
Рисунок 8. Концентрация вредных веществ, возникших при горении ( CO, CO2, NO, NO2, T = 2350 K, 𝜌 =1 ат)
NО и NO2 являются вредными газами и предполагается, что их выделение в воздухе может привести к болезни дыхательных органов. При различных и высоких давлениях углекислый газ выделяется больше чем NО и NO2 .
Как видно из рисунка, при росте давления время возникновения вредных веществ проходит быстрее и концентрация высше. Из 10 и 11 рисунков можно увидеть концентрации CO2 и NO2 в разных давлениях.
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
126
Рисунок 9. Концентрация CO2, NO2 при давлении 7,10 ат..
Рисунок 10. Концентрация CO2. (10 ат, 7 ат, 4 ат, 1 ат)
Рисунок 11. Концентрация NO2. (10 ат, 7 ат, 4 ат, 1 ат) Заключение
По исследовательским даным приходим к таким заключениям:
1. Был собран механизм для описания горения ацетилена в воздухе;
127
2. Были сравнены несколько механизмов в ходе исследования;
3. Получена модель скорости горения ацетилена в новом механизме;
4. Проведено редуцирование собранного механизма методами: DRG(Direct Relation Graph); CSP(Calculation Singular Perturbation);
5. С помощью моделей с разными параметрами и с разными зависимостями были получены модели вредных веществ, таких как сажа и оксид азота в разных параметрах.
1. Gong J. et al. A comparative study of n-propanol, propanal, acetone, and propane combustion in laminar flames // Proceedings of the Combustion Institute. – 2015. – Т. 35.
– №. 1. – С. 795-801.
2. Левтеров А.М, Левтерова Л.И «Анализ математических моделей механизма сажеоброзования при сжигании углеводородных топлив», ISSN 2222-0631. Вісник НТУ «ХIIІ». 2013. №5 (979)
3. Крестинин А.В «Кинетика образования сажевых частиц при пиролизе углеводородов: Полииновая модель сажеобразования», 2000
4. Демидов П.Г., Саушев В.С. - Горение и свойства горючих веществ / учебное пособие, Москва,1975
5. Crina I. Heghes, Chem. Eng. “C1-C4 Hydrocarbon Oxidation Mechanism” Heidelberg, September 2006.
6. М.А. Деминский, А.С. Петрусёв, М.И. Стрелкова и Б.В. Потапкин “Влияние стехиометрии смеси на скорость производства NOx при использовании равновесных типов разрядов для стабилизации горения метан – воздушных смесей ”
7. Лебедев А.В., Окунь М.В., Баранов А.Е., Деминский М.А., Потапкин Б.В.
“Систематическая процедура упрощения кинетических механизмов химических процессов”.
8. Miller S. A. Acetylene: its properties, manufacture, and uses. – Academic Press, 1966. – Т. 2
Аңдатпа. Ацетиленнің ауада жануын CWB бағдарламасында зерттеу үшін ацетиленнің ауада жануын сипаттайтын механизм таңдалып алынады. Бағдарламаның деректер қорындағы табиғи газдың жануын сипаттайтын 325 реакция, 53 реагенттен тұратын GRI 3.0 механизмі алынды, алайда басқа тәжірибелік нәтижелермен салыстырғында толығымен ацетиленнің ауада жануын сипаттай алмайтын болғандықтан, бұл механизмге қосымша ацетиленнің ауада жануын сипаттайтын реакциялар мен реагенттер қосылды. Ол реакциялар мен реагенттер AramcoMech 1.3 жасалып шығарылғанына көп болмаған, негізінде C1 - C4 үлкен сандар сақтайтын көмірсутектер мен құрамында оттегі бар отындардың термохимиялық және кинетикалық қасиетін сипаттайтын химиялық кинетикалық механизм және nButan механизмдерінен алынды. AramcoMech 1.3 механизмі көптеген тәжірибелік есептеулерде, ығыстыру реакторлары, тез қысу машиналары, соққы құбырларында (түтік) тексерілген [1].
Түйін сөздер: ацетилен, жану, механизм, ықшамдау, стехиометрия, жану жылдамдығы.
Abstract. For the study of the combustion of acetylene in the air in the program CWB was chosen mechanism that describes the combustion of acetylene. The mechanism has been selected from a database program. GRI 3.0 mechanism that describes the burning of natural gas because it cannot fully describe the combustion of acetylene was added to it from other mechanisms still some reactions and reagents. These reactions and reagents were selected from the mechanisms and AramcoMech 1.3 nButan. Mechanisms AramcoMech 1.3 nButan and tested mechanisms in many experiments, the reactor oppression, rapid spinning machines and other [1].
Keywords: acetylene, burning mechanism reducing, stoichiometry, combustion rate.
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
128 ӘОЖ 517.95; 534.21
К.М. Шияпов *
ӨЗАРА АРАЛАСПАЙТЫН СЫҒЫЛМАЙТЫН СҰЙЫҚТЫҚТЫҢ ҚОЗҒАЛЫСЫҢ САНДЫҚ ШЕШУ
(Алматы қ., Қазақ-Британ техникалық университеті, *-докторант)
Аңдатпа. Мақалада өзара араласпайтын және сығылмайтын сұйықтықтардың фильтрациясын сипаттайтын шекаралық есептердің сандық аспектілері қарастырылады.
Капиллярлардағы сұйықтықтың тығыздығы мен тұтқырлығы үшін транспорттық теңдеулері берілген. Сығылмайтын біртекті тұтқыр сұйықтықтың Стокс стационарлық теңдеулері үшін микроскопиялық деңгейде математикалық моделі келтірілді. Есептеулерді ұйымдастыру үшін бір уақыт қадамнан келесі қадамға проекция әдісін пайдаланылған. Итерациялық процесі барысында сандық шешу нәтижесін алу SOR әдісімен жүзеге асырылды
Түйін сөздер: Стокс есебі,сұйықтықтың фильтрациясы, SOR әдісі, Пуассон теңдеуі, сандық әдістер.
Есептің қойылымы
аймағында (1-сурет), мұндағы - және аймақтарын бөліп тұрған шекара, келесі есепті қарастырымыз[1;2]:
u u
fg t p
u T
(1) ,
0
u (2) Бастапқы шарт
u x x
u(0, ) 0,
p x x
p(0, ) 0, және шектік шарттары u 0, xS0,
D(u) pI
npn, xS,
1-сурет. Мұнайды сумен ығыстыру[1;2].
Сандық әдіспен шешу
Теңдеуді сандық әдіспен шешуде тура сандық моделінің шектік айырым әдісі арқылы тік төртбұрышты торды қозғалту жүзеге асырылады (staggered grid) [3]. Шектік айырым есебін интегралды-интерполяциялық әдістің көмегімен енгізілді (баланс әдісі) [4]. Есептеулерді ұйымдастыру барысында бір уақыт қадамнан келесі қадамға проекция әдісі қолданылады, атап айтқанда, қысымды түзету процедурасы (Second-Order Projection Method) [5]. Сығылмайтын сұйықтық жағдайда үздіксіздік теңдеу жылдамдық векторының ғана компоненттерден тұрады, сондықтанда қысым байқалмайтын тікелей байланыс бар екендігінен түсіндіріледі және оны қолдануды қажет етеді. Сығылған сұйықтық ағындары үшін тығыздық теңдеу арқылы қысымның векторлық жылдамдығы
129
арқылы жүзеге асырылып, сондай-ақ мұндай орталарға осы процедураны қолдануды талап етіледі.
Қысымның түзетудің процедурасы (Second-Order Projection Method)
Қысымды түзетудің процедурасы пайдаланып, өрістің әр уақыт қадамында жылдамдығын есептеу екі кезеңде жүзеге асырылады. Алғашқы кезеңде үздіксіздік теңдеуін алмағанда аралық өріс жылдамдығы есептеледі. Келесі кезеңде, түзету өріс жылдамдығын үздіксіздік теңдеуі қамтамасыз ету үшін қолданылады. Осылайша нөлдік дивергенциясы бар векторлар кеңістікте өріс жылдамдығына «проекция» жасалады (осыдан проекциялау әдісі аталған). Егер (1) теңдеуді екі теңдеудің (3),(4) қосындысы түрінде келтіретін болсақ схеманы бөлшектеу арқылы оңай алуға болады:
n h n n
n
u t g
u
u 1 ( 2 )
0
*
(3)
n h
n p
t u u
1 *
(4) мұндағы n-жоғарғы индекс t-уақытындағы айнымалыны, ал n1 - айнымалы уақыт аралығындағы ttуақытқа сәйкес; h- бұл градиенттің шеткі-айырымдық жуықтауды білдіреді, u*- жылдамдық векторының аралық мәні. Шартты қанағаттандыратын етіп (4) теңдеуден қысым анықталуы тиіс:
10
h un (5) Дивергенция операторын (4) теңдеуге қолданамыз және (5) теңдеуді пайдалана отырып қысым үшін Пуассон теңдеуін аламыз:
1 *
1 u
p t h
n h
h
(6)
Қысым белгілі болса, онда (4) теңдеуді n1 уақыт қадамындағы un1 жылдамдықты түзетуге қолданамыз.
Осылайша келесі есептеу схемасына келеміз:
1-ші кезеңде 𝑡𝑛 уақыт аралығында un жылдамдығының векторлық компоненттері белгілі болады. (3) теңдеуден уақыт аралығындағы u* жылдамдығын анықтаймыз;
2-ші кезеңде уақыт аралығындағы u* жылдамдығы арқылы қысым үшін Пуассон теңдеуін (6) шешеміз, p қысым өрісін анықтаймыз;
3-ші кезеңде уақыт аралығындағы u* жылдамдығы, p қысым өрісін белгілі болғандықтан (4) теңдеуіне n1 уақыт қадамындағы un1 жылдамдықа түзетуге қолданамыз.
Пуассон теңдеуін (6) шешу үшін әрбір уақытта қадам тікелей және итерациялық әдістері ретінде пайдаланылуы мүмкін, ол тізбектес үшін жоғарыдан-релаксация SOR (Successive over-relaxation) әдісі қолданылды. Бұл әдістің артықшылығы әрбір итерация үшін қатесін төмендету болып табылады. Сонымен қатар, бұл әдіс оңай программаланады, сәйкестенбеген бағаны итерациялық процесінің соңында критерий ретінде пайдалануға ыңғайлы.
Кеңістіктіктегі дискретизация
Кеңістік пен уақыт аралығында есепті дискретизациялау үшін интегро- интерполяция әдісі (баланс әдісі) қолданылды [2]. Қарастырылып отырған аймақта тік төртбұрыш торын енгіземіз де қысым тордың ортасында, ал жылдамдық компонентері тордың шеткі жақтарында орналасқан деп есептейміз (2-сурет).
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
130
2-сурет. Сырғыған тор үшін пайдаланылатын көрсеткіштері. Тор орталығында қысым, ал жылдамдық компоненттері оның шеткі жағы бойынша анықталады.
Интегралды теңдеуді шешу үшін қарапайым көлемдік Гаусс-Остроградскийдің формуласын қолдана отырып (3),(4),(6) шектік айырым теңдеулері алынады.
(3) теңдеуді компонентері бойынша шектік айырым теңдеуін мына түрде береміз:
n
j x i n
j i n
j i n
j x i n
j x i n
j i j
i u t A g D
u 1/2,
, , 1 ,
2 / 1 ,
2 / , 1
2 / 1
* , 2 / 1
2 1
1
(7)
n
j y i n
j i n
j i n
j y i n
j y i n
j i j
i v t A g D
v , 1/2
, 1 , 2
/ 1 , 2
/ 1 2 ,
/ 1 ,
* 2 / 1 ,
2 1
1
(8) Мұнда келесі белгілеуді қолданып:
2
1 , 2 / 1 , 2 / 1 1 , 2 / 1 2
, 2 / 1 , 2 / 1 ,
2 / 3 0
2 2
, 2 /
1 y
u u
u x
u u
D u
n j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
x i j (9)
және
2
2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 3 , 2
2 / 1 , 1 2 / 1 , 2 / 1 , 1 0
2 2
2 / 1
, y
v v
v x
v v
D v
n j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
y ij (10)
(4) теңдеуді компонентері бойынша шектік айырым теңдеуін мына түрде береміз:
xp t p
u
u i j i j
n j i n
j i j
i n
j
i
, , 1
, , 1
* , 2 / 1 1
, 2 / 1
2
1 (11) және
yp t p
v
v i j ij
n j i n
j i j
i n
j
i
, 1 ,
, 1 ,
* 2 / 1 , 1
2 / 1 ,
2
1
(12) (6) Пуассон теңдеуді шектік айырым теңдеуін мына түрде береміз:
131
y v v
x u u
t
p p p p
y p
p p p
x
j i j
i j i j i
n j i n
j i
j i j i n
j i n
j i
j i j i n
j i n
j i
j i j i n
j i n
j i
j i j i
* 2 / 1 ,
* 2 / 1 ,
* , 2 / 1
* , 2 / 1
1 , ,
1 , , , 1 ,
, 1 , 2 ,
1 ,
, 1 , , , 1
, , 1 2
2 1
1 1
(13)
Теңдеуді шешудің ең негізгі бөлігі алгоритімінде. Жоғарыда айтылып кеткендей оны шешу үшін SOR әдісі қолданылады. Ол үшін (13) теңдеу қайта қарастырылып, теңдеудің сол жақ бөлігін pi,jоқшаулау:
j i j
i j
i j i j i
n j i n
j i
j i n
j i n
j i
j i n
j i n
j i
j i n
j i n
j i
j i
n j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
j i n
j i j
i
y p v v
x u u
t
p p
y p
p x
y p x
,
* 2 / 1 ,
* 2 / 1 ,
* , 2 / 1
* , 2 / 1
1 , ,
1 1 , ,
1 ,
1 , 2
, 1 ,
1 , 1 ,
, 1
, 1 2
1
1 , , , 1 , 2 ,
1 , , , 1 2 1
,
2 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
(14)
(14) формуладағы релаксация параметрі 1 шартты орындалатындай етіп таңдап алынады. Тұрақтылық әдісінің шарты бойынша 2, сондықтан таңдап алынатын параметр 1.21.5тұақтылық пен жнақтылық әдісінің жақсы компромисы болып табылады.
Сандық алгоритм тұрақты егер уақыт қадамы өте аз болса. Уақыт өлшемінің қадамы диффузия теңдеуінің бөлігімен шектелсе:
4 1
2
h t
( ) 2
t u
u (15) мұндағы һ-тор көзінің ең аз ұяшығы (x немесе y), u – максималды жылдамдық.
Сандық алгоритм Қысымды түзету процедурасында жоғарыда айтылғандай дискретті теңдеуді шешуде алынған келесі тізбектесті:
1. (7) және (8) теңдеулерді қолдана отырып сәйкесінше (9) және (10) диффузиялық мүшелерімен уақыт арлығындағы жылдамдығы анықталынады.
2. Шектік шарттарын мен (13), (14) теңдеулер арқылы қысым анықталынады.
3. (11) және (12) теңдеулер арқылы жылдамдыққа түзету енгізеледі.
Сығылмайтын ортадағы сұйықтықтың беттік керілуі Өзара араласпайтын сұйықтар арасындағы динамикасын сипаттау үшін нақты шекарадағы бөлік берілген полинома арқылы ықшамдау техникасы пайдаланылады (метод Front tracking) [6]. Бұл әдіс қозғалмалы фронттың салыстырмалы үлкен тор көздері үшін де орындалады.
Екі ортаныны бөлетін бет нүкте арқылы өтетін болса онда координатасы:
f
f l x l yl l N
x ( )( ( ), ( )), 1,..., (16) Фронт нүктесінің қозғалысын жылдамдық пен қысымның мәндері арқылы интерполяциялаймыз. Негізінде, интерполяциялаудың әртүрлі әдістері бар, ал біз бисызықты интерполяциялауды қолданамыз. Ол үшін жақын фронтағы регулярлық тордағы түйіндерді анықтаймыз да сол нүктелердің координатасы, жылдамдық пен қысымның мәндерін (формулада ) есептейміз:
y y y x
x x y
y y x
x
x i f f i
j i f i f i j i l f
1 1 , 1
1
,
МАТЕМАТИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
132
y y y x
x x y
y y x
x
x f i f i
j i f i i f j
i 1, 1
1 ,
1
(17)
мұндағы xi - x-координатасы тордағы сол жағындағы фронт нүктесінің тік сызығы, және yj- y- координатасы тордағы астынғы жағындағы фронт нүктесінің жатық сызығы, i,j- тордағы сол жағындағы және астындағы белгіліенген нүктенің мәні. Біз (17) формуладан әр нүктенің жылдамдық мәнін анықтап, фронттың келесі нүктесіне көшіреміз. Егер біз қарапайым бірінші ретті интегралды уақыт бойынша қолданатын болсақ, онда келесі жаңа нүктенің орны анықталынады:
n f n f n
f x tu
x 1 (18) Қорытынды.
Өзара араласпайтын және сығылмайтын сұйықтықтардың қозғалысының сандық нәтижелері алынды. Сонымен қатар сандық талдау теориясын пайдалана отырып мұнайды сумен ығыстыру классикалық модельдерді кейбір ішкі артефактілер анықталды.
Бұл жұмыс Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігінің жобаларының 1771/ГФ4, 0981/ГФ4, 0980/ГФ4 қолдауымен өтті.
1) A. Meirmanov, R. Zimin, K. Shiyapov, The Маскет problem at the microscopic level for a single capillary, Boundary Value Problems 2015, 2015:71 doi:10.1186/s1366101503344.
2) А.М. Мейрманов, Г.В. Решетова, К.М. Шияпов, Движения двух несмешивающихся жидкостей на микроскопическом уровне//Вестник. Серия “Физико-математические науки”.2015,№2(50).-С.76-83.
3) J. Virieux. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite- difference method // Geophysics, vol. 51 issue 4, 1986, pp.889–901.
4) Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем //М.: Наука, 1971.— 552 с.
5) John B Bell, Phillip Colella, Harland M Glaz. A second-order projection method for the incompressible navier-stokes equations // Journal of Computational Physics, Vol. 85, issue 2, 1989, pp. 257–283.
6) Salih Ozen Unverdi, Grétar Tryggvason. A front-tracking method for viscous, incompressible, multi-fluid flows // Journal of Computational Physics, Volume 100, Issue 1, 1992, Pages 25–37.
Аннотация. В данной статье рассматриваются некоторые аспекты численного решения краевой задачи со свободной границей, описывающей фильтрацию несмешивающихся несжимаемых двух жидкостей. Данная математическая модель на микроскопическом уровне состоит из стационарного уравнения Стокса для несжимаемой неоднородной вязкой жидкости и находится в изолированных капилляров в полностью твердом скелете и уравнения транспорта для неизвестной плотности и вязкости жидкости. При численных расчетах использован метод SOR и его достоинства является уменьшение нормы ошибки на каждой итерации.
Ключевые слова: задача Стокса, фильтрация жидкости, метод SOR, уравнение Пуассон, численные методы.
Abstract. This article discusses some aspects of the numerical solution of boundary problem with a free boundary. The free boundary describes the filtration of two immiscible incompressible fluids. This mathematical model at the microscopic level consists of a Stokes equation for an inhomogeneous incompressible viscous fluid in isolated capillaries in an absolutely rigid skeleton and the transport equation for the unknown density and viscosity of the fluid. In numerical calculations used SOR method and its advantages is to reduce the rate of error for each iteration.
Keywords: Stokes problem, fluid filtration method SOR, Poisson equation, numerical methods.
133
ФИЗИКА. ФИЗИКАНЫ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ ФИЗИКА. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ
УДК 531+539.376
К. Бисембаев
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЕЙ, РЕАЛИЗУЕМЫХ ОПОРАМИ КАЧЕНИЯ СО СПРЯМЛЕННЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ НА
РЕЛАКСИРУЮЩИХ ГРУНТАХ
(г.Алматы, Институт Механики и Машиноведения им. У. А. Джолдасбекова, Казахский национальный педагогический университет имени Абая)
Аннотация. Практическое значение имеют неголономные системы с деформируемыми телами. Особенности задачи механики неголономных систем с деформируемыми телами заключаются в том, что помимо классических неголономных связей необходимо указывать новую группу неголономных и голономных связей, определяющих положение точек контакта деформируемого тела. Получены кинематические соотношения связывающих параметров, характеризующих положение точек контакта деформируемого грунта (несущего и носимого тел) при качении опоры. Получены уравнения неголономных связей, реализуемыми опорами качения со спрямленными поверхностями на релаксирующих грунтах
Ключевые слова: неголономных связей, виброзащитных устройств, опора качения, сейсмоизоляция, релаксирующих грунт.
1.Введение
В настоящее время неголономные системы находят все более значительное применение в различных областях механики. К таким системам относятся автомобиль, самолет на посадочной полосе, железнодорожный состав, угольный врубовый комбайн, дизель-троллейвоз, различной конструкции вариаторы и фрикционные механизмы с переменным передаточным числом, используемые в вычислительной технике, в автоматически управляемых металлорежущих станках, в гибких конусных и клиноременных передачах, сооружениях с кинетическими фундаментами [1-4].
В связи с изучением динамических свойств систем с неголономными связями стали актуальными исследования в областях таких специальных вопросов, как теория малых колебаний, устойчивость движения, теория соударений, элементы теории оптимального управления в неголономных системах.
Цель настоящее работы является вывод уравнение связей налагаемых на
движения опоры качения ограниченных поверхностями вращения высокого порядка по релаксирующих грунтах.
2. Некоторые соотношения связывающих параметров, характеризующих